Coq:如何在目标中更深入地应用公理？ - 腾讯云开发者社区

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人工智能之数学基础离散数学：第一章集合论与逻辑推理

本文系统讲解：集合的基本概念与运算命题逻辑：语法、真值表、等价与推理规则谓词逻辑：量词、AI中的知识表示（如专家系统）配套Python代码实现（使用sympy.logic、自定义类、规则引擎示例）一、集合论...existsx,\negP(x)¬∀xP(x)≡∃x¬P(x)¬∃xP(x)≡∀x¬P(x)\neg\existsx,P(x)\equiv\forallx,\negP(x)¬∃xP(x)≡∀x¬P(x)四、AI中的逻辑应用...THENFather(X,Y)2.知识图谱与逻辑查询谓词LivesIn(Alice,Paris)可用于推理查询：∃x(LivesIn(x,Paris)∧WorksAt(x,Google))3.自动定理证明输入公理和目标...，系统自动推导是否成立如：Coq,Prolog,Z3求解器✅Python实现：简单规则引擎（基于谓词逻辑）展开代码语言：PythonAI代码解释#知识库：事实+规则facts={('Human','Socrates...Not(query))#反证法：假设不成立ifsolver.check()==unsat:print("✅可推导出:Mortal(socrates)")else:print("❌无法推导")五、逻辑在AI中的实际应用应用领域逻辑形式工具

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用了一段时间Agda的感想

虽然都以有类型λ演算为理论基础（Agda是UTT，Coq是归纳构造演算），但是表现在证明上，两者就有很大的不同了。在Agda中，命题的证明就是给出一个类型的一个项。...证明过程中，Agda实际上是在辅助使用者获得某类型的项。而针对这个目标，Agda提供了比如Case和Refine之类的工具来根据类型生成目标代码，这一点是十分方便的。...相比之下，Coq的证明过程更加近似于人工证明。Coq的证明中自然而然的带入的证明的“顺序”，所以在一定程度上，阅读Coq的代码更容易得到证明的大致思路。...而且由于Tactics的应用是有序的，所以结合相关证明信息的说明，Coq代码的证明过程可以得到非常直观的展现。...综上，如果是数学的证明，我大概会选择Coq。如果是用来实现论文里的Type System，我会更青睐于使用Agda。

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从简单的物理原理重建的量子理论

但一些研究人员想要更深入地挖掘。他们想知道为什么量子力学具有它的形式，并且他们正在从事一项雄心勃勃的计划来找出答案。它被称为量子重构，它相当于试图根据一些简单的原理从头开始重构理论。...粗略地说，可以通过将称为算子的数学函数应用于波函数来找到测量其一些其他可观察属性的概率。但这个所谓的概率计算法则，其实只是德国物理学家马克斯·伯恩的直觉猜测。薛定谔方程本身也是如此。...更具体地说，它暗示量子理论的核心特征是它本质上是概率性的。“量子理论可以看作是一种广义概率论，一种抽象的东西，可以脱离其在物理学中的应用进行研究，”Chiribella 说。...“当我开始研究这个时，我想看到的是两个左右显而易见的、令人信服的公理，它们会给你提供量子理论，而且没人会反对。” 那么我们如何在可用的选项之间进行选择呢？...在 2011 年的民意调查中，大约四分之一的受访者认为量子重建将导致一种新的、更深入的理论。四分之一的机会当然值得一试。

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网络安全架构 | 安全架构公理

02 公理2：场景不要虚构场景，否则后果自负。专为一种场景而设计的安全系统或解决方案，并不总是可以有效地在另一种场景中工作。这并不是反对重用，可重用的基于组件的架构有很多好处。...在这方面，系统收益（SOI）的概念很有用（如ISO/IEC/IEEE 42010：2011中所定义）。 04 公理4：情报安全系统应利用情报来主导响应活动。...安全架构将会受益于面向服务的架构（SOA）方法，在这种方法中，我们看到了“一切即服务”（EaaS）。服务的性能对于实现顶级业务绩效目标至关重要。任何架构类型的主要目标之一就是管理复杂性。...图4-逻辑访问控制 20 公理20：通信安全设备和应用程序应使用开放、安全的协议进行通信。在当今过度连接的世界中，无法假设未加密的传输具有任何级别的安全性。...直到这时，长期无人问津的非欧几何，才开始获得学术界的普遍注意和深入研究。罗巴切夫斯基则被赞誉为“几何学中的哥白尼”。

