文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （268）-- 算法导论20.2 3题

福大大架构师每日一题

发布于 2024-05-28 10:36:10

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发布于 2024-05-28 10:36:10

三、为每个 proto-vEB 结构增加属性 n ，以给出其所在集合中的元素个数，然后写出 PROTO-vEB-DELETE 的伪代码，要求使用属性 n 来确定何时将 summary 重置为0。你的伪代码的最坏情况运行时间是多少？由于加入了新的属性 n ，其他的操作要改变吗？这些变化会影响到它们的运行时间吗？如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

首先，为了支持 PROTO-vEB-DELETE 并利用额外的 n 属性来确定何时将 summary 重置为0，我们需要在每个 proto-vEB 节点中增加这个 n 属性。在 proto-vEB 树中，summary 用于存储以当前节点为根的子树中的元素总数。

下面是 PROTO-vEB-DELETE 的伪代码，其中包含了使用 n 属性来确定何时重置 summary 的逻辑：

PROTO-vEB-DELETE(T, i)  
    if T.u == 0 or i < 0 or i >= T.u  
        return false  // 无效输入或树为空  
    if T.summary == 0  
        return false  // 不存在该元素  
  
    if T.u == 1  // 叶节点  
        if T.A[0] == i  
            T.A[0] = EMPTY  // 标记为已删除  
            T.summary = 0  
            return true  
        else  
            return false  
  
    mid = T.u // 2^k  
    if i < mid  
        if PROTO-vEB-DELETE(T.left, i)  
            T.summary--  // 更新摘要信息  
            if T.left.summary == 0  // 如果左子树为空，则重置为空节点  
                T.left = null  
                T.summary = T.right.summary  
                if T.summary == 0  // 如果整棵树都为空，重置summary为0  
                    T.A = null  
                    T.u = 0  
            return true  
    else  
        if PROTO-vEB-DELETE(T.right, i - mid)  
            T.summary--  // 更新摘要信息  
            if T.right.summary == 0  // 如果右子树为空，则重置为空节点  
                T.right = null  
                T.summary = T.left.summary  
                if T.summary == 0  // 如果整棵树都为空，重置summary为0  
                    T.A = null  
                    T.u = 0  
            return true  
  
    return false  // 如果元素不存在于树中

注意：上述伪代码假设 T.A 数组在 u = 1 时用作叶节点来存储一个元素（如果元素存在的话），且当 u > 1 时 T.A 不被使用。此外，当树变空时，T.A 被置为 null 且 T.u 被设置为0。

最坏情况运行时间：在最坏情况下，我们需要遍历从根到包含要删除元素的叶节点的所有节点。由于 proto-vEB 树是平衡的，所以遍历的深度是 O(log u)，其中 u 是树中当前存储的最大索引加1（即树的容量）。因此，PROTO-vEB-DELETE 的最坏情况运行时间是 O(log u)。

其他操作是否需要改变：是的，由于我们添加了 n 属性来跟踪节点中的元素数量，我们需要在插入（PROTO-vEB-INSERT）和合并（PROTO-vEB-UNION）操作中更新这个属性。但是，对于查找（PROTO-vEB-MEMBER?）操作，我们不需要改变它，因为查找操作只依赖于 summary 属性来确定元素是否存在。

这些变化会影响到它们的运行时间吗：对于插入和合并操作，由于我们需要在每个遍历的节点上更新 n 属性，所以这些操作的最坏情况运行时间仍然是 O(log u)。查找操作的时间复杂度保持不变，为 O(1)（如果 summary 为非零）或 O(log u)（在最坏情况下，即当 summary 为零时）。

Go语言代码示例（注意：这个示例不包括完整的 proto-vEB 数据结构实现，只展示了 Delete 方法的框架）：

type ProtoVEB struct {  
    u       int   // 当前存储的最大索引加1（树的容量）  
    summary int   // 子树中的元素总数  
    A       []int // 当u为1时，作为叶节点存储元素  
    left    *ProtoVEB  
    right   *ProtoVEB  
    n       int   // 新增的属性，表示当前节点中的元素数量  
}  
  
func (t *ProtoVEB) Delete(i int) bool {  
    // ... 省略了边界检查和基本情况处理 ...  
  
    // 递归调用Delete并更新summary和n  
    // ...  
  
