确定状态和状态转移方程：通过递推公式或状态转移方程，确定子问题之间的关系。 确定初始条件和边界条件：确定递推的起点。...自底向上或自顶向下求解：通过保存子问题的解（通常使用数组或表格），从最基本的子问题开始逐步求解最终问题。 动态规划的应用场景： 斐波那契数列：通过保存已经计算过的斐波那契数，避免重复计算。...自底向上（Bottom-Up）：也称为迭代法，从最基本的子问题开始，逐步解决较大的子问题，最终得到原问题的解 这次我们主要讲的是斐波那契数列模型，这种线性dp模型 还是很简单的。...这个名字听起来很抽象，其实可以理解成一个关系式，可以用前面推出后面，或者用后面推出前面的一个关系式子。...我们分别探讨了自底向上（迭代法）实现方式，展示了它们在解决斐波那契数列问题中的具体步骤和优劣对比。
（感觉比较生僻，不做解释） 迭代法： 从原始递推方程开始，反复将对于递推方程左边的函数用右边的等式代入，直到得到初值，然后将所得的结果进行化简。...经验和一些定理告诉我们，这些细节不会影响算法时间复杂度的渐近界。 类似的，我们也可以用迭代法求解汉诺塔递归求解时的时间复杂度。但遗憾的是，迭代法一般适用于一阶的递推方程。...（这里省略快速排序算法平均复杂度T(n)的求解过程） 小结：上面6种递推关系是高中、本科知识，在此重点介绍了迭代法，其它几种方法虽未在本篇中使用，但可以加深对递推式求解的认识。...这个递推式将规模为n的问题分解为a个子问题，每个子问题的规模为n/bn/b，a个子问题递归地求解，每个花费时间T(n/b)T(n/b)。函数f(n)f(n)包含了问题分解和子问题解合并的代价。...这种递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子问题的解的综合，得到原问题的解。
递推算法思想 与枚举算法思想相比，递推算法能够通过已知的某个条件，利用特定的关系得出中间推论，然后逐步递推，直到得到结果为止。由此可见，递推算法要比枚举算法聪明，它不会尝试每种可能的方案。...例如斐波那契数列就可以通过顺推法不断递推算出新的数据。 ② 逆推法：从已知的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题开始的条件，即顺推法的逆过程。...① 分解，将要解决的问题划分成若干个规模较小的同类问题。 ② 求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决。 ③ 合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。...试探法是针对这类问题而推出的，比枚举算法的效率更高。 迭代算法 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，在解决问题时总是重复利用一种方法。...（2）建立迭代关系式 迭代关系式是指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式或关系。通常可以使用递推或倒推的方法来建立迭代关系式，迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键。
马尔科夫预测 适用于随机现象的数学模型（即在已知现情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系） 研究一个商店的未来某一时刻的销售额，当现在时刻的累计销售额已知。...不适宜用于系统中长期预测 差分方程 利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。 适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。...数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。 微分方程模型 适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。...反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。...，力学问题 四元数 空间物体姿态问题 数值计算方法 名称 解决问题类型 参考链接 SOR迭代法 线性方程求解 牛顿迭代法 线性方程求解 高斯迭代法 线性方程求解 不动点迭代法 线性方程求解
马尔科夫预测 适用于随机现象的数学模型（即在已知现情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系） 研究一个商店的未来某一时刻的销售额，当现在时刻的累计销售额已知。...数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。 微分方程模型 适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。...反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。...参考链接 SOR迭代法 线性方程求解 牛顿迭代法 线性方程求解 高斯迭代法 线性方程求解 不动点迭代法 线性方程求解 AlphaBeta剪枝算法 博弈树剪枝 LU分解 线性方程简化求解 SVD...（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数、时域分析 滤波器 限幅滤波 中位值滤波 算术平均滤波 递推平均滤波 中位值平均滤波 限幅平均滤波 一阶滞后滤波 加权递推平均滤波 消抖滤波 限幅消抖滤波
