“前一篇文章我们讲解了傅立叶变换的理论公式，而实际工程应用中采集到的信号都是离散的数据，采用的是离散傅立叶变换。让我们继续解析一下其推导过程及相关概念”
无论是处理声音和图像信号，都必须用到傅立叶变换。其实除了这些“正经”用途，它还能做一些有意思的事情。
傅立叶变换是一种从完全不同的角度查看数据的强大方法：从时域到频域。 但是这个强大的运算用它的数学方程看起来很可怕。
基于python的快速傅里叶变换FFT（二） 本文在上一篇博客的基础上进一步探究正弦函数及其FFT变换。
图 (a): (从左到右) (1) 原始图片 (2) 使用高斯低通滤波器 (3) 使用高斯高通滤波器. 本文中的原始图像来自OpenCV Github示例。
傅立叶变换是物理学家、数学家、工程师和计算机科学家常用的最有用的工具之一。本篇文章我们将使用Python来实现一个连续函数的傅立叶变换。
傅立叶变换是许多应用中的重要工具，尤其是在科学计算和数据科学中。因此，SciPy 长期以来一直提供它的实现及其相关转换。最初，SciPy 提供了该scipy.fftpack模块，但后来他们更新了他们的实现并将其移到了scipy.fft模块中。
除其他事项外，傅立叶分析通常用于数字信号处理。 这要归功于它在将输入信号（时域）分离为以离散频率（频域）起作用的分量方面如此强大。 开发了另一种快速算法来计算离散傅里叶变换（DFT），这就是众所周知的快速傅里叶变换（FFT），它为分析及其应用提供了更多可能性。 NumPy 针对数字计算，也支持 FFT。 让我们尝试使用 NumPy 在应用上进行一些傅立叶分析！ 注意，本章假定不熟悉信号处理或傅立叶方法。
原文Basic Sound Processing with Python描述了怎样在Python中通过pylab接口对声音进行基本的处理。
如果你像我一样，试着理解mel的光谱图并不是一件容易的事。你读了一篇文章，却被引出了另一篇，又一篇，又一篇，没完没了。我希望这篇简短的文章能澄清一些困惑，并从头解释mel的光谱图。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是指傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号做DFT，也应当对其经过周期延拓成为周期信号再进行变换。在实际应用中，通常采用快速傅里叶变换来高效计算DFT。
翻译：陈之炎 校对：李海明 本文约2400字，建议阅读5分钟本文为大家介绍了OpenCV离散傅里叶变换。 目标 本小节将寻求以下问题的答案： 什么是傅立叶变换，为什么要使用傅立叶变换？ 如何在OpenCV中使用傅立叶变换？ copyMakeBorder() , merge() , dft() , getOptimalDFTSize() , log() 和 normalize() 等函数的使用方法。 源代码 可以到 samples/cpp/tutorial_code/core/discrete_fo
机器学习和深度学习中的模型都是遵循数学函数的方式创建的。从数据分析到预测建模，一般情况下都会有数学原理的支撑，比如：欧几里得距离用于检测聚类中的聚类。
倒频谱可以分析复杂频谱图上的周期结构，分离和提取在密集调频信号中的周期成分，对于具有同族谐频、异族谐频和多成分边频等复杂信号的分析非常有效。倒频谱变换是频域信号的傅立叶积分变换的再变换。时域信号经过傅立叶积分变换可转换为频率函数或功率谱密度函数，如果频谱图上呈现出复杂的周期结构而难以分辨时，对功率谱密度取对数再进行一次傅立叶积分变换，可以使周期结构呈便于识别的谱线形式。第二次傅立叶变换的平方就是倒功率谱，即“对数功率谱的功率谱”。倒功率谱的开方即称幅值倒频谱，简称倒频谱。
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而他的独特是因为：他不像其他科学家那般死抓着纯数学研究，而是致力于将数学应用于实际生产。
信号是数字信号处理领域中最基本、最重要的概念。而数字信号变换技术，又是对信号进行处理操作的最基本的有效途径之一。因此，数字信号变换技术，便成为数字信号处理领域中专业人员所必须要张我的一项最基本的技能。
