其中 set用于设置Matrix中的值。 pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。...post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。...，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为： ? 如下图所示： ? 不难知道 ? 如果用矩阵来表示的话，就可以写成： ? 旋转变换 2.1 围绕坐标原点旋转： 假定有一个点 ?...，相对坐标原点顺时针旋转 ? 后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图 ? 那么, ? 如果用矩阵，就可以表示为: ? 2.2 围绕某个点旋转 如果是围绕某个点 ? 顺时针旋转 ?...错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。
（修改组件顺序） 2.3 旋转 第三种变换类型是旋转。比前两个要困难一些。我们从一个新组件开始，该组件将返回没有变化的点。 ? 那么旋转该如何实现呢？ 它需要限制自己绕单个轴（Z轴）旋转。...因此X×Y×Z≠Z×Y×X 在这方面，矩阵乘法不同于单数乘法。 Unity的实际轮换顺序为ZXY。 现在我们有了这个矩阵，可以看到如何构建旋转结果的X，Y和Z轴。 ? ?...缩放矩阵很容易构造。取单位矩阵并缩放其分量。 ? 但是我们如何支持重新定位呢？ 这不是对三个轴的重新定义，而是一个偏移量。 因此，我们无法用现在拥有的3 x 3矩阵表示它。...将一个抽象的只读属性添加到Transformation中以检索转换矩阵。 ? 它的Apply方法不再需要抽象。将仅获取矩阵并执行乘法。...但你仍然可以缩放，旋转和重新放置所有内容，之后会将其投影到XY平面上。这是基本的正交摄影机投影。 我们的原始相机位于原点，并朝正Z方向看。 那我们可以移动它并旋转它吗？
（视图变换） 2、移动或者旋转它，当然了，如果它只是计算机里面的物体，我们还可以放大或缩小它（物体运动，让人看它的不同部分）。...为了编写这个程序，需要使用glRtate*()函数让这颗行星绕太阳旋转，并且绕自身的轴旋转。还需要使用glTranslate*()函数让这颗行星远离太阳系原点，移动到它自己的轨道上。...绘制一颗绕太阳旋转的行星要求进行几次模型变换。这颗行星需要每天绕自己的轴旋转一周，每年沿着自己的轨道绕太阳旋转一周。 为了确定模型变换的顺序，可以从局部坐标系统的角度考虑。...第二次调用glRotate*()使局部坐标轴进行旋转，因此确定了这颗行星在一天中的时间。当调用了这些函数变换之后，就可以绘制这颗行星了。 5. 实验作业： （1）尝试在太阳系中增加一颗卫星，一颗行星。...如果打算绘制几颗卫星绕同一颗行星旋转，需要在移动每颗卫星的位置之前保存坐标系统，并在绘制每颗卫星之后恢复坐标系统。 （2）尝试把行星的轴倾斜。
在本教程中，我们将扩展转换的概念并演示可以通过这些转换实现的简单动画。 本教程的结果将是围绕另一个轨道运行的对象。 展示转换以及如何将它们组合以实现期望的效果将是有用的。...因为向量和矩阵乘法是关联的，我们也可以先将所有矩阵相乘，然后将向量乘以乘积矩阵，得到相同的结果。 下图显示了如果我们将旋转和平移转换结合在一起，立方体将如何结束。 图5.旋转和平移的效果 ?...第一个将旋转到位，而第二个将围绕第一个旋转，同时在其自己的轴上旋转。 这两个立方体将具有与其关联的自己的世界变换矩阵，并且该矩阵将在渲染的每个帧中重新应用于该矩阵。...围绕X，Y和Z轴执行的旋转分别使用函数XMMatrixRotationX，XMMatrixRotationY和XMMatrixRotationZ来完成。 它们创建围绕主轴之一旋转的基本旋转矩阵。...它仅沿主轴缩放。 如果需要沿任意轴缩放，则可以将缩放矩阵与适当的旋转矩阵相乘以实现该效果。 第一个立方体将旋转到位，并作为轨道的中心。 立方体沿Y轴旋转，应用于相关的世界矩阵。