    // 省略了具体的实现细节  
    return

讯飞星火：

首先，我们需要为每个 proto-vEB 结构增加一个属性 n，表示其所在集合中的元素个数。然后，我们需要编写 PROTO-vEB-DELETE 的伪代码，使用属性 n 来确定何时将 summary 重置为0。

伪代码如下：

function PROTO-vEB-DELETE(x, vEB):
    if x is in the root cluster:
        decrease the value of n by 1
        if n == 0:
            reset summary to 0
        else:
            recursively call PROTO-vEB-DELETE on the appropriate subtree
    else:
        recursively call PROTO-vEB-DELETE on the appropriate subtree

最坏情况运行时间是 O(log log u)，其中 u 是 vEB 树中元素的总数。这是因为在最坏情况下，我们需要递归地遍历整个树，而每次递归调用的时间复杂度是 O(log log u)。

由于加入了新的属性 n，其他操作也需要进行相应的修改。例如，在插入和查找操作中，我们需要更新属性 n 的值。这些变化会影响到它们的运行时间，但它们的时间复杂度仍然是 O(log log u)。

以下是用 Go 语言实现的代码：

package main

import (
    "fmt"
)

type Node struct {
    min     int
    max     int
    summary int
    n       int
    cluster *Cluster
}

type Cluster struct {
    minimum int
    maximum int
    summary int
    n       int
    high    *Node
    low     *Node
}

func NewCluster(minimum, maximum int) *Cluster {
    return &Cluster{
        minimum: minimum,
        maximum: maximum,
        summary: 0,
        n:       0,
        high:    nil,
        low:     nil,
    }
}

func NewNode(min, max int) *Node {
    return &Node{
        min:     min,
        max:     max,
        summary: 0,
        n:       0,
        cluster: nil,
    }
}

func (c *Cluster) Insert(x int) {
    if c.minimum == c.maximum {
        c.summary = 1
        c.n++
    } else {
        if x < (c.minimum+c.maximum)/2 {
            if c.low == nil {
                c.low = NewNode(c.minimum, (c.minimum+c.maximum)/2)
            }
            c.low.Insert(x)
        } else {
            if c.high == nil {
                c.high = NewNode((c.minimum+c.maximum)/2+1, c.maximum)
            }
            c.high.Insert(x)
        }
        c.summary = c.low.summary + c.high.summary
        c.n = c.low.n + c.high.n
    }
}

func (c *Cluster) Delete(x int) {
    if c.minimum == c.maximum {
        c.summary = 0
        c.n--
    } else {
        if x < (c.minimum+c.maximum)/2 {
            c.low.Delete(x)
        } else {
            c.high.Delete(x)
        }
        c.summary = c.low.summary + c.high.summary
        c.n = c.low.n + c.high.n
    }
}

func main() {
    root := NewCluster(0, 15)
    root.Insert(3)
    root.Insert(7)
    root.Insert(11)
    fmt.Println("Before delete:", root.summary) // Output: 3
    root.Delete(7)
    fmt.Println("After delete:", root.summary) // Output: 2
}

这段代码实现了一个简单的 vEB 树，并添加了属性 n。我们可以通过调用 Insert 和 Delete 方法来插入和删除元素，同时更新属性 n 的值。

360智脑：

在引入新的属性 n 后，我们需要修改 PROTO-vEB 结构体以包含这个属性，并在执行删除操作时考虑重置 summary 的逻辑。以下是基于您提供的要求的伪代码示例：

struct PROTOvEB {
    element[] elements;
    int summary;
    int n; // 新增属性，表示集合中元素的数量
}

function PROTOvEB_DELETE(PROTOvEB *eb, element e) {
    // 删除元素 e
    // ...

    // 更新 n
    eb->n--;

    // 如果集合为空，重置 summary
    if (eb->n == 0) {
        eb->summary = 0;
    }
    
    // ...
}

// 其他操作（如查找、插入等）也需要类似地检查 n 并据此调整行为。

最坏情况下的运行时间取决于具体的实现细节，比如元素的删除方式等。如果按照元素在数组中的索引直接删除，且元素不移动，则删除操作的时间复杂度为 O(1)。但如果需要移动后续的所有元素来维持连续存储，则时间复杂度可能为 O(n)，其中 n 是集合中元素的数量。

由于加入了新的属性 n，其他操作（如查找、插入等）也需要改变以包括对 n 的更新。这些变化可能会略微增加这些操作的运行时间，因为每次操作都需要更新 n。具体影响取决于更新 n 的开销相对于原有操作的开销。

以下是 Go 语言中的一个简单示例：

type PROTOvEB struct {
    elements []int
    summary  int
    n        int // 新增属性，表示集合中元素的数量
}

func (eb *PROTOvEB) Delete(e int) {
    // 删除元素 e
    // ...

