高等数学是很多理工类专业必修的课程之一,一般要求都在大一期间完成。而高等数学中最为精彩的部分就是微积分,同时微积分是现代工程技术的基础,也是后续从事科学研究的根基。微积分主要包含两个部分:微分和积分。但是高等数学对于很多大学生来说都是异常的枯燥,能不能让微积分变得有趣起来呢?是不是可以通过编程的方式来进行复杂微积分的计算呢?本文将为大家介绍利用python来实现微积分的计算,让微积分的学习不再枯燥。
鉴于机器学习(ML)对编程语言、编译器和生态系统的众多需求,现在已经有很多有趣的发展。不仅 TensorFlow 和 PyTorch 等现有系统间的权衡得不到解决,而且这两个框架都包含不同的「静态图」和「eager execution」接口,但它们的形式已经比以前更加清晰。与此同时,机器学习模型基本上是可微分算法的思想(通常称为可微分编程)已经流行起来。
一般的数学算式math就可以解决了,但是涉及到极限,微积分等知识,math就不行了,程序中无法用符号表示出来。
本文总结了常用的数学模型方法和它们的主要用途,主要包括数学和统计上的建模方法,关于在数学建模中也挺常用的机器学习算法暂时不作补充,以后有时间就补。至于究竟哪个模型更好,需要用数据来验证,还有求解方法也不唯一,比如指派问题,你可以用线性规划OR动态规划OR整数规划OR图与网络方法来解。
在上一篇文章小白也能看懂的BP反向传播算法之Towards-Backpropagation,我们学习了如何利用函数的微分来更新变量值,是函数值发生相应的变化! 例如,对于函数
看过好几篇关于梯度下降的算法,也就下面这篇讲的比较明白,原文:https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e?utmcampaign=haruki&utmcontent=
神经网络的快速发展离不开底层数学算法的演进。反向传播算法作为神经网络中学习的主力,最初是在20世纪70年代引入的,但其重要性直到1986年由一篇着名的论文才得到充分的重视,其作者是DavidRumelhart,GeoffreyHinton和RonaldWilliams。该论文描述了几种神经网络,而其中反向传播比其他早期的学习方法快得多,从而可以使用神经网络来解决以前不能解决的问题。 说到神经网络,大家看到这个图应该不陌生: 📷 其对应的表达式如下: 上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值,它们就是深度
1.利用python的Sympy库求解微分方程的解 y=f(x),并尝试利用matplotlib绘制函数图像
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748,来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量,粗体小写字母 表示列向量,大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路,常应用于二阶方法求解优化问题。
如今随着科技不断的发展,技术的不断革新,开发者们不断面临着各种新的场景与挑战,例如大数据、人工智能、深度学习、大规模集群计算、更复杂的网络环境、多核处理器引起对于高并发的需求,云计算、云处理等等……在这个环境下,AI编译器横空出世了。
1.偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数 对x求偏导的话y就看作一个数,描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点.就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念.
hello,大家好,我是一点,专注于Python编程,如果你也对感Python感兴趣,欢迎关注交流。
集成电路板等电子产品生产中,控制回焊炉各部分保持工艺要求的温度对产品质量至关重要(点击文末“阅读原文”了解更多)。
本文和下文以 Automatic Differentiation in Machine Learning: a Survey 这篇论文为基础,逐步分析自动微分这个机器学习的基础利器。
这是一个P的导数,相关与P函数本身的一个微分方程,Autonomous differential equations 自控微分方程 。看上去是不是很复杂,这个时候我们就要呼唤欧拉了 :欧拉方法,命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉(),是一种一阶数值方法,用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法(Explicit method)。
TensorFlow有5个不同的层次结构:即硬件层,内核层,低阶API,中阶API,高阶API。本章我们将以线性回归为例,直观对比展示在低阶API,中阶API,高阶API这三个层级实现模型的特点。
总结:如果对一个listz=[z1,z2,z3]求微分,其结果将自动求和,而不是返回z1、z2和z3各自对[w1,w2]的微分。
功能函数:ode45,ode23,ode113 例:用RK方法(四阶龙格—库塔方法)求解方程 f=-2y+2x^2+2*x
梯度下降(gradient descent)在机器学习中应用十分的广泛,不论是在线性回归还是Logistic回归中,它的主要目的是通过迭代找到目标函数的最小值,或者收敛到最小值。 本文将从一个下山的场景开始,先提出梯度下降算法的基本思想,进而从数学上解释梯度下降算法的原理,解释为什么要用梯度,最后实现一个简单的梯度下降算法的实例!
在上一篇文章小白也能看懂的BP反向传播算法之Let's practice Backpropagation,我们计算了一个带sigmoid函数的嵌套网络的反向传播!从这篇文章开始,我们正式进入实际的神经网络的反向传播!本文将以一个两层的神经网络结构为例子,并且利用矩阵的方法实现神经网络的反向传播训练算法!