post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。...一、 平移变换 假定有一个点的坐标是 ，将其移动到 ，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为： 如下图所示： 不难知道： 如果用矩阵来表示的话，就可以写成： 二、 旋转变换 2.1 围绕坐标原点旋转...： 假定有一个点 ，相对坐标原点顺时针旋转 后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图： 那么， 如果用矩阵，就可以表示为： 2.2 围绕某个点旋转 如果是围绕某个点 顺时针旋转 ，那么可以用矩阵表示为...旋转(围绕图像的中心点) 输出的结果： 它实际上是 matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap...以第一部分“二、旋转变换”中围绕某点旋转的情况为例： 越靠近原图像中像素的矩阵，越先乘，越远离原图像中像素的矩阵，越后乘。事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。
2．实验内容： 模拟简单的太阳系，如图A.8所示。太阳在中心，地球每365天绕太阳转一周，月球每年绕地球转12周。另外，地球每天24个小时绕它自己的轴旋转。 ?...为了编写这个程序，需要使用glRtate函数让这颗行星绕太阳旋转，并且绕自身的轴旋转。还需要使用glTranslate函数让这颗行星远离太阳系原点，移动到自己的轨道上。...绘制太阳比较简单，因为它位于全局固定坐标系统的原点，也就是球体函数进行绘图的位置。因此，绘制太阳时并不需要移动，可以使用glRotate*函数绕一个任意的轴旋转。...绘制一颗绕太阳旋转的行星要求进行几次模型变换。这颗行星需要每天绕自己的轴旋转一周，每年沿着自己的轨道绕太阳旋转一周。 为了确定模型变换的顺序，可以从局部坐标系统的角度考虑。...6的茶壶旋转； (2)让实验7的机器人手臂不停旋转划圈。
在三个维度上，常用的旋转矩阵有 、 和 ，它们分别围绕x轴、y轴和z轴旋转一个实体 弧度。...对于每个 旋转矩阵 ，它围绕任何轴旋转 弧度，其迹（即矩阵中对角线元素的总和）是独立于轴的常数，并计算为[997]： image.png 旋转矩阵的效果可以在第65页的图4.4中看到。...旋转矩阵 的特征除了它绕轴i旋转 弧度这一事实之外，它还使所有留在旋转轴i上的点不变。请注意， 也将用于表示围绕任何轴旋转的旋转矩阵。...这也适用于任意数量的这些变换的级联。旋转矩阵还有另一种求逆的方法： ，即绕同一轴向相反方向旋转。 示例：围绕一个点旋转。假设我们要围绕z轴将对象旋转 弧度，旋转中心是某个点 。...首先构造矩阵 ，改变基，如下所示： image.png 思路是让三个轴给定的坐标系与标准轴重合，然后使用标准缩放矩阵，再变换回来。第一步是乘以转置，即 的逆。
