矩阵有行、列之分，上图的数组就是三行四列。以3x3矩阵为例，它可以写成： mij表示这个元素在矩阵M的第i行、第j列。...和矢量联系起来 矢量，我们通常写成：a = (x, y, z)，可以看出矢量与矩阵一样，也是个数组。将矢量按照矩阵的写法，可以看成是n x 1的列矩阵或1 x n的行矩阵，n对应矢量的维度。...一个rxn的矩阵A和一个nxc的矩阵B相乘后，得到的结果AB是一个rxc大小的矩阵。需要注意，第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相等，才能相乘。...矩阵乘法的表达式： 假设有rxn的矩阵A和nxc的矩阵B，相乘后得到一个rxc的矩阵C = AB，那么C中的每个元素Cij等于A的第i行所对应的矢量和B的第j列所对应的矢量进行点乘的结果，即： 简单解释为...另外有一个矩阵M： 当M和行矩阵相乘时，写法为： vM = [xm11+ym21+zm31 xm12+ym22+zm32 xm13+ym23+zm33] 当M和列矩阵相乘时，写法为： 可以看到两者相乘的书写次序和结果里面元素也是不一样的
l 点乘公式 其实就是两个向量的各分量相乘后形成新的向量 l 叉乘公式 Uc=U1* U2 两个向量进行叉乘的矩阵如下： 其中x1，y1，z1以及x2，y2，z2分别为向量U1和U2的分量，设UC...，先计算好所要某种变换所需要的元素填写入矩阵，然后逐一将模型的所有顶点和矩阵相乘就可以将模型的所有顶点按所希望的变换为新的坐标（除非矩阵元素设置错误），这里可以看出，矩阵中的每个数据（元素）是至关重要的...=x*M20+y*M21+z*M22+w*M23 w=x*M30+y*M31+z*M32+w*M33 由于在3D运算的矩阵中最后一行前3列始终为0，所以w’的结果取决于w，因此可以看出向量与矩阵相乘得到的也是向量...合并方法是将多个矩阵相乘来计算出复合矩阵。三维变换中参与乘法运算的两个矩阵都必须是4X4矩阵，相乘时，每个新元素也通过点乘运算后获得，所得的新矩阵也是4X4的方阵。...矩阵相乘的计算公式分解： 复合矩阵计算方式为，将左边的矩阵M的每个行元素与右边矩阵N的每列元素进行点乘运算就是新矩阵C的对应的元素。
如上所示，描述了向量与向量相乘，它的计算规则如下： 相乘的两个向量，其维度必须相等 把两个向量的分量分别相乘，将其结果相加，最终得到的标量就是其相乘后的结果 实现向量的运算 上面我们讲解了向量的两个基本运算...如上所示，描述了一个3*4的矩阵，用数学公式表示为：A(m*n))，其中m表示其行数，n表示其列数。...矩阵与向量相乘 上述公式描述了矩阵与向量相乘的运算过程，其运算方法如下： 矩阵与向量相乘时，矩阵的列数必须与向量的长度相等 获取矩阵的行向量，将矩阵的每个行向量与向量进行点乘运算 矩阵与矩阵相乘...上述公式描述了矩阵与矩阵相乘的运算过程，其运算方法如下： 矩阵与矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数 将第一个矩阵拆分为一个个的行向量，将第二个矩阵拆分为一个个的列向量 用拆分出来的行向量...，与拆分出来的每个列向量进行点乘运算，将返回的向量放在一起，构建成出的新的矩阵就是其相乘得到的结果。
具体来说，当一方为一维矩阵时，另一方取其最后一维子矩阵来做乘法；当两方都是大于等于2维的矩阵时，取各自的最后两维构成的子矩阵来做乘法，其他维度体现结果的拼接信息，不参与运算（为batch训练提供了便利，...(2,2) b = np.ones((2,2)) c = np.matmul(a,b) print('a:\n',a) print('b:\n',b) print('ab:\n',c) 三维乘二维 将三维矩阵中的后两维组成的二维子矩阵分别与二维矩阵相乘...('ab:\n',c) 三维乘三维 两个三维矩阵中对应位置的二维子矩阵分别相乘，结果按第0维分量更多的那个矩阵的结构拼接。...注意：，并不是任意两个三维矩阵都能相乘，其必须满足两个条件： 1：两个矩阵的后两个维度构成的二维矩阵之间必须满足二维矩阵相乘的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数 2：两个矩阵的第0维分量数必须相等...，每一维的分量数必须对应相等（每个分量对应相乘） 或 有一方为1（broadcast-广播机制） #各维度的分量相互对应，最终仍是计算二维乘二维 import numpy as np a=np.linspace
