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1秒极速求解PDE：深度神经网络为何在破解数学难题上独具天赋？

无论是设计更好的火箭发动机，还是模拟气候变化，我们都需要更有效的方法来解决这些问题。 近来，研究者在偏微分方程的求解上取得了令人激动的新进展。他们构建了新型的人工神经网络，实现了更快求解偏微分方程。...这使它们能够对各种现象进行建模，例如，如果建模人员想知道流体在空间中任何一点（也称为流场）以及在不同时间下的速度和压力，可能会使用 Navier-Stokes 偏微分方程进行建模。...求解 Navier-Stokes 方程，将获得一个描述系统内容的公式。如果对初始和边界条件有足够的了解，例如在时间 t = 0 时的流场值，则可以使用数学工具来解析偏微分方程。...但是偏微分方程常常复杂到没有通用的分析解决方案，对于 Navier-Stokes 方程的最通用形式尚且如此：数学家尚未证明是否存在唯一解，更不用说通过分析实际上找到它们了。...例如，在一个需要进行 30000 次仿真（包括 Navier-Stokes 方程）的求解过程中，对于每个仿真，FNO 花费了不到一秒的时间；而 DeepONet 耗时 2.5 秒；传统的求解器则大概需要花费

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hp-FastVPINNs框架用于求解不可压缩的Navier-Stokes方程问题

这是一篇使用 VPinn 来求解 Navier-Stokes 方程的论文。...因此，迄今为止，尚未应用 HP-VPINN 在求解 Navier-Stokes 方程中，以及 CFD 中的其他问题。...我们通过准确识别基础流的雷诺数数量，进一步展示了该框架在解决不可压缩的 Navier-Stokes 方程中的反问题方程的效率。...### Kovasznay Flow现在，我们继续求解不可压缩的 Navier Stokes 方程，从 Kovasznay Flow29 开始，这是 2D 不可压缩的 NavierStokes 方程的众所周知的分析解决方案...流体动力学中的反问题通常涉及估计管理 PDE 的参数，例如 Navier-Stokes 方程中的雷诺数。在 FastVPINNs 中，这是通过将目标参数视为神经网络体系结构中的可训练变量来实现的。

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    加州理工华人博士提出傅里叶神经算子，偏微分方程提速1000倍，告别超算！

    所谓微分方程，就是含有未知函数的导数。一般凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，就叫做微分方程。...另外，它更加稳定，并且能够解决所有类型的PDE，例如任何流体的Navier-Stokes方程，而无需重新训练。...有限维算子（Finite-dimensional operators）将解算子参数化为有限维欧氏空间之间的深卷积神经网络，但它的定义是网格相关的，需要对不同的分辨率和离散度进行修改和调整，以实现一致的错误...神经-有限元方法与经典方法具有相同的计算问题：每一个新的实例都需要求解优化问题。此外，该方法仅限于了解基本PDE的设置。...除了相比传统方法取得巨大的速度优势外，它们的系统在求解Navier-Stokes方程时，它们的系统在求解Navier-Stokes方程时获得了30％的错误率。

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    还记得高数中的「斯托克斯公式」吗？用深度学习在傅里叶空间中求解可提速1000倍

    有一种已知的偏微分方程叫做「Navier-Stokes」，用来描述任何流体的运动。...求解Navier-Stokes问题可以让你在任何时间点拍摄空气运动的快照(也就是风的状况) ，并且模拟空气将如何继续运动，或者它以前是如何运动的。 ?...它还具有更广泛的适用性，能够解决整个偏微分方程家族的问题，例如求解任何类型的流体的Navier-Stokes方程而无需再训练。...除了在计算速度上远超传统方法，他们的技术还实现了比以往的深度学习方法解决Navier-Stokes方程降低30% 的错误率。 研究人员的实验证实了这一点。...Navier-Stokes 不仅擅长模拟空气湍流，它还用于模拟天气模式。