由于 是旋转矩阵的级联，因此它显然也是正交的。因此，它的逆可以表示为 ，当然，尽管直接使用 的转置更容易。 图4.7. 欧拉变换，以及它如何与你改变航向、俯仰和滚动角度的方式相关联。...要将螺栓固定到位，您必须围绕x轴旋转扳手。现在假设您的输入设备（鼠标、VR手套、太空球等）为你提供了一个旋转矩阵，即用于扳手移动的旋转。问题是将这个变换应用到扳手可能是错误的，它应该只围绕x轴旋转。...这就是广受欢迎的变换，它将围绕x轴旋转扳手（如果 现在包含这样的运动）。 4.2.3 矩阵分解 到目前为止，我们一直在假设我们知道我们正在使用的转换矩阵的起来和过程。通常情况并非如此。...Shoemake[1635]改进了他们的仿射矩阵技术，因为他的算法独立于参考系，并尝试分解矩阵以获得刚体变换。 4.2.4 绕任意轴旋转 有时，将实体绕任意轴旋转某个角度的过程是很方便的。...假设旋转轴 已正则化，并且创建了一个围绕 旋转 弧度的变换。 为此，我们首先变换到一个空间，其中我们想要旋转的轴是x轴。这是通过一个称为 的旋转矩阵完成的。
RGB色是如何旋转的呢，首先用R、G、B三色建立三维坐标系，如下： ? 这里，我们把一个色彩值看成三维空间里的一个点，色彩值的三个分量可以看成该点对应的坐标（三维坐标）。...先不考虑在三个维度综合情况下是怎么旋转的，我们先看看在某个轴做为Z轴，在另两个轴形成的平面上旋转的情况。假如，我们现在需要围绕蓝色轴进行旋转，我们对着蓝色箭头观察由红色和绿色构造的平面。...同理，可以得出围绕红色分量轴顺时针旋转 α 度的颜色矩阵： ? 围绕绿色分量轴顺时针旋转 α 度的颜色矩阵： ?...通过上面的分析，我们可以知道，当围绕红色分量轴进行色彩旋转时，由于当前红色分量轴的色彩是不变的，而仅利用三角函数来动态的变更绿色和蓝色的颜色值。这种改变就叫做色相调节。...当围绕红色分量轴旋转时，是对图片就行红色色相的调节；同理，当围绕蓝色分量轴旋转时，就是对图片就行蓝色色相调节；当然，当围绕绿色分量轴旋转时，就是对图片进行绿色色相的调节。
用矩阵乘法来表示就为 左边的x,y就是P点在像平面成像的图像坐标系中的坐标，单位为mm，最右边的\(X_c、Y_c、Z_c\)就是P点在相机坐标系中的坐标。...对于旋转因子，我们可以将刚体在三维空间的三维旋转看作是三个方向上的二维旋转：(有关三维旋转的内容可以参考机械臂运动学整理 中的旋转矩阵与转角) 上式中的第一个式子表示相机坐标系围绕相机坐标系的自己的Z轴逆时针进行旋转了...θ角得到了P点在新的相机坐标系中的坐标\((X_W,Y_W,Z_W)\)；第二个式子表示相机坐标系围绕相机坐标系的自己的Y轴逆时针进行旋转了φ角得到了P点在新的相机坐标系中的坐标\((X_W,Y_W,Z_W...)\)；第三个式子表示相机坐标系围绕相机坐标系的自己的X轴逆时针进行旋转了β角得到了P点在新的相机坐标系中的坐标\((X_W,Y_W,Z_W)\)。...第四个式子表示(这里的\(R_c\)有问题，改为\(R_c=R_1R_2R_3\))依次围绕X、Y、Z轴旋转β、φ、θ角后得到最终的P点在新的相机坐标系中的坐标\((X_W,Y_W,Z_W)\)。
用矩阵表示: 图例: 3.旋转(Rotate) 假定一个点 A(x0, y0) ,距离原点距离为 r, 与水平轴夹角为 α 度, 绕原点旋转 θ 度, 旋转后为点 B(x, y) 如下...设原始矩阵为 M，平移为 T ，旋转为 R ，单位矩阵为 I ，最终结果为 M’ 矩阵乘法不满足交换律，即 A*B ≠ B*A 矩阵乘法满足结合律，即 (A*B)*C = A*(B*C) 矩阵与单位矩阵相乘结果不变...但从严谨的数学和程序角度来分析，完全是不可能的，还是上面所说的，pre 和 post 不能影响程序执行顺序，而程序每执行一条语句都会得出一个确定的结果，所以，它根本不能控制先后执行 如何理解和使用 pre...正确使用方式就是先构造正常的 Matrix 乘法顺序，之后根据情况使用 pre 和 post 来把这个顺序实现。 还是用一个最简单的例子理解，假设需要围绕某一点旋转。...基于这两条基本定理，我们可以推算出要基于某一个点进行旋转需要如下步骤： 1. 先将坐标系原点移动到指定位置，使用平移 T 2. 对坐标系进行旋转，使用旋转 S (围绕原点旋转) 3.