图像超分辨率重建技术就是利用一组低质量、低分辨率图像(或运动序列)来产生单幅高质量、高分辨率图像。图像超分辨率重建应用领域及其宽广，在军事，医学，公共安全，计算机视觉等方面都存在着重要的应用前景。在计算机视觉领域，图像超分辨率重建技术有可能使图像实现从检出水平(detection level)向识别水平(recognition level)的转化，或更进一步实现向细辨水平(identification level)的转化。图像超分辨率重建技术可以提高图像的识别能力和识别精度。图像超分辨率重建技术可以实现目标物的专注分析，从而可以获取感兴趣区域更高空间分辨率的图像，而不必直接采用数据量巨大的高空间分辨率图像的配置。[1]
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
像素：一张图片在不停的放大到再也无法放大的时候，呈现在我们眼前的是一个个小的颜色块，这种带有颜色的小方块就可以被称为像素
写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。
傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
NumPy 是一个 Python 包。 它代表 “Numeric Python”。 它是一个由多维数组对象和用于处理数组的例程集合组成的库。 Numeric，即 NumPy 的前身，是由 Jim Hugunin 开发的。 也开发了另一个包 Numarray ，它拥有一些额外的功能。 2005年，Travis Oliphant 通过将 Numarray 的功能集成到 Numeric 包中来创建 NumPy 包。 这个开源项目有很多贡献者。 Numpy是一个开源的Python科学计算库，它是python科学计
要理解这些变换，首先需要理解什么是数学变换！如果不理解什么是数学变换的概念，那么其他的概念我觉得也没有理解。
第一部分、 DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）
任何一个函数都可以由一系列正弦波的叠加表示，比如盒子函数对应的傅立叶函数形式如下：
数字图像处理是一门涉及获取、处理、分析和解释数字图像的科学与工程领域。这一领域的发展源于数字计算机技术的进步，使得对图像进行复杂的数学和计算处理变得可能。以下是数字图像处理技术的主要特征和关键概念：
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。”分析”二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，”分析”二字，实际就是”条分缕析”而已。它通过对函数的”条分缕析”来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，”分析主义”和”还原主义”，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。”任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用
NumPy 是一个 Python 包。 它代表 “Numeric Python”。 它是一个由多维数组对象和用于处理数组的例程集合组成的库。
“在对电机进行电磁力分析时，需要对其进行两维傅立叶变换，本文将通过动图及视频的方式解释两维傅立叶变换的目的及过程。整篇文章有6个视频，由于微信公众平台每篇文章仅能调用3个，故文章分为两部分，本文为Part2。”
“问渠那得清如许，为有源头活水来”，通过前沿领域知识的学习，从其他研究领域得到启发，对研究问题的本质有更清晰的认识和理解，是自我提高的不竭源泉。为此，我们特别精选论文阅读笔记，开辟“源头活水”专栏，帮助你广泛而深入的阅读科研文献，敬请关注！
NumPy 是一个 Python 包。 它代表 “Numeric Python”。 它是一个由多维数组对象和用于处理数组的例程集合组成的库。 Numeric，即 NumPy 的前身，是由 Jim Hugunin 开发的。 也开发了另一个包 Numarray ，它拥有一些额外的功能。 2005年，Travis Oliphant 通过将 Numarray 的功能集成到 Numeric 包中来创建 NumPy 包。 这个开源项目有很多贡献者。 Numpy是一个开源的Python科学计算库，它是python科学计算
本文介绍了香港科技大学（广州）的一篇关于大模型高效微调（LLM PEFT Fine-tuning）的文章「Parameter-Efficient Fine-Tuning with Discrete Fourier Transform」，本文被 ICML 2024 接收，代码已开源。