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7B级形式化推理与验证小模型，媲美满血版DeepSeek-R1，全面开源！

随着 DeepSeek-R1 的流行与 AI4Math 研究的深入，大模型在辅助形式化证明写作方面的需求日益增长。...从形式化任务的角度（如图 4），未经微调的通用指令大模型更擅长从代码生成形式化证明（准确率 43.57%），而不擅长从自然语言生成形式化证明（8.65%～10.61%），远低于代码生成任务（从自然语言生成编程语言如...另外，研究团队观察到在形式化规约填空的任务中，较大规模的模型往往不及小规模模型。...这一现象可能与这些模型的微调策略：指令模型被训练得更擅长生成，而非填空。...研究团队认为，原因可能在于：一方面，ACSL 语言的关键词更贴近自然语言，其语法结构又类似于 C 语言，使得生成过程更为顺畅；另一方面，ACSL 规约片段相对较短，而 Coq 和 TLA 等语言的规约片段较长

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【AIDL专栏】方以类聚，物以群分，吉凶生矣 | 于剑：聚类理论与算法选讲

图2 聚类应用示例问题之一是聚类算法的理论很多。依据概率理论的，依据信息论的，依据图论的（如谱聚类），依据模糊论的，依据博弈论的，量子力学的等等。理论的不统一导致研究聚类算法的复杂性。...二、聚类公理聚类算法的公理化研究是聚类分析理论发展过程中重要的研究方向之一。文献上有三种研究聚类公理化的方法：聚类判据(目标函数)的公理化，聚类映射的公理化，聚类有效性函数的公理化。...7、小结本节首先叙述了目前文献中存在的三种研究聚类公理化的方法，并指出目前文献中的聚类公理化体系与聚类的基本要求联系不紧密。在此基础上叙述了数据表示和归类的公理。...根据类紧致性准则和其类认知表示方式，可以直接写出C-Means的目标函数： ? 公式中u_i即类中心，也即类认知（内在）表示。这时只需要最小化目标函数。C-Means的聚类步骤如下所示： ?...有参密度估计聚类方法聚类算法的类表示唯一公理成立，因此，类认知表示满足类紧致性准则，即最大化如下目标函数,也即最大化似然函数： ?

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理性的光辉，“哥德尔不完备定理”到底说了些什么？

可是我们的公理体系不总是对应着存在的客观实体，很多情况下（特别是数学中）的公理体系对应着抽象实体或者理想实体（如集合、点、线、面），而且被对应的实体是无穷多的，我们无法通过有限枚举来证明这些公理体系的一致性...最后让我们再回到“哥德尔不完备定理”，看看哥德尔是如何在数学公理化（以及公理体系形式化）的大背景下“釜底抽薪”的。我们先来看“希尔伯特计划”的几个要素：一是形式化。...为此，在这篇论文的第一部分Introduction中，哥德尔概括但细致地给出了整个证明的思路。不过，在我们理解哥德尔的证明思路之前，让我们先从更简单、更易懂的方式入手来逐步进入状态。...通过把PM表达式映射为自然数，再利用PM体系自身本来具备的表达自然数间关系的能力，来实现把PM中的命题引入自身的目标。...针对④中的复合函数，哥德尔只是在语言叙述中不很明确地提到，把任何原始递归的函数带入到某个原始递归函数的自变量中，得到的也是原始递归函数。

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【AGI-Eval评测数据 NO.2】CapaBench 揭示 LLM 智能体中各个模块的作用

DeepSeek负责“思考”，Claude负责“表达”，这种推理与生成解耦的分工协作模式，使得模型能够在各自擅长的领域发挥最大优势，从而生成更智能、更专业的设计方案。...值得注意的是，Claude-3.5在大多数任务中表现优异，特别是在形式化验证（如Coq、Lean 4、Isabelle）和机器人协作任务中展现了显著的优势。...相比之下，开源模型如Qwen-2.5和Mistral-8X7B在较为简单的领域（如购物和基本代数）中取得了中等的进展，但在认知密集型任务中表现不佳。...在数学求解中，特别是几何任务中，精确的程序执行，如应用定理或构建图形，比战略规划更为重要。同样，在形式验证任务（如Coq或Lean）中，严格遵循语法和语义正确性至关重要。...6、结语 CapaBench 作为一种新型的评估框架，能够有效地揭示 LLM 代理中各个模块的作用，为开发者提供科学的性能评估依据，也为代理的优化和未来应用的提升提供了有力支持。