这里需要把矩阵根据他们的作用划分为4块： 如上图所示，这四块区域各有作用。后面会详细讲解各个作用，先来看看这个矩阵是如何影响图像的。...现在我们来看看matrix怎么作用于每个像素的值。这里需要用到矩阵的乘法，首先需要明确的是，矩阵的前乘和后乘是不相同的，也就是说不满足乘法交换律。...这里我们通过一个旋转变换来看看原理,其实一张图片围绕一个点旋转，也就是所有的点都围绕一个点旋转，所以只需要关注一个点的情况即可： 假定有一个点 ，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为...r，如下图： 那么就有： 换做矩阵运算就如下图： 从这里就可以看出，矩阵中的值，是如何作用于像素点的x，y坐标以及z轴远近。...同时，可以看到，上面的矩阵四块区域的切分也是因为矩阵乘法的操作决定的，由于这里的乘法运算中，左上角的四个值，可以和x，y值做乘法运算，所以可以影响到旋转等操作，而右上角的模块，只能做加法，所以只能影响到平移
首先讨论元素在2D平面如何变换，然后在进入3D变换的讨论。CSS32D变换让Web设计师有了更多的自由来装饰和变形HTML组件，同时有更多的功能装饰文本和更多的动画选项来装饰div元素。...2D倾斜 倾斜函数skew()能够让元素倾斜显示，可以将一个对象以其中心位置围绕着X轴和Y轴 按照一定的角度倾斜。...rotateZ()函数指定元素围绕Z轴旋转，如果仅从视觉角度上看，rotateZ()函数让元素顺时针或逆时针旋转，并且效果和rotate()效果等同，但不是在2D平面 旋转。...·x： 0 ～ 1 的数值， 用来描述元素围绕X轴旋转的矢量值。 ·y： 0 ～ 1 的数值， 用来描述元素围绕Y轴旋转的矢量值。...·z： 0 ～ 1 的数值， 用来描述元素围绕Z轴旋转的矢量值。 ·a： 角度值， 用来指定元素在3D空间旋转的角度，如果其值为正值，元素顺时针旋转， 反之元素逆时针旋转。
这篇文章将会介绍欧拉角的基础知识、欧拉角的问题和如何去解决这些问题，当然还有欧拉角无法解决的万向节死锁问题，在最后还会介绍如何将欧拉角转换成矩阵，便于程序计算。...而是两个定向之间的插值问题，如果看了上方视频，可以发现当第二个轴旋转 90 度时，让它再旋转到另一个定向，会发生不自然的旋转，这可能就会照成物体突然晃动等问题。...欧拉角转矩阵 欧拉角对于人来说很容易理解，但是对于电脑来说并不是。一般由用户输入欧拉角的值，程序在内部将欧拉角转换为矩阵，然后用矩阵去使物体发生旋转并呈现给用户。...因为欧拉角是围绕三个基本坐标轴的旋转，我们可以根据三个轴的旋转矩阵去计算最终的旋转矩阵。...（这里不过多介绍如果计算出 3 个轴的旋转矩阵，可以点击连接进行查看） 矩阵的一个优势就是可以将不同的变换通过矩阵乘法相乘，就可以得到一个表示最终变换的矩阵。
在上例中，RotationX、RotationY和RotationZ属性指定围绕一个轴旋转StackPanel的度数。RotationX属性指定围绕对象的水平轴旋转。...RotationY属性围绕旋转中心的垂直轴旋转。RotationZ属性围绕旋转中心的z轴（直接穿过对象平面的直线）旋转。这些旋转属性可以指定负值，这会以反方向将对象旋转某一度数。...默认情况下，旋转轴直接穿过对象的中心，这导致对象围绕其中心旋转；但是如果您将旋转中心移动到对象的外边缘，对象将围绕该外边缘旋转。...CenterOfRotationX将沿着与该对象平行的x轴移动旋转中心，而CenterOfRotationY沿着该对象的y轴移动旋转中心。...这样您就可以围绕该点旋转对象，就像行星围绕恒星旋转一样。 2.定位对象 LocalOffsetX沿旋转对象平面的x轴平移对象。 LocalOffsetY沿旋转对象平面的y轴平移对象。
