今天对计算几何中的Voronoi多边形（即泰森多边形）和Delaunay三角剖分进行了学习，整理资料如下（摘自百度百科）。...用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。如图，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。泰森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心。...定义 Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。...要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则： 1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。...如下图所示： 2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。
题目 给定 N，想象一个凸 N 边多边形，其顶点按顺时针顺序依次标记为 A[0], A[i], ..., A[N-1]。 假设您将多边形剖分为 N-2 个三角形。...对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 N-2 个三角形的值之和。 返回多边形进行三角剖分后可以得到的最低分。...示例 1： 输入：[1,2,3] 输出：6 解释：多边形已经三角化，唯一三角形的分数为 6。 示例 2： ?...输入：[3,7,4,5] 输出：144 解释：有两种三角剖分， 可能得分分别为：3*7*5 + 4*5*7 = 245， 或 3*4*5 + 3*4*7 = 144。 最低分数为 144。...示例 3： 输入：[1,3,1,4,1,5] 输出：13 解释：最低分数三角剖分的得分情况为 1*1*3 + 1*1*4 + 1*1*5 + 1*1*1 = 13。
概述 对于平面上的点集，通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...利用这个特性，可以将一个多边形剖分成Delaunay三角网，开源工具CGAL就正好提供了这个功能。 2....关于网格化以及三角网剖分，在CGAL中提供了非常详尽繁复的解决方案，我这里选择了CGAL::refine_Delaunay_mesh_2这个接口，这个接口能够将多边形区域构建成一个Delaunay三角网...参考 Delaunay三角剖分学习笔记
点集合的三角剖分是指如何将一些离散的点集合组合成不均匀的三角形网格，使得每个点成为三角网中三角面的顶点。...在实际工作中，使用最多的三角剖分是Delaunay三角剖分。通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...这些特性可能有些难以理解，但是我们可以先谨记一点：Delaunay三角网是一种特性最优的三角剖分。...，在QGIS中显示如下图4.21所示： 在程序最后，将生成的Delaunay三角网输出成另外一个矢量文件，在QGIS中显示如下图4.22所示： 读取和写出比较好理解，关键是调用CGAL进行构建Delaunay
\n"; } //画出三角剖分的顶点 static void draw_subdiv_point( Mat& img, Point2f fp, Scalar color ) { circle(...img, fp, 3, color, FILLED, LINE_8, 0 ); } //画出三角剖分的边 static void draw_subdiv( Mat& img, Subdiv2D& subdiv...it++) { subdiv.insert(*it); Mat img_copy = img_ori.clone(); // 画三角剖分
题目描述 给定 N，想象一个凸 N 边多边形，其顶点按顺时针顺序依次标记为 A[0], A[i], ..., A[N-1]。 假设您将多边形剖分为 N-2 个三角形。...对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 N-2 个三角形的值之和。 返回多边形进行三角剖分后可以得到的最低分。...示例3 输入： [1,3,1,4,1,5] 输出： 13 解释： 最低分数三角剖分的得分情况为 1*1*3 + 1*1*4 + 1*1*5 + 1*1*1 = 13。...提示 3 <= A.length <= 50 1 <= A[i] <= 100 题解 一个凸 边多边形，不停切割下去，最终一定是能切割成 个三角形。那么按照什么顺序切割才能方便求解呢？...这样右边多边形就被划分为了 3 块，其中除了 这个三角形外，两外两块多边形仍然满足只有一条内边的性质，所以可以继续用二位状态表示为 和 。 那如果不先找三角形 会怎么样呢。如下图所示： ?
2D约束三角剖分，2D和3D Delaunay三角剖分； （2）Voronoi图。2D和3D的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等； （3）多边形。...[带洞多边形拓扑规定]一个有洞的二维多边形称之为外轮廓，在其有界区域内有零个或多个轮廓，称为内轮廓或洞或孔。外轮廓的有界区域与内轮廓的无界区域的交点是带孔多边形的内部。...具体来说，它提供了一个数据结构来存储三角形，以及两个类来处理点集的三角化和Delaunay三角剖分。支持点定位和点插入。Delaunay三角剖分也支持点删除。...如果三角剖分的结果是任意一个三角形组成的外接圆内部不包含其他顶点，则称之为一个Delaunay三角剖分。受约束的Delaunay三角剖分的任意面围成的圆在其内部不包含从该面可见的数据点。...如果每个有约束的边都是Gabriel边，则一个有约束的Delaunay三角剖分也被称为符合Gabriel三角剖分。
一：三角剖分概念（Triangulation） 三角剖分最早是俄国数学家Delaunay提出来的，而他获得博士学位时候的老师是Georgy Voronoy，是维诺图概念的提出者，而且维诺是马尔可夫的学生...所以三角剖分又常常被冠以Delaunay Triangulation。...其基本思想就是对任意多的点，分割为多个三角形，任意一个三角形的外接圆都不应该包含其它顶点，如果包含则继续寻找组合，直到所有点满足此条件，最终得到的多个三角形就是三角剖分，三角剖分在人脸特征迁移、人脸合成与交换...二：OpenCV中相关API支持 Subdiv2D对象是OpenCV中用来生成三角剖分，并且获取三角剖分全部三角形的工具类，主要方法如下： - Subdiv2D subdiv // 定义三角剖分 - initDelaunay...三角剖分绘制 ?----
凸多边形的三角剖分是指将一个凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合。...例如图4-56的一个三角剖分是{ v0v4，v1v3，v1v4}，另一个三角剖分是{ v0v2，v0v3，v0v4}，一个凸多边形的三角剖分有很多种。 ?...一个凸多边形的三角剖分有很多种，最优三角剖分就是划分的各三角形上权函数之和最小的三角剖分。...用m[i][j]表示凸多边形{vi-1，vi，…，vj}三角剖分的最优值，那么两个子问题：{vi-1，vi，…，vk}，{vk，vk+1，…，vj}对应的最优值分别是m[i][k]，m[k+1][j]。...当i=j时，{vi-1，vi，…，vj}就变成了{vi-1，vi }是一条线段，不能形成一个三角形剖分，我们可以将其看作退化的多边形，其权值设置为0。 凸多边形三角剖分最优解递归式： ?