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新的「AI科学家」结合理论和数据来发现科学方程

在符号回归（SR）中，函数形式不是预先确定的，而是由给定列表中的运算符（例如，+、-、× 和 ÷）组成，并根据数据计算得出。 SR 模型通常比 NN 模型更「可解释」，并且需要的数据更少。...然而，这些研究仅考虑对要学习的函数形式的约束，并没有包含一般背景理论公理（描述现象中涉及的其他定律和未测量变量的逻辑约束）。...「在我们的工作中，我们正在将第一性原理方法与机器学习时代更常见的数据驱动方法相结合，这种方法几个世纪以来一直被科学家用来从现有背景理论中推导出新公式。」...Cornelio 说，「这种结合使我们能够利用这两种方法，并为广泛的应用创建更准确和有意义的模型。」...推理和回归的更深入集成可以帮助合成数据驱动和基于第一性原理的模型，并导致科学发现过程的革命。发现与先验知识一致的模型将加速科学发现，并超越现有的发现范式。

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不可错过的欧几里得几何：探索数学世界的奇迹应用

欧几里得几何在其文本中建立了一套精密的公理化体系，探讨了点、线、平面等基本几何图形的性质，提出了许多著名的几何定理和推论。...四、欧几里得几何的公理公理，有时也称为假定，是一种数学陈述，被认为是“不言而喻”的，未经证明即被接受。它应该简单，以至于毫无疑问是正确的。公理构成了数学的基础，可用于证明其他更复杂的结果。...数学中一个关键的部分就是利用逻辑规则，组合运用不同的公理去证明更复杂的结论。...在C++中实现对几何运算的应用，可以通过定义几何的基本元素，如点、线、面，以及实现一些几何计算相关的函数。...欧几里得几何在工程、建筑、地理等领域有着重要的应用，通过几何原理可以解决实际生活和工程中的空间问题，如测量、规划、设计等。

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NeurIPS 2023 | 「解释一切」图像概念解释器来了，港科大团队出品

现在，用户只需要将任意 DNN 接入该解释器的 API，EAC 就可以精准地解释出图中哪些概念影响了模型最终的输出。...的夏普利公理值得出近似原目标 DNN 的最终概念解释输出。...夏普利值实现在博弈论中，夏普利公理的地位举足轻重。基于它，研究人员可以推算出图片里每一个概念对目标模型输出的贡献值，从而得知哪些概念对于模型预测的帮助最大。...EAC 同时在「添加」和「删除」两项实验中实现了比较优秀的解释效果。...以下是 EAC 效果展示和 baseline 对比：在文章的最后，团队表示有了 EAC 这项技术，医疗影像，智慧安防等重要的可信机器学习商用应用场景会变的更准确，更可靠。

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乔治·布尔二百周年：数理逻辑奠基者其人其事

乔治·布尔发明布尔变量最初的目标，是想通过一系列数学公理来重现经典逻辑的运算结果。他从研究经典代数开始，例如x,y变量，加减乘除这种。一开始，他发现经典代数和逻辑的相似之处很多。...这就存在歧义，乔治·布尔的想法是：仍然使用经典代数的符号，但是添加了一些额外的公理，就能表示出绝大多数逻辑学的结果了。乔治·布尔用数学语言正式地描述了这套理论。...但是很好地解释了乔治·布尔使用代数形式来表达逻辑的思想。...只有在1937年香农交换网络问世时，布尔代数才被应用到实际目的中。今天，数学和Wolfram语言（此语言作者即为本文作者）里用到了很多布尔代数计算。...回望历史，所有的东西都有向着足够简单的趋势发展，然后得到广泛应用。及时一开始时是非常复杂的，后来才慢慢变得简单。事情往往都是这样，某一时刻有了关于某种技术的想法，然后凭着好奇心慢慢深入。