基本变换：平移(translation)、旋转(roration)、缩放(scale)、透视(perspective)，这4个基本变换可以单独使用，也可以组合使用(两个基本变换可以使用矩阵乘法组合起来)...注意：当使用组合变换时，顺序很重要，例如平移和旋转组合，先平移和先旋转会得到两个完全不不同的结果 所有的基础变换矩阵，都可以通过GLKit/GLKMatrix4.h里的函数构建 平移 // 返回一个平移矩阵...：tx ty tz 分别是在x y z 轴的移动距离， GLKMatrix4MakeTranslation(float tx, float ty, float tz) 旋转 // 返回一个旋转矩阵...// radians是旋转角度，它接受一个弧度值，可以用GLKMathDegreesToRadians(30)，将角度转换为弧度 // 后面的x y z组成一个向量，顶点将围绕这个向量做旋转(如{1.0...，0.0，0.0}，将会绕x轴做旋转) GLKMatrix4MakeRotation(float radians, float x, float y, float z) 缩放 // 返回一个缩放矩阵
这包括旋转、平移和缩放矩阵，如下图所示。 上述仿射变换的一个非常有用的性质是它们是线性函数。它们保留了乘法和加法运算，并遵循叠加原理。...坐标系是左手的，X轴指向右，Y轴指向正下方。 但在教科书和文献中，如上面所示的3个矩阵，大多数变换矩阵都遵循右手坐标系。因此，必须进行一些小的调整来调整轴线方向。...从右到左可以理解函数是如何应用的。 Numpy中的变换 现在对于图片，有几点需要注意。首先，如前所述，我们必须重新调整垂直轴。其次，变换后的点必须投影到图像平面上。...示例：围绕图像中心旋转、缩放和平移 让我们看一个变换，我们希望放大2倍，并围绕图像的中心位置旋转45度。 这可以通过应用以下复合矩阵来实现。...此函数使用角度围绕点中心旋转图像，并使用比例缩放图像。
转化的方法就是坐标系的转换，目前有三种方式：四元数（q0123）、欧拉角（yaw（Z轴）/ pitch（Y轴）/roll（X轴）属于其中一种旋转顺序Z-Y-Xà航空次序欧拉角）、方向余弦矩阵（9个系数）...为了实现这样一个目的(可以看到每个轴上的真实加速度)，我们需要一个旋转矩阵，这个矩阵的作用就是把放置在载体坐标系上的加速度计值转换到参考坐标系中，在参考坐标系中，三个轴上的值始终都是（0，0，1）。...所以当我们把加速度计以任意角度固定在空间中时，无论加速度计的三个轴的值是多少，当经过旋转矩阵变换后，在参考坐标戏中输出的值始终都是（0，0，1）–>这表明在参考坐标系中，物体在x和y轴上是没有加速度的，...但是第二次旋转发生在三维空间，我们是可以看到的。 19、 我们来看一下在三维空间中是如何旋转的。给定一个三维向量p(0,x,y,z)，这是用四元数来表示的。...例如：Tait–Bryan angles的xyz顺序，那么在旋转abc的时候，每次旋转把abc坐标系围绕固定参考系xyz中的某个轴旋转；而内在旋转指的是在旋转abc的时候，每次旋转围绕的的轴是上一次abc
四元数用于表示旋转和方位。它们在几个方面都优于欧拉角和矩阵。任何三维方向都可以表示为围绕特定轴的单次旋转。给定轴和角度表示，与四元数转换相互转换很简单，然后任一方向的欧拉角转换则具有挑战性。...变换围绕轴 {\rm\pmb{u}}_q 旋转 2\phi 弧度。...也就是说，取反轴 \rm\pmb{u}_q 和实部 q_w 会创建一个与原始四元数完全一样旋转的四元数。...请注意，公式4.57的结构类似于公式4.30的结构，并注意后一种形式如何不需要三角函数。...如果 \phi ≈ 0 ，那么我们可以返回单位矩阵。然而，如果 2\phi ≈ \pi ，那么我们可以绕任意轴旋转 \pi 弧度。
我们首先会解释正运动学和逆运动学的基本概念和数学原理，然后我们将展示如何应用这些原理来计算7轴机械臂的运动。我们的目标是让读者对机械臂的运动控制有一个深入的理解，并了解如何在实践中应用这些知识。...连杆的旋转角度（α）：它表示相邻链接之间的旋转角度，围绕前一个链接的法线旋转。它通常指的是链接轴线之间的旋转。关节的长度（d）：它表示链接的长度或者关节的长度，沿着当前链接的法线测量。...它通常指的是关节轴线的长度。关节的旋转角度（θ）：它表示关节的旋转角度，围绕当前链接的法线旋转。它通常指的是关节的角度或者关节的转动。...通过这种方式，我们可以使用相同的矩阵乘法操作来描述平移和旋转。...注意，矩阵乘法不满足交换律，所以乘法的顺序很重要。最终得到的T总变化矩阵算出来的结果就是机械臂末端相对于基座的坐标。提前了解DH模型，对理解后面的矩阵变换很有帮助。
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