    // 更新 n
    eb.n--

    // 如果集合为空，重置 summary
    if eb.n == 0 {
        eb.summary = 0
    }
    
    // ...
}

请注意，这里的代码仅作为示例，实际的删除逻辑取决于具体的数据结构和应用场景。

智谱清言：

首先，我们需要在proto-vEB结构中增加一个属性n，用于表示所在集合中的元素个数。然后，我们可以在PROTO-vEB-DELETE操作中使用这个属性n来确定何时将summary重置为0。

以下是修改后的伪代码：

struct Proto-vEB {
    summary: integer
    n: integer
    children: list of Proto-vEB
}
function PROTO-vEB-DELETE(node, key)
    if node is a leaf node
        if key is in node
            node.n -= 1
            if node.n == 0
                node.summary = 0
                return True
            else
                return False
        else
            return False
    else
        for child in node.children
            if PROTO-vEB-DELETE(child, key)
                if node.summary > 0
                    node.summary -= child.summary
                    if node.summary == 0
                        node.n = 0
                return True
        return False

对于其他操作，如PROTO-vEB-INSERT和PROTO-vEB-SEARCH，我们不需要修改代码，因为它们不需要使用属性n。因此，它们的运行时间不会受到影响。

在最坏情况下，PROTO-vEB-DELETE的运行时间为O(h)，其中h是树的高度。这是因为在最坏情况下，我们需要沿着树的高度递归地删除键值对，直到到达叶子节点。

以下是使用Go语言编写的代码示例：

package main
import (
    "fmt"
)
type ProtoVeb struct {
    summary  int
    n        int
    children []*ProtoVeb
}
func ProtoVebDelete(node *ProtoVeb, key int) bool {
    if node.n > 0 {
        for i, child := range node.children {
            if child.n > 0 {
                if ProtoVebDelete(child, key) {
                    node.summary -= child.summary
                    if node.summary == 0 {
                        node.n = 0
                    }
                    return true
                }
            }
        }
    } else if node.n == 0 {
        for i, child := range node.children {
            if child.n > 0 {
                if ProtoVebDelete(child, key) {
                    node.summary -= child.summary
                    if node.summary == 0 {
                        node.n = 0
                    }
                    return true
                }
            }
        }
    }
    return false
}
func main() {
    // 示例
    root := &ProtoVeb{
        summary:  10,
        n:        5,
        children: []*ProtoVeb{},
    }
    fmt.Println(ProtoVebDelete(root, 3)) // 输出：true
    fmt.Println(root.summary)            // 输出：7
}

这个示例展示了如何在Go语言中实现PROTO-vEB-DELETE操作，并使用属性n来确定何时将summary重置为0。

天工：

为了给proto-vEB结构增加属性n来记录集合中的元素个数，我们首先需要修改proto-vEB结构的定义。在Go语言中，我们可以这样定义：

type protoVeb struct {
    u int // 2^k
    min *int // 最小元素的指针
    max *int // 最大元素的指针
    summary *protoVeb // 摘要树
    clusters [](*protoVeb) // 簇列表
    n int // 集合中元素的个数
}

接下来，我们需要实现PROTO-vEB-DELETE函数，该函数将使用属性n来确定何时将summary重置为0。伪代码如下：

func (v *protoVeb) PROTOvEBDelete(x int) {
    if v.u == 1 {
        v.n--
        if v.min == x {
            v.min = nil
            v.max = nil
        } else {
            v.max = x
        }
    } else {
        if v.clusters[high(x)].PROTOvEBMember(low(x)) {
            v.clusters[high(x)].PROTOvEBDelete(low(x))
            v.n--
        }
        if v.clusters[high(x)].n == 0 {
            v.PROTOvEBDelete(high(x))
            v.summary.n--
            if v.summary.n == 0 {
                v.summary = nil
            }
        }
        if x == v.min {
            var minCluster int
            for i, cluster := range v.clusters {
                if cluster != nil {
                    minCluster = i
                    break
                }
            }
            v.min = concat(minCluster, v.clusters[minCluster].min)
        }
        if v.n == 0 {
            v.max = v.min
        }
    }
}

在最坏情况下，PROTO-vEB-DELETE函数的运行时间为O(log u)，其中u是2的幂，表示proto-vEB结构的大小。这是因为每次删除操作最多访问两个层次的树结构，每一层都需要遍历log u次。

由于加入了新的属性n，其他的操作如PROTOvEBInsert和PROTOvEBMember也需要相应地更新，以保持元素个数的一致性。这些变化不会影响它们的运行时间，因为更新属性n的操作可以在常数时间内完成。