单刚体动力学主要是解决平动和转动的建模问题，对于牛顿-欧拉方程中，牛顿方程主要是为了解决平动问题，即外部作用力 和加速度 之间的关系： 欧拉方程则主要处理的刚体的转动问题，其涉及到刚体的角速度...同样的，对于各个连杆坐标系处的线加速度可以表示如下： 由此，进一步推导，可以得到各个连杆质心处的线加速度如下所示 2.3 力和力矩的向内递推 image.png image.png 根据上述递推可以知道各个杆件的速度和加速度关系...，由此，根据之前单刚体的牛顿-欧拉方程，可以得到具体的各部分连杆的作用力和力矩 image.png 定义 是杆件 作用在杆件 上的作用力； 是杆件i−1作用在杆件i上的作用力矩；则可以得到杆件...三 总结 关于牛顿欧拉法的总结具体如下： 牛顿欧拉方程中牛顿方程主要用于解决刚体的平动问题，欧拉方程主要解决刚体的旋转问题； 任何刚体的任何运动均可以用平动以及转动合成，力的平移会产生转矩，力矩的平移可以直接进行...但是多刚体的接触情况需要单独进行，因为多刚体的接触是一个很复杂的情况，涉及情况较多； 多刚体动力学分析相对单刚体动力学需要引入多刚体的运动学分析，运动学分析需要求解刚体的线速度以及角速度，进而求解出刚体的线加速度以及角加速度
intersection(function: Callable[[float], float], x0: float, x1: float) -> float: 因为我们知道，这个函数应该是我们给出要求解的区间和函数给出一个根...这个不是二分法，但是差不多的意思，不过这个是牛顿法，也叫牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法，就我的题目。 这篇文章的下面就讲讲这个东西： 它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。...迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。...利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量 在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。...二、建立迭代关系式 所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
1.简单实例 首先看一个简单的弹簧杆件结构，如图所示，中间节点作用一个F的力，会产生一个位移v 由静力平衡关系可得到 该方程为典型的非线性方程，对于这个方程，如果给定一个位移v就能求得F，如下图所示...图中不同k对应的曲线，可以看到k比较小时，杆内力起主要作用，呈现出几何非线性，K较大时，弹簧起主要作用，呈现出弹簧的线弹性。...牛顿迭代法的思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解，具体操作如下： 牛顿迭代法图形解释 对于非线性方程f(x)= 的迭代解法有如下格式 3.非线性有限元迭代法 虽然上文只是简单的一维问题...，但是我们可以把它当做位移法有限元的原型，对于一般有限元，离散平衡方程一般具有如下形式： 对于试探解、一般有 该方程的求解有如下形式 （1）直接迭代法 直接迭代法中要求K矩阵为u的显式函数...同理，也可以得到修正的Newton-Paphson 方法 牛顿迭代法一般具有较好的收敛性，但是对于一些从小被分在二班的非线性同学，他也有很大的局限性 比如对于这个问题，牛顿只好呵呵了 对于下面问题
，也就是说问题可以拆分成多个子问题进行求解 最优子结构，在自下而上的递推过程中，我们求得的每个子问题一定是全局最优解，既然它分解的子问题是全局最优解，那么依赖于它们解的原问题自然也是全局最优解。...既然我们知道动态规划的基本概念及特征，那么怎么判断题目是否可以用动态规划求解呢，其实也很简单，当问题的定义是求最值问题，且问题可以采用递归的方式，并且递归的过程中有大量重复子问题的时候，基本可以断定问题可以用动态规划求解...画外音：从最终地不能再分解的子问题根据递推方程（f(n) = f(n-1) + f(n-2)）逐渐求它上层的问题，上上层问题，最终求得一开始的问题，这种求解问题的方式就叫自底向上。...总结：仔细回想一下我们的解题思路，我们先看了本题是否可用递归来解，在递归的过程中发现了有重叠子问题，于是我们又用备忘录来消除递归中的重叠子问题，既然我们发现了此问题可以用递归+备忘录来求解，自然而然地想到它可以用自底向上的动态规划来求解...private static int f(int amount, int[] coins) { } 2、寻找问题与子问题的关系，即递推公式 这题的递推关系比较难推导，我们一起看下，假设 f(amount
，也就是说问题可以拆分成多个子问题进行求解 最优子结构，在自下而上的递推过程中，我们求得的每个子问题一定是全局最优解，既然它分解的子问题是全局最优解，那么依赖于它们解的原问题自然也是全局最优解。...既然我们知道动态规划的基本概念及特征，那么怎么判断题目是否可以用动态规划求解呢，其实也很简单，当问题的定义是求最值问题，且问题可以采用递归的方式，并且递归的过程中有大量重复子问题的时候，基本可以断定问题可以用动态规划求解...改用自底向上的方式来递推，即动态规划 可能不少人看了以上的动态规划的一些介绍还是对一些定义如 DP 状态，状态转移方程，自底而上不了解，没关系 ，接下来我们会做几道习题来强化一下大家对这些概念及动态规划解题四步曲的理解...总结：仔细回想一下我们的解题思路，我们先看了本题是否可用递归来解，在递归的过程中发现了有重叠子问题，于是我们又用备忘录来消除递归中的重叠子问题，既然我们发现了此问题可以用递归+备忘录来求解，自然而然地想到它可以用自底向上的动态规划来求解...private static int f(int amount, int[] coins) { } 2、寻找问题与子问题的关系，即递推公式 这题的递推关系比较难推导，我们一起看下，假设 f(amount