    1.5K30

    Jupyter笔记本实现，慕尼黑工大220页免费书籍介绍基于物理的深度学习

    过去几十年，研究社区已经开发出高度专业化和精确的离散化方案来求解基础模型方程，如纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes）、麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）或薛定谔方程...因此，Burgers 重建问题在用 DP 求解时简化为一个基于梯度的优化问题，没有任何神经网络。 接下来，本章还介绍了一个更复杂的示例，将 Navier-Stokes 方程作为物理模型。...与「Navier-Stokes Forward Simulation」 一致，用来针对 2D 案例。...DP 复杂示例  本章主要分四个小节：复杂示例整体概览；利用深度学习减少数值误差、用神经网络求解逆问题以及概述和评论。 本章给出了更复杂案例的代码示例，以向读者展示通过可微物理训练能够实现哪种任务。...接下来，本章展示了如何让神经网络解决棘手的逆问题，即 Navier-Stokes 模拟的长期控制问题，遵循 Holl 等人研究。

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    北大韦神出手，一天解决了六博士四个月没搞定的难题

    包含六位博士在内的团队花了四个多月未能解决，团队猜测是因为「对纳维斯托克斯方程的处理有问题」，但是又搞不清楚哪里有问题。 后来，他们向韦东奕寻求了帮助。...他的博士论文《轴对称 Navier-Stokes 方程与无粘阻尼问题》，被评为北京大学 2018 年优秀博士学位论文。 相传哈佛大学为招徕韦东奕，曾提出可以为其破格免掉英语考试，但被后者拒绝。...2021 年，韦东奕获得达摩院青橙奖时，其答辩主题就是有关湍流问题和流动稳定性问题，他提出的两个原创性的数学方法解决了流动稳定性领域一系列重要的公开问题。...通常，流体可以用纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes equations，NS）来描述，但大规模求解这类方程仍属难题，受限于解决最小时空特征的计算成本。...用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。其中，在零粘滞度的最简单情况下，NS 方程化为欧拉方程，表明加速度（速度的导数）与内部压力的导数成正比。

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    利用OpenCV实现图像修复（含源码链接）

    今天小白带着满满的诚意，带来了通过OpenCV实现图像修复的C++代码与Python代码。 图像修复技术应用在什么地方呢？...强大的OpenCV库里集成了两种用与图像修复的方法 INPAINT_NS： 基于Navier-Stokes的图像修复 该方法在2001年提出，其神奇之处竟然是基于流体力学理论提出的方法。...由于这些方程与Navier-Stokes方程（流体力学中的方程，感兴趣的小伙伴可以自行百度）相关且类似，因此可以通过流体力学中的方法进行求解。...flags： INPAINT_NS（基于Navier-Stokes的方法）或INPAINT_TELEA（基于快速行进的方法） 示例 ?...中：使用快速行进方法修复，右：使用Navier-Stokes方法修复。

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    北大韦神出手，一天解决了六博士四个月没搞定的难题

    包含六位博士在内的团队花了四个多月未能解决，团队猜测是因为「对纳维斯托克斯方程的处理有问题」，但是又搞不清楚哪里有问题。 后来，他们向韦东奕寻求了帮助。...他的博士论文《轴对称 Navier-Stokes 方程与无粘阻尼问题》，被评为北京大学 2018 年优秀博士学位论文。 相传哈佛大学为招徕韦东奕，曾提出可以为其破格免掉英语考试，但被后者拒绝。...2021 年，韦东奕获得达摩院青橙奖时，其答辩主题就是有关湍流问题和流动稳定性问题，他提出的两个原创性的数学方法解决了流动稳定性领域一系列重要的公开问题。...通常，流体可以用纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes equations，NS）来描述，但大规模求解这类方程仍属难题，受限于解决最小时空特征的计算成本。...用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。其中，在零粘滞度的最简单情况下，NS 方程化为欧拉方程，表明加速度（速度的导数）与内部压力的导数成正比。