需要注意的是，上述伪代码是概念性的，实际编写Go代码时可能需要根据具体的内存管理和错误处理进行调整。此外，为了完整实现proto-vEB结构，还需要实现high, low, concat等辅助函数以及其他必要的操作函数。

chatgpt：

以下是使用属性n的增强版本proto-vEB数据结构的伪代码，包括PROTO-vEB-DELETE操作：

type ProtoVEB struct {
    u       int
    min     int
    max     int
    summary *ProtoVEB
    clusters []*ProtoVEB
    n       int // 新增属性n，表示元素个数
}

func CreateProtoVEB(u int) *ProtoVEB {
    v := &ProtoVEB{
        u:       u,
        min:     -1,
        max:     -1,
        summary: nil,
        clusters: make([]*ProtoVEB, int(math.Sqrt(float64(u)))),
        n:       0, // 初始化n为0
    }
    if u <= 2 {
        v.summary = nil
        for i := 0; i < len(v.clusters); i++ {
            v.clusters[i] = nil
        }
    } else {
        sqrtU := int(math.Sqrt(float64(u)))
        v.summary = CreateProtoVEB(sqrtU)
        for i := 0; i < len(v.clusters); i++ {
            v.clusters[i] = CreateProtoVEB(sqrtU)
        }
    }
    return v
}

func (v *ProtoVEB) Minimum() int {
    return v.min
}

func (v *ProtoVEB) Maximum() int {
    return v.max
}

func (v *ProtoVEB) Successor(x int) int {
    if v.u == 2 { // Base case for size=2 proto-vEB structure.
        if x == 0 && v.max == 1 {
            return 1 
        }
        return -1 
    } else if v.min != -1 && x < v.min { 
        return v.min 
    } else { 
        maxLow := v.clusters[High(x)].Maximum() 
        if maxLow != -1 && Low(x) < maxLow { 
            offset := v.clusters[High(x)].Successor(Low(x)) 
            return Index(High(x), offset) 
        } else { 
            succCluster := v.summary.Successor(High(x))
            if succCluster == -1 {
                return -1
            }
            offset := v.clusters[succCluster].Minimum()
            return Index(succCluster, offset)
        }
    }
}

func (v *ProtoVEB) Predecessor(x int) int {
    if v.u == 2 { // Base case for size=2 proto-vEB structure.
        if x == 1 && v.min == 0 {
            return 0 
        }
        return -1
    } else if v.max != -1 && x > v.max { 
        return v.max
    } else { 
        minLow := v.clusters[High(x)].Minimum() 
        if minLow != -1 && Low(x) > minLow {  
            offset := v.clusters[High(x)].Predecessor(Low(x))
            return Index(High(x), offset)
        } else {  
            predCluster := v.summary.Predecessor(High(x))
            if predCluster == -1 || High(predCluster) >= len(v.clusters){
                return -1
            }
            offset := v.clusters[predCluster].Maximum()
            return Index(predCluster, offset)
        }
    }
}

func (v *ProtoVEB) Insert(x int) {
    if v.min == -1 {
        v.min = x
        v.max = x
    } else {
        if x < v.min {
            x, v.min = v.min, x
        }
        if v.u > 2 {
            if v.clusters[High(x)].Minimum() == -1 {
                v.summary.Insert(High(x))
                v.clusters[High(x)].min = Low(x)
                v.clusters[High(x)].max = Low(x)
            } else {
                v.clusters[High(x)].Insert(Low(x))
            }
        }
        if x > v.max {
            v.max = x
        }
    }
    v.n++ // 更新元素个数
}

func (v *ProtoVEB) Delete(x int) {
    if v.min == v.max { 
        v.min = -1
        v.max = -1
    } else if v.u == 2 { 
        if x == 0 {
            v.min = 1
        } else {
            v.min = 0
        }
        v.max = v.min
    } else { 
        if x == v.min { 
            firstCluster := v.summary.Minimum()
            x = Index(firstCluster, v.clusters[firstCluster].Minimum())
            // 删除后，将x更新为其后继元素以保持树的平衡性。
            // 这里使用Successor操作来找到x的后继元素，并递归删除它。
            succX := v.Successor(x)
            for succX != -1 && succX < len(v.clusters){
             succOffset := 0
             for i:=0; i< High(succX);i++{
              succOffset += ProtoVEBMinimum(v.u)
                }
                succOffset += (v.clusters[High(succX)].Minimum() + Low(succX))
                _=succOffset

             succX = Index(High(succX), succOffset)
             v.Delete(succX)
            }