二、能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质： 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。...对问题的求解状态的描述是分阶段的。 决策：根据题意要求，对每个阶段所做出的某种选择性操作。 状态转移方程：用数学公式描述与阶段相关的状态间的演变规律。...上一章用的是递归的做法，这次我们采用递推的做法。 递归：从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归。...递推：递推算法是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法。递推是序列计算中的一种常用算法。通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定象的值。...本题可转化为动态规划算法求解最长公共子序列问题，然后用总字符串长度减去最长子序列长度，便得出问题的答案。 先将给定的初始字符串S1反过来排列，设为S2，求S1和S2的最长公共子序列便可。
1.2、定义 【重点】如果问题是由交叠的子问题构成的，那么就可以用动态规划技术来解决它。 一般来说，子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系中包含相同类型的更小子问题的解。...DP建议对于交叠的子问题一次又一次的求解，不如对每个较小的子问题只求解一次并把结果记录在表中，这样就可以从表中得出原始问题的解。...【0】= 0，【1】=1，【2】=1，【3】=2，【4】=3 问题进行拆解，发现重叠子问题（颜色区域），符合我们定义，如果问题是由交叠的子问题构成的，那么就可以用动态规划技术来解决。...（解决重复计算问题） 或建立DP表自下而上检查子问题的循环/拓扑顺序（状态转移方程） 解原问题：=子问题或通过组合子问题解 =>额外时间 来源：麻省理工针对动态规划推导步骤，动态规划第一篇，动态规划第二篇...2.2、精简下步骤 1、定义子问题-问题拆解 2、构建递推公式（递归+记忆化==>递推） 3、自底向上处理（状态转移方程） 4、DP ≈ 递归+记忆化+猜测 三、学习路线 币值最大化 硬币找零问题（
例3.4：通过if-else语句求解两数最大值问题。...在程序设计中，人们习惯于将复杂的难以解决的问题求解过程转化为易于理解的操作的多次重复。 在循环算法设计中，比较常见的方法有穷举法、迭代法和递推法。...对于一些数列，虽然通项公式难以找到，但可以找到相邻的若干项之间的关系。由已知项，再借助这个特定的关系可以逐项推算出后继项或前驱项的值，这种关系即是递推公式。递推公式又可以分为顺推和逆推两种方式。...显然二分迭代法的迭代公式就是： x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+x_{n-1}) 例3-20：用二分迭代法求解方法2x3- 4x2 +3x- 6=0在（-10，10）之间的根。...例3-21：用牛顿迭代法求解方法2x3- 4x2 +3x- 6=0在1.5附近的根。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。基本思路 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。...用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。...同样的例子，做法不同，也就有了不同的定义 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。...迭代和递归的关系和区别（敲黑板） 从概念上讲，递归就是指程序调用自身的编程思想，即一个函数调用本身；迭代是利用已知的变量值，根据递推公式不断演进得到变量新值得编程思想。...以斐波那契数列的求解为例，通过两种典型的实现进行对比： 递归的实现 int fib(int n){ if(n>1) return fib(n-1) + fib(n-2);
若用分治法来解，有些共同部分被重复计算了很多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，在需要时再查找，这样就可以避免重复计算、节省时间，也就是解决冗余。...在要用到第99项时，如果没有计算过，就按照递推式计算；如果计算过，直接使用，就像把第99项存储在一个缓存区里一样，这种方法，叫做“记忆化”，是递推式求解的技巧。...这种技巧，通俗的说叫“花费空间来节省时间”：动态规划就是通过这样的方式“记忆”过去，节省每次重新计算的时间。 我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。...最优决策表是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值（如最短路径，最长公共子序列，最大价值等），填表的过程就是根据递推关系依次填写...所以，寻找符合“最优子结构”的状态和状态转移方程的定义就是我们在利用动态规划解决问题时要做的。在找到之后，这个问题就可以以“记忆化地求解递推式”的方法来解决。而寻找到的定义，才是动态规划的本质。
本文Jungle将使用动态规划来求解LeetCode上的博弈类问题。...= 0; } 那么如何使用动态规划来求解这个问题？...（2）寻找递推关系 当前还剩n块石头时，你可以给对手剩下n-1、n-2、n-3块石头。当n-1、n-2、n-3都必胜时，n必败，所以有如下递推关系： dp[i] = !...（2）寻找递推关系 若当前数字为i，如果i的约数里面存在让对手输掉的数字，那么爱丽丝面对i就可以取胜。...（2）寻找递推关系 怎么来得到每一个dp[i][j]的值呢？
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