“在对电机进行电磁力分析时，需要对其进行两维傅立叶变换，本文将通过动图及视频的方式解释两维傅立叶变换的目的及过程。整篇文章有6个视频，由于微信公众平台每篇文章仅能调用3个，故文章分为两部分，本文为Part1。”
在对复杂的二元函数进行绘图的时候，往往无法手动绘制出图像。那么该如何通过Python绘制出二元函数图像呢？
小波变换（Wavelet Transform，WT）是一种新的变换分析方法，其继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了后者窗口大小不随频率变化的缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。
音调主要和声波的频率有关。但是音调和频率并不是成正比的关系，它还与声音的强度 及波形有关。
断断续续写了一个多星期，期间找了很多同学讨论学习，感谢指导过点拨过我的同学们，为了精益求精本着不糊弄别人也不糊弄自己的原则在本文中探讨了很多细节。
信号(singal)简介 我们在生活中经常遇到信号。比如说，股票的走势图，心跳的脉冲图等等。在通信领域，无论是的GPS、手机语音、收音机、互联网通信，我们发送和接收的都是信号。最近，深圳地铁通信系统疑
RSA加密曾被视为最可靠的加密算法，直到秀尔算法出现，打破了RSA的不灭神话。 RSA加密 VS 秀尔算法 作为RSA加密技术的终结者——“太多运算，无法读取”的秀尔算法（Shor’s algorithm）不是通过暴力破解的方式找到最终密码的，而是利用量子计算的并行性，可以快速分解出公约数，从而打破了RSA算法的基础（即假设我们不能很有效的分解一个已知的整数）。 同时，秀尔算法展示了因数分解这问题在量子计算机上可以很有效率的解决，所以一个足够大的量子计算机可以破解RSA。 RSA加密“曾经”之所以强大
“上一篇介绍了传递函数H(f)的计算方法，工程应用中很多传递函数并非简单的输出比输入（Output/Input)一次得到，而是需要进行多次平均，通过平均算法来降低输入噪声或输出噪声对传递函数计算的影响”
一般傅里叶变换与反变换的公式是成对儿给出的。1、如果正变换 前有系数1/2*π，则反变换 前无系数2、如果正变换 前无系数，则反变换 前有系数1/2*π3、正、反变换 前.
基本步骤是： f(x,y)--------àDFT-------à频率域滤波--------àIDFT---------àg(x,y) 第一步是二维傅立叶变换，结果是一个傅立叶频谱 如f
K空间的数据分布实际上是图像空间中数据的二维傅立叶变换结果。 K空间中的数据点和图像空间中的数据点并不是一一对应的。一个K空间中的数据点对应了图像空间中所有数据点的一部分信息。事实上，K空间中的数据正是图像空间中的数据作二维傅立叶变换的结果（图1），也就是说，我们的“大脑图像”可以被看作是由一系列频率、相位、方向各异的二维正弦波叠加而成的，而K空间的数据正表示了图像的正弦波组成。因此，为了理解如何从K空间中的数据变换得到图像空间中的数据，我们必须首先理解傅立叶变换。
功能强大的N维数组对象。精密广播功能函数。集成 C/C+和Fortran 代码的工具。强大的线性代数、傅立叶变换和随机数功能。
NumPy是Python中科学计算的基础包，它是一个Python库，提供多维数组对象，各种派生对象（如掩码数组和矩阵），以及用于数组快速操作的各种API，有包括数学、逻辑、形状操作、排序、选择、输入输出、离散傅立叶变换、基本线性代数，基本统计运算和随机模拟等等。
“前一篇文章我们讲解了离散傅立叶变换的公式、推导及应用方法，本文我们将基于离散傅立叶变换来进行滤波器的讲解，并举例说明频域滤波和时域滤波的异同”
1. 学习并掌握序列的傅里叶变换及其性质． 2.了解其在计算机上的实现方法． 二、实验原理及方法 所谓傅立叶变换就以时间为自变量的“信号”与频率为自变量的“频谱”函数之间的某种变换关系。当自变量“时间”或频率取连续形式和离散形式的不同组合就可形成各种不同的傅立叶变换对。离散时间非周期信号及其频率之间的关系，可以用序列的傅立叶变换对来表示。 设x(n)是非周期序列，它的傅里叶变换对定义如下：
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