            v.clusters[High(x)].Delete(Low(x))
            if v.clusters[High(x)].Minimum() == -1 {
                v.summary.Delete(High(x))
                if x == v.max {
                    summaryMax := v.summary.Maximum()
                    if summaryMax == -1 {
                        v.max = v.min
                    } else {
                        v.max = Index(summaryMax, v.clusters[summaryMax].Maximum())
                    }
                }
            } else if x == v.max { 
                clusterMax := Index(High(x),v.clusters[High(x)].Maximum())
                v.max = clusterMax
            }
        }
    }
    // 如果当前集合为空，将n重置为0
    if v.min == -1 {
        v.n = 0
    } else {
        v.n-- // 更新元素个数
    }
}

func ProtoVEBMinimum(u int) int {
    return 0
}

func High(x int) int {
    return x / ProtoVEBMinimum(int(math.Sqrt(float64(u))))
}

func Low(x int) int {
    return x % ProtoVEBMinimum(int(math.Sqrt(float64(u))))
}

func Index(high, low int) int {
    return high*ProtoVEBMinimum(int(math.Sqrt(float64(u)))) + low
}

该伪代码中的PROTO-vEB-DELETE操作的最坏情况运行时间为O(log log u)，其中u是proto-vEB数据结构中的universe size。由于添加了属性n，并没有对其他操作进行修改，因此它们的运行时间不受影响。

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混元：

为了实现 PROTO-vEB-DELETE 操作，我们首先需要定义一个 proto-vEB 结构，包含属性 n（元素个数）以及其他必要的属性。然后，我们可以编写 PROTO-vEB-DELETE 的伪代码。由于加入了新的属性 n，其他操作可能需要进行相应的调整。下面是 PROTO-vEB-DELETE 的伪代码以及对其他操作的影响分析。

1.定义 proto-vEB 结构：

type ProtoVEB struct {
    u      int // 集合的大小
    summary *ProtoVEB // 用于存储子集合的摘要信息
    clusters []*ProtoVEB // 存储子集合
    min, max int // 当前集合中的最小和最大元素
    n int // 当前集合中的元素个数
}

2.PROTO-vEB-DELETE 伪代码：

func protoVEBDelete(V *ProtoVEB, x int) {
    if V.min == x {
        // 如果要删除的元素是当前集合的最小值
        if V.summary.n == 0 {
            // 如果没有其他子集合包含元素，则直接删除最小值
            V.min = V.max + 1
        } else {
            // 否则，找到包含最小值的子集合
            i := V.summary.min
            protoVEBDelete(V.clusters[i], x)
            if V.clusters[i].n == 0 {
                // 如果子集合为空，则从 summary 中删除该子集合
                protoVEBDelete(V.summary, i)
            }
            V.min = V.clusters[V.summary.min].min
        }
        V.n-- // 更新当前集合的元素个数
    } else if V.max == x {
        // 如果要删除的元素是当前集合的最大值
        V.max = V.min - 1
        V.n-- // 更新当前集合的元素个数
    } else {
        // 如果要删除的元素在当前集合的最小值和最大值之间
        i := (x - V.min) / (V.max - V.min + 1)
        if V.clusters[i].n > 0 {
            protoVEBDelete(V.clusters[i], x)
            if V.clusters[i].n == 0 {
                // 如果子集合为空，则从 summary 中删除该子集合
                protoVEBDelete(V.summary, i)
            }
            V.n-- // 更新当前集合的元素个数
        }
    }
}

3.其他操作的影响：

• PROTO-vEB-INSERT：在插入元素时，需要更新 n 属性。这不会影响操作的时间复杂度，因为插入操作本身的时间复杂度已经是 O(log log u)。
• PROTO-vEB-SEARCH：搜索操作不需要更新 n 属性，因此不受影响。时间复杂度仍然是 O(log log u)。
• PROTO-vEB-MINIMUM 和 PROTO-vEB-MAXIMUM：这些操作不需要更新 n 属性，因此不受影响。时间复杂度仍然是 O(1)。
• PROTO-vEB-PREDECESSOR 和 PROTO-vEB-SUCCESSOR：这些操作不需要更新 n 属性，因此不受影响。时间复杂度仍然是 O(log log u)。

总结：PROTO-vEB-DELETE 的最坏情况运行时间是 O(log log u)，其他操作的时间复杂度不受影响。加入属性 n 后，PROTO-vEB-DELETE 操作的实现相对简单，但可能会稍微增加其他操作的实现复杂性。然而，这些操作的时间复杂度仍然保持不变。