我们同时可以假设这座山最陡峭的地方是无法通过肉眼立马观察出来的,而是需要一个复杂的工具来测量,同时,这个人此时正好拥有测量出最陡峭方向的能力。所以,此人每走一段距离,都需要一段时间来测量所在位置最陡峭的方向,这是比较耗时的。那么为了在太阳下山之前到达山底,就要尽可能的减少测量方向的次数。这是一个两难的选择,如果测量的频繁,可以保证下山的方向是绝对正确的,但又非常耗时,如果测量的过少,又有偏离轨道的风险。所以需要找到一个合适的测量方向的频率,来确保下山的方向不错误,同时又不至于耗时太多!
\[ \left[ \begin{array}{ccc} \sigma_{x} &\tau_{xy} &\tau_{xz}\\ \tau_{yx} &\sigma_{y} &\tau_{yz}\\ \tau_{zx} &\tau_{zy} &\sigma_{z} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 &1 &2\\ 1 & \sigma_{y} & 1\\ 2 &1 &0 \end{array} \right] \] 并已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零矢量,求 \(\sigma_y\) 和主应力?
在分子动力学模拟的过程中,考虑到运动过程实际上是遵守牛顿第二定律的。而牛顿第二定律告诉我们,粒子的动力学过程仅跟受到的力场有关系,但是在模拟的过程中,有一些参量我们是不希望他们被更新或者改变的,比如稳定的OH键的键长就是一个不需要高频更新的参量。这时就需要在一次不加约束的更新迭代之后(如Velocity-Verlet算法等),再施加一次约束算法,重新调整更新的坐标,使得规定的键长不会产生较大幅度的变更。
TensorFlow™ 是一个采用 数据流图(data flow graphs),用于数值计算的开源软件库。节点(Nodes)在图中表示数学操作,图中的线(edges)则表示在节点间相互联系的多维数据数组,即张量(tensor)。它灵活的架构让你可以在多种平台上展开计算,例如台式计算机中的一个或多个CPU(或GPU),服务器,移动设备等等。TensorFlow 最初由Google大脑小组(隶属于Google机器智能研究机构)的研究员和工程师们开发出来,用于机器学习和深度神经网络方面的研究,但这个系统的通用性使其也可广泛用于其他计算领域。
十四、数值微积分 14.1 polyva() 多项式计算在理工科教学、科研中有着特殊地位和意义。matlab作为重要的工程计算软件也给出了相应的计算指令来完成这一工作。其中就有多项式求值polyval
上一篇主要对符号对象进行了一些生成和使用的基本操作,然后本篇将介绍符号矩阵、微积分、积分变换以及符号方程的求解,具体内容就往下慢慢看了。
在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那正是在这里。——恩格斯
本文将从一个下山的场景开始,先提出梯度下降算法的基本思想,进而从数学上解释梯度下降算法的原理,最后实现一个简单的梯度下降算法的实例!
现在是 2022-1-1,我简单的点评一下今年各位老师的出卷,如果读者想刷这一年的,可以作为参考
机器学习中的基本数学知识 注:本文的代码是使用Python 3写的。 机器学习中的基本数学知识 线性代数(linear algebra) 第一公式 矩阵的操作 换位(transpose) 矩阵乘法 矩阵的各种乘积 内积 外积 元素积(element-wise product/point-wise product/Hadamard product 加 低等数学 几何 范数(norm) 拉格朗日乘子法和KKT条件 微分(differential) 表示形式 法则 常见导数公式 统计学/概率论 信息论
其中,ydot为一个列向量,值分别表示y‘(1)、y‘(2)、y‘(3)的取值,t自因变量,y为因变量,一个y就可以表示因变量组了。事实上,说白了,这个函数就是申明一下变量使t和y,以及y一阶导的右端项为那三个。 接着,编写主函数如下:
例:求一曲线方程,使其满足过点(1,2),且其上任意一点处的切线斜率为其横坐标的2倍。
梯度下降法(gradient descent)是一种常用的一阶(first-order)优化方法,是求解无约束优化问题最简单、最经典的方法之一。
小跳最近在搭建一个数值仿真环境,由于需要用到python里面的一些库,所以不得不把simulink的模型搬过来,我们都知道在simulink里,仿真的时候设置仿真步长和微分方程求解器是必要的步骤。但是为什么要设置这个小跳却早已忘记了。
自动微分现在已经是深度学习框架的标配,我们写的任何模型都需要靠自动微分机制分配模型损失信息,从而更新模型。在广阔的科学世界中,自动微分也是必不可少的。说到底,大多数算法都是由基本数学运算与基本函数组建的。