射线法可以适用于任意多边形，包括有洞（hole）的多边形，具体的推导过程就不贴了，感兴趣的话可以自己查一下相关资料。 射线法涉及以下三个问题： 如何获取多边形的各条边的端坐标？...），如下： [v1,v2,v3,v4,v5,v6] 前端拿到顶点数组后需要使用三角剖分算法将其切割成4个三角形，最后才给到 WebGL 绘制。...当然也不排除有的技术团队在数据制备阶段就进行了三角剖分，但这么干的比较少，因为剖分后数据量会增长很多，会带来额外的存储成本和网络通信耗时。 如果多边形的某条边是曲线怎么办？ 这是一个伪命题。...WebGL 中不存在曲线，任意图形都是通过点、线段、三角形三种图元组合而成，即便视觉上是一个曲线或圆弧，本质上也是一个个三角形，只不过通过算法处理让人眼看不出明显的折角。...把第一条规则转化成数学语言，用向量描述： 向量AC位于向量AB的逆时针方向； 向量AD位于向量AB的顺时针方向； 向量BC位于向量BA的顺时针方向； 向量BD位于向量BA的逆时针方向。
该图的核心算法就是 Delaunay三角剖分. 这种低多边形的成像效果在现代游戏设计中越来越被喜欢，其中的低多边形都是由三角形组成的。于是我们来学习一下....【定义】三角剖分：假设V是 上的有限点集，称 V 的完全图的子图 T=(V,E) 是 V 的一个三角剖分，如果T是一个可平面图，而且满足 T 中的所有面都是三角面，且所有三角面的合集恰好是V的凸包 ps...所以Delaunay三角剖分其实并不是一种算法，它只是给出了一个好的三角剖分的定义 为了方便，除非特别声明，否则下文提及的三角剖分指的就是 Delaunay三角剖分 三角剖分和其他问题的联系....然后进一步就得到了 Voronoi图 的一个多边形. 最后，我们来研究一下 三角剖分 的具体算法. 因为前面说了，三角剖分 并不是一个实际的算法，而仅仅是一个较美的三角剖分的定义而已....最后把含有超级三角形的顶点的三角形全部删除，就得到这四个点的三角剖分 如果用一张简短的图表示上述算法中加入一个新的点的核心过程的话，那就是 但是有一个特例就是如果参与构建三角剖分的如果仅仅是三个点的话，
拆分为三角形的过程被称为三角剖分，常用的三角剖分算法是耳切法（Ear Clipping），比较成熟的方案是Mapbox的earcut，对于有 公式 个顶点的多边形，其时间复杂度为 公式 ，值得注意的是，...三角剖分的解可能是不唯一的，任何一种剖分方式都能够渲染得到面，但细小的三角形更容易使面中的同一像素绘制多次，造成过度绘制(Overdraw)，因此根据多边形特征做一些剖分次序的调整可以作为一个优化点。...通过全链路的排查，才查出是多边形数据的问题。 三角剖分在使用时有一个前置条件：使用对象必须为简单多边形，即多边形中的任何两条边仅可以在顶点处相交。...从下图四个顶点构成的非简单多边形的三角剖分结果可以看到，多边形渲染时会丢失顶点并且产生错误的三角形，无法还原数据真实情况。...2、根据多边形计算外接矩形，减少细节 3、根据三角剖分结果剔除多余顶点，重新生成简单多边形 以上三个方案对于多边形的细节保留由少到多，但并不是完全还原真实数据。
），然后将平面多边形进行三角剖分, 然后平面多边形的面积就等于剖分出来的三角形的面积之和. ?...三维多面体的体积和重心 有了前面多边形的面积和重心的学习，我们立刻知道了，要考虑三维多面体的体积（确切讲，是有向体积）和重心，同样是三角剖分，当然，既然到了三维空间，所谓的三角 指的就是四面体，而非三角形了...受平面多边形的三角剖分启发，可以选定空间中任意一点 O 作为所有四面体的一个顶点——当然，你可以选择 O 为坐标原点，这样的好处是 4 阶行列式蜕化为 3 阶的行列式....但是这样的话，剖分出来的是底面为平面多边形（可能不是三角形）的多棱锥. 例如下图是五棱锥 O-ABCDE ? 所以要进一步将平面多边形（上图中的 ABCDE） 做三角剖分....上面的图是针对 n = 3 画的, 第一次剖分其实就是选择了 O（坐标原点），第二次剖分其实就是选择了每个多棱锥的底面上的一个顶点，例如 P10、P20、P30、P40， 这里假定该三维多面体有四个面
三角形和三角剖分 在图形学中三角形的重要性已经没有必要去描述了。它的质性简单，可以让显卡的插值器更加简单高效的工作。...我们管这个过程叫三角剖分，可见三角剖分是联系复杂多边形和三角形之间的桥梁。 复杂的多边形 如何定义多边形？在计算几何里面也是一个比较麻烦的问题，常见的多边形可以是下图这样的。...对上面这个多边形进行硬件加速渲染，就需要对它进行三角剖分，如下图红色虚线构成的三角形网格。 这里有一个问题，类似于圆这样的“多边形”应该如何处理？...时至今日三角剖分算法已经是计算机图形学中一个成熟的话题了。常见的三角剖分算法比如 “Monotone”、“EarCut” 等等。...其中 Mapbox（一家专注以地图渲染的公司）就开源了一个袖珍精巧的基于“Earcut”的剖分算法。还有一些剖分算法对生成的三角形的形状具有有一定的约束，比如“符合德劳内的三角剖分算法”。
Build.cs中增加模块 // Fill out your copyright notice in the Description page of Proj...
