【LeetCode】--- 动态规划 集训（二）

一、63. 不同路径 II

题目地址： 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。 现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？ 网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] 输出：2 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。

从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

1.1 题目解析

状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：

1. 从 [i, j]位置出发，到达⽬标位置有多少种方式；
2. 从起始位置出发，到达 [i, j]位置，，⼀共有多少种方式。

这⾥选择第⼆种定义状态表示的方式：dp[i][j]表示：走到 [i, j]位置处，⼀共有多少种方式。

状态转移：

简单分析⼀下。如果 dp[i][j]表示到达 [i, j]位置的方法数，那么到达 [i, j]位置之前的⼀小步，有两种情况：

1. 从 [i, j]位置的上方（ [i - 1, j]的位置）向下走一步，转移到 [i, j]位置；
2. 从 [i, j]位置的左方（ [i, j - 1]的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j]位置。

但是， [i - 1, j]与 [i, j - 1]位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能到达 [i, j]位置的，也就是说，此时的方法数应该是 0。由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上「有障碍物」，那么我们就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。

初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

1. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
2. 「下标的映射关系」。

在本题中，添加一行，并且添加⼀列后，只需将 dp[1][0]的位置初始化为 1即可。 添加一行和一列是因为[i, j]位置需要[i - 1, j]和[i, j - 1]两个方位的值，以此确保状态表不越界，将dp[1][0]初始化为1，为了保证在起点时有方法数 1 。

填表顺序：

根据「状态转移」的推导，填表的顺序就是 「从上往下」填每一行，每一行「从左往右」。

返回值：

根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n]。

1.2 状态转移方程

从当前位置的上方和左方，到达当前位置的方法数：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];。还需要注意的是若当前位置为障碍物，直接将当前状态置为0(即dp[i][j] = 0;)

1.3 解题代码

class Solution 
{
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) 
    {
        int row = obstacleGrid.size(), col = obstacleGrid[0].size();
        //1. 创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 1));
        //2. 初始化
        dp[0][1] = 1;
        //3. 填表
        //从上到下填表 -> 从左到右填表
        for (int i = 1; i <= row; ++i)
            for (int j = 1; j <= col; ++j)
                if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 0) dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
        //4. 返回值
        return dp[row][col];
    }
};

二、931. 下降路径最小和

题目地址： 931. 下降路径最小和

给你一个n x n的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和。 下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置(row, col) 的下一个元素应当是(row + 1, col - 1)、(row + 1, col)或者 (row + 1, col + 1) 。

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]] 输出：13 解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

2.1 题目解析

状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示一般有两种形式：

1. 从 [i, j] 位置出发，到达⽬标位置有多少种方式；
2. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，⼀共有多少种方式

这里选择第⼆种定义状态表示的方式： dp[i][j]表示：到达 [i, j]位置时，所有下降路径中的最小和。

状态转移：

对于普遍位置 [i, j]，根据题意得，到达 [i, j]位置可能有三种情况：

1. 从正上方 [i - 1, j]位置转移到 [i, j]位置；
2. 从左上方 [i - 1, j - 1]位置转移到 [i, j]位置；
3. 从右上方 [i - 1, j + 1]位置转移到 [i, j]位置；

我们要的是三种情况下的「最小值」，然后再加上矩阵在 [i, j]位置的值。于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j] 。

初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

1. 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」；
2. 「下标的映射关系」。

事实上这题的状态转移方程是不难想到的，而关键问题在于初始化。[i, j]位置的值可以从三个方向来 - 上、左、右，所以为了不越界，在本题中，需要「加上一行」，并且「加上两列」(最左边和最右边)。 所有的位置都初始化为无穷大，然后将第一行初始化为 0 即可。将初始值设为无穷大是因为，这些是虚拟节点，不应该对选数造成影响(即大于其他两路的值)。

填表顺序：

根据「状态表示」，填表的顺序是「从上往下」。

返回值：

注意这里不是返回 dp[m][n]的值！ 题⽬要求「只要到达最后一行」就行了，因此这⾥应该返回「 dp 表中最后一行的最小值」。

2.2 状态转移方程

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j]; 。

2.3 解题代码

class Solution 
{
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) 
    {
        //1. 创建dp表
        int row = matrix.size(), col = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 2, INT_MAX));
        //2. 初始化列表
        //第一行变为0
        for(int i = 0; i < col + 2; ++i) dp[0][i] = 0;
        //3. 填表
        for(int i = 1; i <= row; ++i)
            for(int j = 1; j <= col; ++j)
                dp[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] 
                             + min(min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j + 1]);
        //4. 返回结果
        int ans = INT_MAX;
        for(int i = 1; i <= col; ++i)
            ans = min(ans, dp[row][i]);
        return ans;
    }
};

三、174. 地下城游戏

题目地址： 174. 地下城游戏

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。 骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。 有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。 为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。 返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。 注意： 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]] 输出：7 解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

3.1 题目解析

状态表示：

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j]位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后面的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

这个时候我们要换⼀种状态表示：从 [i, j]位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。 这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述，定义状态表示为： dp[i][j]表示：从 [i, j]位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

状态转移方程：

对于 dp[i][j]，从 [i, j]位置出发，下⼀步会有两种选择（为了方便理解，设 dp[i][j]的最终答案是 x ）：

1. 走到右边，然后走向终点: 那么我们在 [i, j]位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1]。通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j]。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j]；
2. 走到下边，然后走向终点: 那么我们在 [i, j]位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要大于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j]。通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j]。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j]；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最小值，因此可得状态转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j]是⼀个比较大的正数的话， dp[i][j]的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会小于 1 ，那么骑士就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j]如果小于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j]与 1 取⼀个最大值即可：dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

1. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
2. 「下标的映射关系」。

在本题中，在 dp 表最后⾯添加一行，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷大，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1即可。

填表顺序：

根据「状态转移方程」，我们需要「从下往上填每一行」，「每一行从右往左」。

返回值：

根据「状态表示」，我们需要返回 dp[0][0]的值。

3.2 状态转移方程

骑士到达当前位置最低健康点数：dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j] 确保健康值不低于1：dp[i][j] = max(1, dp[i][j]);

3.3 解题代码

class Solution
{
    public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) 
    {
        int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
        // 建表 + 初始化
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        // 填表
        for(int i = m - 1; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = n - 1; j >= 0; j--)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j];
                dp[i][j] = max(1, dp[i][j]);
            }
        }
        // 返回结果
        return dp[0][0];
    }
};