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如何学好数学

设定小目标并庆祝自己的进步，保持对数学学习的热情和动力。耐心和毅力：数学学习需要时间和耐心。不要急于求成，要相信自己的能力并持之以恒地努力。遇到困难时不要轻易放弃，要勇敢面对并寻求解决方法。...公理集合论：定义：公理集合论是研究集合论的基础部分，通过公理化的方法建立集合论的基本概念和定理。...抽象代数学：研究内容：在初等代数学的基础上产生和发展起来的，更关注代数结构的研究，如群、环、域等。...工程和制造业：在工程和制造业中，几何学被用来设计机器零件、模具和装配件，并确保它们能够正确地配合和运动。...经济学：在经济学中，分析学被用来研究经济现象和预测经济趋势，如微积分在经济学中的应用（如边际分析、最优化问题等）。

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深度学习中的可解释性：SHAP值的加性特征归因公理证明详解

随着深度学习系统在关键领域应用的深入，对其决策过程进行可靠解释的需求只会越来越强烈。SHAP值以其坚实的理论基础和灵活的实践应用，正在成为连接模型复杂性与人类理解的关键桥梁。...2024年NeurIPS会议上提出的基准值优化方法正是基于此性质展开，就像调整交响乐的评分基准线来更准确地反映每个乐手的真实贡献。...公理体系的理论边界尽管加性特征归因公理提供了坚实的理论基础，但其应用仍存在需要警惕的边界条件。...特别地，当模型检测到新型缺陷模式时，SHAP值能够清晰展示模型是如何通过多个传感器数据的协同作用做出判断，这为工程师提供了宝贵的故障分析依据。自动驾驶系统的决策解释是SHAP值应用的又一典型案例。...在药物重定位研究中，该方法成功识别出传统SHAP值误判的3个生物标记物。更激动人心的进展来自反事实解释生成。

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数学开窍最佳方法

公理集合论：定义：公理集合论是研究集合论的基础部分，通过公理化的方法建立集合论的基本概念和定理。...抽象代数学：研究内容：在初等代数学的基础上产生和发展起来的，更关注代数结构的研究，如群、环、域等。...工程和制造业：在工程和制造业中，几何学被用来设计机器零件、模具和装配件，并确保它们能够正确地配合和运动。...通过几何学的研究，我们可以更深入地理解空间和形状的本质，为科学研究和实际应用提供有力的支持。...经济学：在经济学中，分析学被用来研究经济现象和预测经济趋势，如微积分在经济学中的应用（如边际分析、最优化问题等）。

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＞＞人工智能：知识图谱基础知识

——王昊奋老师本体（ontology）主要应用于：人工智能、语义网、软件工程、生物医学信息学、图书馆学以及信息架构。...如医学领域的氨基酸本体（Amino Acid Ontology）、细胞周期本体（Cell-Cycle Ontology，CCO）、疾病本体（Disease Ontology）等。...如openCyc。 openCyc 是一个致力于将各个领域的本体及常识知识综合地集成在一起，并在此基础上实现知识推理的人工智能项目。其目标是使人工智能的应用能够以类似人类推理的方式工作。...公理：采取特定逻辑形式的断言（包括规则在内）所共同构成的就是其本体在相应应用领域当中所描述的整个理论。这种定义有别于产生式语法和形式逻辑当中所说的“公理”。...在这些学科当中，公理之中仅仅包括那些被断言为先验知识的声明。就这里的用法而言，“公理”之中还包括依据公理型声明所推导得出的理论。事件(哲学)：属性或关系的变化。

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Spark-Prover-X1-7B开源大模型：高效逻辑推理与验证的技术突破

训练策略创新三阶段训练单阶段训练全面优化显著提升性能目标领域 Lean4自动定理证明通用推理领域深化更专业的定理证明能力性能表现同等规模开源模型领先基础水平突破性提升解决更复杂的定理...交互式证明助手 Lean4、Coq 高度可靠、表达能力强需要人工指导、学习曲线陡峭高难度定理证明、形式化验证自动定理证明器 E prover、Z3 自动化程度高、速度快应用范围有限、缺乏灵活性...优化硬件配置，使用并行推理内存不足批量过大、上下文过长减小批量大小，缩短上下文长度未来发展方向模型规模扩展：进一步增加模型参数量，提升复杂定理证明能力多语言支持：扩展到更多形式化语言（如Coq...-7B作为由科大讯飞团队开发的专用大型语言模型，通过创新的三阶段训练策略，显著增强了形式化推理能力，在同等规模的开源模型中实现了最先进的性能。...建议开发者：深入学习Lean4形式化语言，充分发挥模型能力结合实际应用场景进行模型微调关注形式化方法的发展趋势，探索更多应用领域参与开源社区，共同推动技术进步下一篇预告：Spark-Formalizer-X1