运算将两个矩阵中的元素依次相乘后求和，也就是0.6*1+0.2*1+0.6*1+0.1*0+-0.2*2+-0.3*0+-0.5*-1+-0.1*-1+-0.3*-1=2.3 左边矩阵其实可以对应于图片像素点组成的二维数组...，那么就有两个计算结果，这两个结果会“重叠“在一起，例如经过一次卷积后所得结果是维度为[5,5]的矩阵，那么两个kernel完成卷积后所得结果就是维度为[2,5,5]的三维矩阵。...这就相当于3个32*32的二维矩阵叠在一起，此时右边kernel也会相应变成[3,3,3]形式，也就是kernel也变成3层，因此卷积时就不再是两个3*3矩阵之间的元素相乘后求和，而是两个3*3*3的立方体对应元素之间相乘后再求和...输入层后跟着的第一个卷积层，kernel的长和宽是3，注意输入层输入的图片高度为3，因此卷积层自动将kernel高度也拉伸为3，于是一个kernel拥有3*3*3=27个分量，最后在机器学习中，两个矩阵相乘后往往还喜欢在结果上加上一个称为...其中的x就是卷积层输出结果中的各个分量，r和B是两个需要在网络中训练的参数，这类似于对高速公路上的车流进行限速。
我们不妨先给这个非方阵补0:，把它补成一个方阵： 因为这三个列向量它们各自本身就是只有 与 分量的向量，因此我们完全可以把它们视作z分量为0的三维向量。...按照这个思路，我们将 分开为 和 ，根据矩阵与向量相乘的思路，在 空间中，我们取它的 作为新的橙色向量，从原空间中看表现为基向量从 向量转成了 向量；同理，我们取它的 作为新的蓝色向量...现在我们对矩阵的乘法有了概念：在左侧列向量构成的矩阵变换中取右侧矩阵中各列向量在左侧空间中的表示，得到一个新的矩阵变化，这个新变化恰为前两个变化效果顺序叠加。...以上面两个矩阵相乘为例，可以说：首先，我们试图在 空间中解释 两个向量，但由于缺少第三个分量，必然导致右侧的两个三维向量被降维到二维平面。 结合我们之前的想法，我们在解释 时，其实是把它当成 来看的。...也就是说，当两个矩阵相乘为0，则两个矩阵的总降维数大于等于向量/空间的维度。 为什么矩阵乘法不满足消去率？ 这个问题可看作是上一个问题的推广，翻译成符号形式就是如果 ，为什么没有 ?
实际上，我们可以用矩阵相乘的形式简洁的表示这个变换： ? 其中矩阵的两行分别为两个基，乘以原向量，其结果刚好为新基的坐标。...一般的，如果我们有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果...数学表示为： ? 其中pi是一个行向量，表示第i个基，aj是一个列向量，表示第j个原始数据记录。 特别要注意的是，这里R可以小于N，而R决定了变换后数据的维数。...最后，上述分析同时给矩阵相乘找到了一种物理解释：两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去。更抽象的说，一个矩阵可以表示一种线性变换。...2）设特征向量λ重数为r，则必然存在r个线性无关的特征向量对应于λ，因此可以将这r个特征向量单位正交化。
R语言包括S3对象和s4对象。s3 包括基本数据结构：向量 矩阵 数据框 数组 列表。s4 包括层级结构由s3组成。数据框本质：长度相等的向量按照列的方式排列。c是列 r是行。...rbind cbind merge是合并列表：分量的提取用[[]]s4对象提取 白色括号提取（点击绿色箭头）matrix要求向量类型相同，数据框没有要求复制data.table包可以读取文本文件。...标准的表达矩阵一般列名是样本名，行名是基因名。预后效果是生存率。plot函数中的lty是指line type 线的类型 lwd是指line wide 线条宽度。...R语言中的palette是指什么Answer :在R语言中， palette 是一个用于设置颜色调色板的函数。调色板是一组预定义的颜色集合，用于绘制图形、制作图表或设置绘图设备的颜色。...通过使用 palette 函数，您可以选择不同的调色板来自定义图形的颜色方案。
，但上述任意两个参考帧之间的变换也适用相同的数学原理，世界坐标系中的点（Xw，Yw，Zw）T 通过旋转矩阵R（更精确地说，R∈SO（3））和平移向量t映射到相机坐标系中的点∈R3×3 再介绍旋转的偏航角...如下图所示： 如果我们将滚动角（roll）的余弦和正弦分别定义为cp和cr，则滚动旋转矩阵为 定义俯仰角(pitch)的余弦和正弦为cp和sp，偏航角(yaw)的余弦和正弦为cy和sy，俯仰和偏航旋转矩阵为...（u，v，1）T作为消失点，我们将变换矩阵的分量表示为 现在，将变换矩阵与（0,0,1,0）T相乘将消除第1、2和4列，只剩下第3列，其值为Rxz、Ryz和Rzz。...当然，r3只是旋转矩阵三列中的一列，但正如计算结果r3显示的，其包含足够的信息来确定旋转的偏航角和俯仰角，如果我们假设滚动角为零（当然是近似值），我们是可以计算整个旋转矩阵的。...我们对r3进行进一步的推导和分解 根据横滚、俯仰和偏航矩阵表达相机的旋转矩阵 此旋转矩阵的第三列为 如果我们确定图像中的消失点（u，v），我们就知道p∞=（u，v，1）T，因此我们可以计算r3=（Rxz