几乎所有机器学习算法在训练或预测时都归结为求解最优化问题,如果目标函数可导,在问题变为训练函数的驻点。通常情况下无法得到驻点的解析解,因此只能采用数值优化算法,如梯度下降法,牛顿法,拟牛顿法。这些数值优化算法都依赖于函数的一阶导数值或二阶导数值,包括梯度与Hessian矩阵。因此需要解决如何求一个复杂函数的导数问题,本文讲述的自动微分技术是解决此问题的一种通用方法。关于梯度、Hessian矩阵、雅克比矩阵,以及梯度下降法,牛顿法,拟牛顿法,各种反向传播算法的详细讲述可以阅读《机器学习与应用》,清华大学出版社,雷明著一书,或者SIGAI之前的公众号文章。对于这些内容,我们有非常清晰的讲述和推导。
例如: x^2 + y^2 = 25 这个时候,我们知道 如果是函数, 用竖线检测, 需要把图像拆分
前两题是关于常微分方程的特殊方法,一个是凑微分,另外一个利用导数的除法公式;化成常见的方程,例如一阶齐次线性微分方程和一阶非齐次线性微分方程,再利用初始条件,得出解;后面两题是关于缺
今年的华为开发者大会 HDC 2020 上,除了昇腾、鲲鹏等自研芯片硬件平台之外,最令人期待的就是深度学习框架 MindSpore 的开源了。今天上午,华为 MindSpore 首席科学家陈雷在活动中宣布这款产品正式开源,我们终于可以在开放平台上一睹它的真面目。
Laplace算子作为边缘检测之一,和Sobel算子一样也是工程数学中常用的一种积分变换,属于空间锐化滤波操作。 简介 拉普拉斯算子(Laplace Operator)是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度(▽f)的散度(▽·f)。拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 拉普拉斯算子是二阶微分线性算子,在图像边缘处理中,二阶微分的边缘定位能力更强,锐化效果更好,因此在进行图像边缘处理时,直接采用二阶微分算子而不使用一阶微分。 拉普拉斯
这里a是一个固定值, 如果把a看成一个变量,就是一个函数了 对应的过程,可以理解成这个函数的导数 (也就是这个方程的导数)
实际上如果是熟悉matlab操作的大神们应该改会发现这些包和matlab里面的是相通的
当今众多的基于Python的AI框架(如MindSpore、PyTorch等)给了开发者非常便利的编程的条件,我们可以用Python的简单的语法写代码,然后由框架在后端自动编译成可以在GPU上高效计算的程序。而对于一些定制化比较高的算法,MindSpore也支持了相关的接口,允许开发者自己开发相应的CUDA算子(需要统一接口),然后编译成.so动态链接库,再用MindSpore内置的函数加载为本地算子。本文针对这种方案写一个简单的示例。
微分方程(3) 第四节 高阶微分方程 ---- 4.1 高阶齐次线性微分方程 4.1.1 高阶齐次微分方程的基本概念 1.n阶齐次线性微分方程的定义 例如 y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=0 \qquad (1) 称为n阶齐次线性微分方程 2.n阶非齐次线性微分方程的定义 例如 y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f(x) \qquad (2) 称为n阶非齐
神经网络的训练主要使用反向传播算法,通过损失函数计算模型预测值与正确标签的差异,并进行反向传播计算梯度,最终更新模型参数。自动微分能够计算可导函数在某点处的导数值,是反向传播算法的一般化,主要解决了复杂数学运算的求导细节和过程,降低了框架的使用门槛。MindSpore使用函数式自动微分的设计理念,提供更接近于数学语义的自动微分接口 grad 和 value_and_grad。
在机器学习中的矩阵向量求导(二) 矩阵向量求导之定义法中,我们讨论了定义法求解矩阵向量求导的方法,但是这个方法对于比较复杂的求导式子,中间运算会很复杂,同时排列求导出的结果也很麻烦。因此我们需要其他的一些求导方法。本文我们讨论使用微分法来求解标量对向量的求导,以及标量对矩阵的求导。
【高等数学】【3】微分中值定理与导数的应用 1. 微分中值定理 1.1 罗尔定理 1.1.1 费马引理 1.1.2 罗尔定理 1.2 拉格朗日中值定理(微分中值定理) 1.3 柯西中值定理 2. 洛必达法则 2.1 洛必达定理1【0/0】 2.2 洛必达定理2【∞/∞】 2.3 类型靠拢0/0或∞/∞ 2.* 注意事项🎈 3. 泰勒公式 3.1 泰勒中值定理1 3.2 泰勒中值定理2 3.3 麦克劳林公式 4. 函数的单调性与曲线的凹凸性 4.1 函数单调性 4.2 曲线的凹凸性与拐点 5. 函数的极值与最
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云