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超越宇宙极限：第六位海狸数再次突破，无法用常规数学符号表达

活跃在这股浪潮中的，有 Shawn Ligocki 和他的父亲 Terry，一位应用数学家。...很快，Kropitz 就以更惊人的成果回应：一台能运行 10↑↑15 步的机器 —— 相当于一座高达 15 层的 10 的幂塔。到此为止，他们已经彻底告别了人类习惯理解的数字世界。...目标十分明确：要严格证明 BB (5) 的真实值。仅在社区成立两年后，该社区就完成了对 BB (5) 真实值的证明。这个证明过程中深度使用了 Coq 智能证明助手。...Katelyn Doucette 正在翻阅这些待定的图灵机时，注意到其中一台看起来很有潜力，深入分析后发现，这台机器的运行时间仅次于现任冠军。...正在度假的 Kropitz 看到了消息，他大方地接受了冠军易主的事实，还在 Discord 上调侃道：「很遗憾，这次我没法再来一次三天逆袭了。」

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牛顿运动定律的谜团（三）——比动量守恒更进一步

而公理，在物理中，有时以规定或假设的形式出现，比如规定1kg的质量，有时写成定律或当作常识，但其标准化的数学形式是没有区别的。而实际上，做物理实验，我们也只能验证一个定律。...如果实验吻合，给你的公理符合上帝，自洽地提供一点辩证的证据；而如果不吻合，也不能完全说明不对，只是提供一点方向而已。不吻合的时候我也可以再取个名字说这不是惯性系嘛，总能够打上补丁的。...更别提后面各种花式的磁场中的力，各种正比关系都说明，力确实是一个绝妙的中间量，来联系万事万物。有时甚至很难说，数学可以完全脱离物理等实际问题的学科而发展。...就这一点，就是比一般的动量守恒定律来得深入的机理，因为它更进一步解释了为什么会最终以这样的动量交换速度交换动量的真正原因，并且通过力这一看似规定的量，为这一现象的更深入描述，提供了基础。...文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。

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简单数学分支整理

抽象代数学：研究内容：在初等代数学的基础上产生和发展起来的，更关注代数结构的研究，如群、环、域等。...工程和制造业：在工程和制造业中，几何学被用来设计机器零件、模具和装配件，并确保它们能够正确地配合和运动。...通过几何学的研究，我们可以更深入地理解空间和形状的本质，为科学研究和实际应用提供有力的支持。...经济学：在经济学中，分析学被用来研究经济现象和预测经济趋势，如微积分在经济学中的应用（如边际分析、最优化问题等）。...共同目标：尽管数学分支的研究对象和方法各不相同，但它们都有共同的目标，即揭示数学世界的本质和规律，为人类提供新的知识和技术。

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人工智能之数学基础离散数学：第一章集合论与逻辑推理

用了一段时间Agda的感想

从简单的物理原理重建的量子理论

网络安全架构 | 安全架构公理

7B级形式化推理与验证小模型，媲美满血版DeepSeek-R1，全面开源！

【AIDL专栏】方以类聚，物以群分，吉凶生矣 | 于剑：聚类理论与算法选讲

理性的光辉，“哥德尔不完备定理”到底说了些什么？

【AGI-Eval评测数据 NO.2】CapaBench 揭示 LLM 智能体中各个模块的作用

新的「AI科学家」结合理论和数据来发现科学方程

不可错过的欧几里得几何：探索数学世界的奇迹应用

NeurIPS 2023 | 「解释一切」图像概念解释器来了，港科大团队出品

乔治·布尔二百周年：数理逻辑奠基者其人其事

如何学好数学

深度学习中的可解释性：SHAP值的加性特征归因公理证明详解

数学开窍最佳方法

＞＞人工智能：知识图谱基础知识

Spark-Prover-X1-7B开源大模型：高效逻辑推理与验证的技术突破

超越宇宙极限：第六位海狸数再次突破，无法用常规数学符号表达

牛顿运动定律的谜团（三）——比动量守恒更进一步

简单数学分支整理

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