，文件也可以读入，建议不加分隔符 fread可以自动检测注释，并且跳过注释行 默认skip=0，会跳过不规则的行，因此有注释行时，可以走默认的skip参数 转换成矩阵时可以保留某一列为rowname... as.matrix作用于data.table时会调用as.matrix.data.table，有一个rownames参数可以指定保留为行名的列 矩阵转换成data.table时可以保留列名 在...as.data.table函数中同样有一个rownames参数，设置为T可以将行名保留下来作为data.table的一列 不建议set和for循环一起使用 虽然set可以在内存上直接改变数值，但在R...tstrsplit函数可以将一列按照分隔符分成多列，函数返回的是一个列表，举例：DT[, c("c1", "c2") := tstrsplit(x, "/", fixed=TRUE)][]，将x列按照/...分隔，分割成c1，c2两列 支持类似于SQLs的分组运算 带有rollup， cube， groupingsets函数 参考资料 data.table 1.11.2 manual：https://cran.r-project.org
的 ? 元等于矩阵 ? 的 i 行 和 矩阵 ? 的第 j 列的内积，这正是矩阵乘法的定义。 注：将两项乘积的和转化成向量内积或矩阵相乘来处理，是很常用的技巧。...的形式）给出的。如果需要把导数视为列向量，只需将公式两边同时转置即可。由于实践中复合一次的情形较常用，这里只给出将变量视为列向量时复合一次的公式： 若 ? ，则： ? 或写作 ? 。...计算出而与 x 的其他分量无关，则易知 ? 是对角阵，所以上面的公式可以化简为： ? 其中 ? 表示取对角矩阵 D 的对角线上的元素组成列向量， ? 表示两个向量逐元素相乘。...，两边逐分量对比一下便知等式成立。 记忆：按两个标量函数相乘的求导法则记，再注意一下维度相容原理即可。...是 Kronecker delta 符号：若l=j 值为 1，否则为 0），将后式代入前式，得： ? ，即矩阵 A^T的第 i 行 和 矩阵 ? 的第 j 列的内积。
将 的任何分量设置为1自然会避免在该方向上缩放的变化。公式4.10显示了 ： image.png 第65页的图4.4说明了缩放矩阵的效果。...的一个或三个分量的负值给出了一种反射矩阵，也称为镜像矩阵。如果只有两个比例因子是 ，那么我们将旋转 弧度。需要说明的是，与反射矩阵级联的旋转矩阵也是反射矩阵。...因此，变换的级联被认为是顺序相关的。 作为顺序相关性的示例，请考虑两个矩阵 和 。 将 分量按因子 缩放，将y分量按因子 缩放。...绕 轴（在右手坐标系中，从本书的页面向外指向）逆时针旋转 弧度。这些矩阵可以通过两种方式相乘，结果完全不同。这两种情况如图4.4所示。 图4.4. 这说明了矩阵相乘时的顺序依赖性。...因此， 具有方程4.17中矩阵的外观： image.png 的逆计算为 。因此，要计算逆，左上角3×3 的矩阵被转置，T的平移值改变符号。这两个新矩阵以相反的顺序相乘以获得逆矩阵。
元为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的各元素相乘之和，即 A 的第 i 行与 B 的第 j 列点乘所得到的结果 ?...行的角度 正如第一讲所说，从行的角度来看，即 C 的各行为 B 的各行的线性组合构成，B 的各行的线性组合的系数为 A 的行的各个分量，即 ? ?...列的角度 正如第一讲所说，从列的角度来看，即 C 的各列为 A 的各列的线性组合构成，A 的各列的线性组合的系数为 B 的列的各个分量，即 ?...块乘 矩阵乘法同样可以分块来乘，只要分块的大小能够使乘法有意义即可（相乘的分块的大小要相互匹配--可乘） ?...的形式，只不过 x 为 A 的逆矩阵 ? ,我们依然可以使用矩阵消元的形式来求解，只不过要比我们之前提到的矩阵消元多做一些消元而已，这就是Gauss-Jordan法。 以矩阵 A 为例 ?