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    了解有限元、有限差分求解与非线性微分方程

    应用领域：工程结构分析（如桥梁、建筑物）热传导、流体动力学电磁场问题有限差分法（FDM）有限差分法是一种用于求解微分方程的数值方法，它通过将微分方程的连续形式转化为离散形式，利用网格点的值来近似导数。...方法主要依赖于泰勒级数展开，将导数用邻近点的函数值组合表示。...例子：Navier-Stokes方程（流体动力学）材料的屈服条件它们之间的关系有限元法和有限差分法都是求解偏微分方程的数值方法，适用于各种不同类型的问题，且可以用于求解非线性微分方程。...一般来说，有限元法更适合处理复杂几何形状和边界条件，而有限差分法因其实现简单，常用于结构较简单的问题。...非线性微分方程非线性微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数的幂次大于一，或者与未知函数的值有非线性的组合。

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    有限元法在非线性偏微分方程中的应用

    例如，波动方程是除 m 和 c 以外的系数都为 0 时的情况，且表示不可压缩流体的速度以及压力场 u = (v, p)T ∈ R4 的 Navier–Stokes 方程式 可用方程式 (1) 的形式表示...下面，我们考虑的问题将暂时与时间无关，并处理与空间维数有关的有限元法．与时间有关的问题将在第 3 节末尾作简要说明，并且在 4.3 和 4.4 节中给出范例。...将获得的结果与电机结构线框一起显示： 4.2 驱动空腔问题 以下是描述稳态下不可压缩流体的 Navier-Stokes 方程： 上面第一个方程第二项中的对流项（在此，ρ = 1 且外力场为零）基本上是非线性的...Navier-Stokes 方程式： 设置入口处水池的大小和速度分布。定义 rampFunction，该函数可提供平滑的速度变化，以使速度在特定时间不会从零变为非零。...结束语 Mathematica 12（Wolfram语言 12）极大地扩展了有限元方法的应用范围，使得包括 Navier-Stokes 方程在内的许多非线性偏微分方程的求解变为可能。

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    物理约束机器学习在科学计算中的应用解析

    在所有情况下，它都在下游任务（如预测激波位置）上实现了卓越的预测性能，而激波位置预测即使对于先进的数值求解器也是一个具有挑战性的问题。...研究者在广泛的问题上进行了大量数值实验，包括热传导方程、波动方程、Burgers 方程以及用于气候和海洋建模的具有挑战性的二维不可压缩 Navier-Stokes 方程。...二维 Navier-Stokes 顶盖驱动方腔流初始条件。初始涡量场（垂直于屏幕），定义为速度场的旋度。...二维 Navier-Stokes 顶盖驱动方腔流涡量场。...L2 相对误差图显示，在 Navier-Stokes 顶盖驱动方腔流问题上，数据驱动的傅里叶神经算子（FNO）随时间变化的相对误差显著高于其约束的 BOON 模型（针对随机测试样本和测试样本平均值）。

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    N-S方程问题有解了？与黎曼猜想并列，千禧年数学难题胜利在望

    最近几天，数学圈内人们正在热烈讨论纳维 - 斯托克斯问题的正则哈密顿公式终于出现了 —— 这个数学史上悬而未决的问题可能有了解答。而在以前，人们甚至普遍认为这是不可能的。 此事有多重要？...人们提到的重要突破来自论文《A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem》，于 4 月 1 日刊登在了流体力学领域顶级期刊...从目前的进度来看，新的研究已使解决开放问题变得更加容易，我们前进了一大步 —— 已经实现纳维 - 斯托克斯方程的正则哈密顿量公式，可能意味着我们可以绕过标准拉格朗日量的限制，将问题简化为寻找单个标量函数...参考内容： https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/navier-strokes-equation/ https://zhuanlan.zhihu.com.../p/263628141 https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard

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    这个困扰流体力学100年的公式被找出，作者之一为北航教授、北大校友

