针对模型降阶的机器学习

模型降阶的作用是降低数值模型（ODEs）的阶数，加速模型模型的求解速度，基于机器学习的模型降阶方法是具有很大发展潜力的方向。

世界由物质和能量组成，工程科学的目标是理解物质和能量，并试图模拟和开发任何系统。

许多物理现象可以用数学上相同形式的系统表示，而任何系统都能用一组连续的偏微分方程（partial differential equations，PDEs）或离散的常微分方程（ordinary differential equations，ODEs）表示。同时，任意一组偏微分方程都应该转化为一个ODEs，可能是线性ODEs或非线性ODEs。因此，需要离散化来估计连续系统的行为。比如，麦克斯韦尔方程（Maxwellequation）就是在连续时间和空间下的描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的复杂关系。大部分的计算机辅助工具利用数值有限元方法（finite element method，FEM）来准确地在空间上离散化，建立模型，并模拟这些复杂系统。

物理系统的数学建模流程如下：

在矩阵形式系统下求解线性ODEs方程可以利用直接法，比如高斯消去法，和间接法（迭代法），比如Jacobi方法，求解非线性ODEs方程，可以利用Newton方法。这些方法对分析中等规模的问题很适合。但对于大规模的ODEs问题，这类方法往要几天甚至几周的时间，因此，需要加速这个模拟过程的算法和技术。加速这种模拟的一种方式是用简化的系统替换原始系统，新系统能刻画原来系统主要的特征，这种方法成为模型降阶技术（modelorder reduction, MOR）。利用该技术可以降低原来系统的复杂度，产生低阶的模型来代替原来高阶模型。

目前有很多MOR方法，但还没有哪种方法对所有系统都使用，每种系统都需要利用相应的最合适的降阶技术，因此仍需要更先进的MOR技术。基于机器学习的MOR技术最近几年发展很快，并在多个领域发挥了一定作用。MOR代表了一个重要研究领域，它不仅广泛应用于电磁学领域，也应用其领域，比如流体动力学、机械学、计算生物学、电路设计、控制理论、生物医学应用，等等模型降阶的方法在文献(J.R.Koza, 1992)和文献(S. Panda, 2012)中首次提到，在文献(S.N.Sivanandam, 2016)中详细讨论了大型矩阵可以简化为小型矩阵并得到合理的估计。基本的MOR方法在上世纪80年代和90年代大量发表，后来有出现了很多新的MOR方法。所有的MOR方法可以分为5类，分别为频率域方法、时间域方法、频率-时间域方法和优化技术。尽管存在许多的MOR方法，仍有许多问题没法解决，而且，非线性MOR方法（NMOR），以及参数化的MOR方法(PMOR)仍非常不成熟。

参考文献

Mohamed, Khaled Salah. "Machine Learning for ModelOrder Reduction."2018