相似三角形剖分 Wolfram语言第12版引入了几何问题求解器。...(rho)的组合构建了整个三角形，将它放在代数域 ? 。称其为 ? 剖分。标签为n的边长为 ? 。 ? 在笔记本的初始化部分，SqrtRho被定义为由根、用根表示的顶点、子三角形和符号组成的列表。...将多边形分解为相似三角形： ? 这个解可以被扩展为九个相似三角形。 ? 这些三角形用 ? 构建；被称为 ? 剖分。边长为 ? ，其中 ? 是边的标签。 ? 黄金和超黄金比例 与 ? 和 ?...通过将面积为2的等腰直角三角形剖分成越来越小的相似三角形可以证明第一个级数。或者使用此处所示的相似三角形无限剖分。 ? ? 的无穷级数也可以用相似三角形的无穷集合来说明。 ? ?...重复剖分；为了减少混沌，具有相同方向的三角形颜色相同。这是18步后的剖分。 ?
项目介绍 项目Github地址：https://github.com/CGAL/cgal CGAL（Computational Geometry Algorithms Library）是一个开源的计算几何算法库...它是一个功能强大、可靠、高效且易于使用的库。...2.2D 和 3D 三角剖分：CGAL 实现了多种高质量的、高效的三角剖分算法。它支持 Delaunay 三角剖分、Voronoi 图计算、网格重构、约束三角剖分等操作。...5.多边形和非封闭曲线处理：CGAL 支持进行多边形布尔运算、多边形修复、多边形拟合、轮廓计算等操作。它还提供了对非封闭曲线的操作和处理。...); min_y = std::min(min_y, p.y()); max_y = std::max(max_y, p.y()); } // 在终端用ASCII
维诺图有如下特点： 每个V多边形内有一个生成元； 每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离； 多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等； 邻接图形的 Voronoi 多边形界线以原邻接界线作为子集...生成 V 图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。 2.1 方法和步骤 本次实验采用的是 Delaunay 三角剖分算法。...（7）具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。 Delaunay 剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。...本次采用 Bowyer-Watson 算法，算法的基本步骤是： 构造一个超级三角形，包含所有散点，放入三角形链表。...关键步骤 2 如下图所示： 步骤 3 的局部优化的准则指的是： 对新形成的三角形进行优化，将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。 以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。
2.Voronoi图的特点 （1）每个V多边形内有一个生成元； （2）每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离； （3）多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等； （4）邻接图形的...生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。 1.建立Voronoi图方法和步骤 本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。...（7）具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。 Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。...本次采用Bowyer-Watson算法，算法的基本步骤是： （1）构造一个超级三角形，包含所有散点，放入三角形链表。...关键步骤2如下图所示： image.png 步骤3的局部优化的准则指的是： 1.对新形成的三角形进行优化，将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。
那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件： 1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。 2.没有相交边。...定义3：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分 Voronoi图和Delaunay三角剖分的对偶关系：Voronoi图的一个顶点同时属于三个Voronoi...多边形，每个Voronoi多边形内有且仅有一个节点（种子点）。...连接三个共点的Voronoi多边形分别对应的三个节点（种子点）则形成一个Delaunay三角形，所有这样的三角形的集合就是著名的Delaunay三角剖分如右图所示。 ?...Delaunay三角剖分定义 目录 五.
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