    湍流问题非常复杂，是物理力学中最难的几个问题之一，量子力学创始人之一海森堡就曾经说过： 我要带着两个问题去见上帝：相对论和湍流。我相信上帝只对第一个问题有了答案。...终于，在100年之后，来自UC圣芭芭拉分校、奥斯陆大学和北航的几名科学家们，解决了一个关键问题后，最终完整地推导出了边界层湍流的描述公式。 目前，研究已经发表在《物理评论研究》上。...这种现象非常复杂，目前仅靠数学方法解非线性方程（描述控制湍流运动的Navier-Stokes方程）的方法，还没有取得太大的进展。...这些年来，科学家们一直在致力于从这两个问题中找到求解边界层湍流的突破口。 这个突破口就是涡流。...其中U和w²分别表示平均速度和方差，下面两个导数公式需要根据条件来求积分（方差再进行平方），来计算出最终结果，公式中的相应参数都已经被科学家们推算出来。

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    用消息传递求解偏微分方程，ML大牛Max Welling等用全神经求解器做到了更强、更快

    接着是实现需求，比如在长时间 rollout 时保持稳定性和不变形。...其中训练框架解决自回归求解器中的分布位移问题，该问题会导致不稳定性；网络架构是一个消息传递神经网络。...然后，他们又展示了 MP-PDE 有能力求解 2D 方程。 此外，研究者还针对前推技巧和变体进行了消融实验，以验证实用性。...最后，研究者测试了 MP-PDE 到更多空间维度上的可扩展性，尤其是在 2D 实验中。他们使用来自开源流模拟工具包 PHIFLOW1 中的数据。...具体而言，研究者观察了基于纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes equation），并将烟雾流模拟成 32 × 32 网格，在每个时间步后添加更多烟雾。

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    Wolfram 印度 2022 学生数据科学冬令营成果展

    Navier–Stokes 方程的流动可视化 » https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2444026 Abhishek Joshi Abhishek...在给定一些初始条件的情况下，Navier-Stokes 方程可用于确定应用于流体的速度矢量场。他对方程的解进行了可视化分析，发现层流的基准计算与理论预测一致。...她实现了核结构的 FCC 模型，并计算了一些基本的核特性，例如数密度、量子数、α 粒子结构和具有幻数核子的核的稳定性。比较各种原子核的结合能的结果表明，由于质子和中子的幻数存在，可以增强其稳定性。...失业引发了多种社会和经济问题，而流行病暴露并加剧了劳动力市场中现有的不平等现象。在检查了官方来源的可用数据后，使用 Wolfram 语言进行的探索分析得出了有意义的统计数据。...数据集中考虑了七类情绪——快乐、悲伤、愤怒、惊讶、厌恶、恐惧和中性——并尝试了不同的方法来解决类别不平衡问题。该模型可应用于自闭症儿童、一般幼儿和对面部表情视而不见的人的教学。

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    极客AI算法进阶训练营

    隐私保护：通过联邦学习、差分隐私等技术实现数据不出域的模型训练（如医疗场景中的应用）。...三、数学直觉与工程实践的协同优化两者的融合需通过“理论-实践-再理论”的闭环迭代实现：理论指导实践：从数学到工程算法选择：根据问题性质选择合适数学工具（如时序数据用RNN/LSTM，图数据用GNN）。...跨学科融合：拓展算法边界物理启发式设计：将物理规律融入算法（如流体模拟中的Navier-Stokes方程与神经网络的结合）。生物模拟优化：借鉴生物进化机制设计优化算法（如遗传算法、蚁群算法）。...经济模型应用：将博弈论、拍卖理论等经济模型用于资源分配问题（如云计算中的任务调度）。四、进阶技能：成为AI算法艺术家的核心能力数学建模能力：将复杂问题抽象为数学模型（如将推荐系统建模为矩阵分解问题）。...代码实现能力：高效实现算法原型（如使用PyTorch/TensorFlow快速验证想法）。

