手算Q4单元刚度矩阵

平面四边形等参单元(Q4)的刚度矩阵

由前文可知

k是矩阵，若将看作函数，则也是列阵。

是积分点的坐标。将k分块，即

如图是一个单元,。采用4个高斯积分点计算单元刚度矩阵。

四个积分点坐标分别为：

积分点权重皆为1

于是

附python代码：

import numpy 
as np
A = np.array([ [-1.5773 , 1.5773 , 0.4227 , -0.4227],
[-1.5773 , -0.4227 , 0.4227 , 1.5773] ] )
B = np.array([ [3,2],[5,2],[5,4],[3,4] ])
C = np.dot(A,B)
C = 0.25 *C

同理可得

同理可得

由此可得

其余计算相同。

单元刚度矩阵特点：

1.对称性

2. 奇异性

3. 主对角元素恒正

4. 所有奇数（偶数）行的和为 0

刚度是表示物质形变能力的一个量，也就是说物体抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的节点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。或者说，是物体产生单位的位移所需要加载的载荷量。刚度矩阵和刚度概念相似，就是把刚度变到了多维 比考虑了在多维的情况下 各个维度的相关性。