2、cut()函数 cut(x, n)：将连续型变量x分割为有着n个水平的因子 cut(x, breaks, labels = NULL, include.lowest = FALSE, right...1， 第一行第一列 a[row(a)==1&col(a)==2] #将返回6， 第一行第二列 2、一个网络例子： ?...可以看到，计算结果中的第一列实际上是“SELLERID.CLIENT”，我们需要把它拆分成两列并调换顺序才行。...（参考来源：R高效数据处理包dplyr和data.table，你选哪个？） ?...data.table包提供了一个非常简洁的通用格式：DT[i,j,by]，可以理解为：对于数据集DT，选取子集行i,通过by分组计算j。
今天我们就讨论下其中的标量对向量求导，标量对矩阵求导, 以及向量对向量求导这三种场景的基本求解思路。 对于本文中的标量对向量或矩阵求导这两种情况，如前文所说，以分母布局为默认布局。...向量对向量求导，以分子布局为默认布局。如遇到其他文章中的求导结果和本文不同，请先确认使用的求导布局是否一样。另外，由于机器学习中向量或矩阵对标量求导的场景很少见，本系列不会单独讨论这两种求导过程。...那么我们可以将实值函数对向量的每一个分量来求导，最后找到规律，得到求导的结果向量。 ...，仔细观察一下，第一部分是矩阵$\mathbf{A}$的第k列转置后和$x$相乘得到，第二部分是矩阵$\mathbf{A}$的第k行和$x$相乘得到，排列好就是: $$\frac{\partial \mathbf...$\mathbf{a}$向量第i个分量和$\mathbf{b}$第j个分量的乘积，将所有的位置的求导结果排列成一个$m \times n$的矩阵，即为$ab^T$,这样最后的求导结果为：$$\frac{
若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B：叉乘。A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。...按乘法定义要求必须有矩阵 A 的列数等于矩阵B的行数。 A.*B：点乘。A.*B 为按参量A与B对应的分量进行相乘。A 与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。 A\B：左除。...按对应的分量进行相除。 A/B：右除。X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。B/A粗略地等于B*inv(A)。 A./B：右点除。按对应的分量进行相除。 A^B：次方幂。...计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A 与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B：点次方幂。按A与B对应的分量进行方幂计算。...若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。 A.'：转置。A.'为真正的矩阵转置，不进行共轭转置。
元为 ? 的第 ? 行与 ? 的第 ? 列的各元素相乘之和，即 ? 的第 ? 行与 ? 的第 ? 列点乘所得到的结果 ?...行的角度 正如第一讲所说，从行的角度来看，即 ? 的各行为 ? 的各行的线性组合构成， ? 的各行的线性组合的系数为 ? 的行的各个分量，即 ? 其中， ? 是 ?...的各个行向量 列的角度 正如第一讲所说，从列的角度来看，即 ? 的各列为 ? 的各列的线性组合构成， ? 的各列的线性组合的系数为 ? 的列的各个分量，即 ? 其中， ? 是 ?...的第 ? 列乘以 ? 的第 ? 行得到。 ? 块乘 矩阵乘法同样可以分块来乘，只要分块的大小能够使乘法有意义即可（相乘的分块的大小要相互匹配--可乘） ?...很简单的推理那就是，当 ? 有非零解的时候，假设 ? 存在，那么在等式两边都左乘 ? ，即可得到 ，这与我们的前提假设存在非零解所矛盾，因此 ? 不存在。
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