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    ICML 2023 | LSM：基于隐谱模型的高维偏微分方程求解器

    如上图所示，由Navier-Stokes控制的流体模拟任务可以被离散化为连续的柵格图像，其坐标空间的维度则等于连续帧中像素的个数，即对于帧的图像而言，其所在的坐标空间的维度为。...因此，如何高效、准确地近似高维空间中复杂的输入输出映射是使用深度模型求解PDE的关键问题。...问题分析 2.1 基础知识 问题定义：依照神经算子（Neural Operator）领域的惯例，我们将数据定义为关于坐标值的函数。具体地，对于给定的维坐标空间，PDE控制任务对应的输入为，输出为。...在Navier-Stokes数据集上（预测流体未来速度变化），LSM可以较好地捕捉到数据在隐空间中随时间的变化。...总结 针对高维PDE求解这一关键科学问题，本文提出了隐谱模型（LSM），创新地将PDE求解过程投影至隐空间，并通过学习多个基算子实现了理论保证下高维复杂映射的高效、准确模拟。

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    AI for Science 能走多远？— 从多元智能与数学难题看AI的科学潜能

    AI科学智能的验证考问论坛提出的核心问题是：若将现代AI系统“穿越”回1905年，那个爱因斯坦刚刚提出狭义相对论的时代，这套系统能否在海量科学知识和论文基础上，自主推导出广义相对论？...这不仅考察AI的知识获取能力，更考察其深刻的物理直觉和多维度问题思考能力。特殊的科学问题往往依赖于研究者提出新概念和多层次的创新思维。...AI是否具备解出Navier-Stokes方程这一千禧年难题的能力？AI能否破解日本数学家角谷实验猜想？AI能否复现费马大定理、庞加莱猜想、三维挂谷猜想这些已被证明猜想中，概念提出和推理的全过程？...未来AI若能结合多元智能理论，整合逻辑推理、空间感知、语言理解与创新能力，将可能实现更突破的“AI For Science”。

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    鄂维南院士 | 机器学习：数学理论和科学应用

    其中两个最重要的偏微分方程是量子力学中的薛定谔方程和流体力学中的纳维-斯托克斯（Navier–Stokes）方程。...例如，尽管Navier-Stokes方程描述的湍流是一个三维问题，但其解包含许多主动尺度，这意味着涉及许多自由度。维度灾难是这些问题的困难的根本来源。...这里的未知量是Leonard应力，即未解析自由度对平均应力的贡献，必须从原始的Navier-Stokes方程中估计。...这里的困难在于Leonard应力依赖于许多自由度，因此从Navier-Stokes方程估计它是一项非常困难的任务。...两者都可以通过标准方法来实现。 标记：使用一个误差估计器决定是否对特定原子配置进行标记。一个简单的误差估计器可以如下设计。

    1.9K10

    邓小刚院士：战斗机机动飞行仿真新突破：结合机器学习的数值虚拟飞行方法 | 顶刊阅读 PoF

    外部组件为 FCS 模块，可以与第三方工具集成实现控制算法。...采用 Reynolds-averaged Navier–Stokes 方程的任意拉格朗日-欧拉（ALE）形式作为流体流动的控制方程，使用二阶有限体积法离散化，采用 Roe 方案求解无粘通量，中心差分格式计算粘性通量...它通过设置参数解决各种跨学科耦合问题。此外，FCS 模块被归类为外部组件，能够与内部组件接口。其外部指定的原因是使其能够与第三方工具集成以实现控制算法的实施，从而避免与现有系统基础设施的兼容性问题。...在本研究中，流体流动的控制方程是任意拉格朗日-欧拉（ALE）形式的 Reynolds-averaged Navier–Stokes 方程。采用基于单元的二阶有限体积法离散化控制方程。...文中作品文字、图片等如涉及内容、版权和其他问题，请及时与我们联系，我们将在第一时间回复并处理。

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