泊松分布简介泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在给定时间间隔内随机事件发生的次数。它常用于模拟诸如客户到达商店、电话呼叫接入中心等事件。...参数泊松分布用一个参数来定义：λ：事件发生的平均速率，表示在单位时间内事件发生的平均次数。...公式泊松分布的概率质量函数 (PMF) 给出了在指定时间间隔内发生 k 次事件的概率，计算公式为：P(k) = e^(-λ) (λ^k) / k!其中：e^(-λ)：表示没有事件发生的概率。...模拟顾客到达商店的次数并绘制分布图。比较不同平均速率下泊松分布形状的变化。利用泊松分布来模拟一个呼叫中心每天接到的电话呼叫数量，并计算平均呼叫量和每天接听超过 30 个电话的概率。...模拟顾客到达商店的次数并绘制分布图data = np.random.poisson(lam=10, size=1000)sns.distplot(data)plt.show()# 2.
其中， x 是随机变量的取值， \lambda 是平均发生率（即单位时间或单位空间范围内事件的平均发生次数）。这个公式描述了在给定时间或空间范围内，发生 x 次事件的概率。...你观察了30个晚上，并记录了每个晚上进入电梯的人数。 现在，我们将使用泊松分布来描述这个案例。假设平均每天晚上进入电梯的人数为5人。...以下是一些泊松分布的应用场景： 电话呼叫中心：泊松分布可以用于建模电话呼叫中心中呼叫的到达率和服务员工的处理能力，以评估等待时间和服务质量。...网络流量分析：泊松分布可以用于描述网络流量中数据包到达的分布，从而帮助网络管理和流量控制。 金融风险管理：泊松分布可以用于模型化金融市场中的事件发生次数，例如交易执行时间、违约事件等。...总结：泊松分布是概率论和统计学中常用的离散概率分布，用于**描述随机事件在一定时间或空间范围内发生的次数。**它由法国数学家泊松首次引入，并以他的名字命名。
回想一下，二项式分布是精算科学中的标准分布，例如，用来模拟 被保险人死亡人数 。...启发式方法是，如果考虑大量观察值，并且计算给定（小）区域中有多少观察值，则此类观察值的数量就是泊松分布。...然后，可以使用泊松分布对到达该上层的索赔的数量进行建模。...因此，超出模型（针对罕见事件）与泊松过程密切相关。 泊松过程 如上所述，当事件以某种方式随机且独立地随时间发生时，就会出现泊松分布。然后很自然地研究两次事件之间的时间（或在保险范围内两次索赔）。...他确实获得了以下分布（此处，泊松分布的参数为0.61，即每年的平均死亡人数） 在很多情况下，泊松分布都非常适合。
p=25880 最近我们被客户要求撰写关于泊松过程的研究报告，包括一些图形和统计输出。 本文描述了一个模型，该模型解释了交易的聚集到达，并展示了如何将其应用于比特币交易数据。这是很有趣的，原因很多。...描述事件计数到达的最基本方法，例如上面的时间序列，是泊松过程 ，有一个参数λ。在泊松过程中，每单位时间的预期事件数由一个参数定义。这种方法被广泛使用，因为它非常适合大量数据，例如呼叫中心的电话到达。...霍克斯过程(Hawkes Processes)霍克斯过程对随时间变化的强度或过程的事件发生率进行建模，这部分取决于过程的历史。另一方面，简单的泊松过程没有考虑事件的历史。...仍然是低效的，特别是对于高频交易目的。结论在本文中，我展示了霍克斯过程是解释 交易的聚集到达的一个很好的模型。我展示了如何在给定交易时间戳的情况下估计和评估模型，并强调了一些与估计有关的问题。...----本文摘选 《 R语言和Python用泊松过程扩展：霍克斯过程Hawkes Processes分析比特币交易数据订单到达自激过程时间序列 》 ，点击“阅读原文”获取全文完整资料。
一个关于泊松过程的例子 让我们从下面这个数据样本开启我们的探索之旅吧。这是一个泊松过程的模拟，它模拟了一家医院急诊室每小时患者到达人数的情况。...图：对医院急诊室到达的病人数量的泊松过程模拟（图片来源：作者） 在这个样本中，随机变量（我们称其为y）表示每小时的患者到达人数。由于y是一个离散随机变量，它肯定遵循某个概率质量函数（PMF）。...像这样的整数型事件数据通常可以很好地被泊松分布所表示，如下所示： 图：描述随机变量y的泊松分布的概率质量函数（图片来源：作者） 现在，让我们先后退一步，想想以下两点： 首先，我们不知道（也永远不会知道...泊松分布的变量通常是整数值（也就是离散的），但我们将用平滑的曲线来表示它。...那么，我们不禁要问一个问题：给定不同的速率λ，在某个单位时间的间隔内观察到10次事件的概率是多少? 这个问题背后暗含着似然函数的概念。 下面的图展示了f(y;λ)关于λ变化的情况.
Problem 2: 考虑排队论中的 模型，也即顾客到达服从一个速率为 的泊松过程，而服务时间服从一个速率为 的泊松过程，二者相互独立。...一共有 个服务器，那么在这个场景下，刻画整个系统中的人数，其对应的转移速率为 ， 。 如果到达的速率服从泊松过程的话， 其实就是Problem 1的复用，没有太多需要强调的地方。...最后总结一下，因为我们相当于把一条连续时间马尔科夫链给建模成了一条泊松过程，所以一切之前与泊松过程有关的性质，结论，都可以应用到这里的连续时间马尔科夫链上。...服务时间服从一个速率为 的泊松分布。刻画这个系统的平稳分布。 事实上有了连续时间马尔科夫链的工具，我们可以用它来解决一些排队论的问题，因为它也可以被理解为是一种泊松过程。...Problem 6: 考虑一个理发店排队论模型 ，理发店理发服从一个速率为 的泊松过程（平均每一个小时完成3个人），顾客到达服从一个速率为 的泊松过程。
这看起来非常像指数分布，而且并非偶然：我们将公交车的到达时间模拟为均匀随机数，这非常接近于泊松过程，对于这样的过程，可以证明到达之间的间隔分布是呈指数分布的。...通过再次检查这个推断，我们可以确认它与泊松过程的另一个属性的相匹配：在固定时间范围内到达公交的数量将是泊松分布的。...同样的原理，你已经等待了多久并不重要：下一辆公交预计的到达时间总是10分钟：对泊松过程来说，你花费在等待的时间没用。...实际的等待时间 如果通过泊松过程确实描述了真实世界的公交到达时间，上述分析是正确的，但事实真的如此吗？ ?...回想起来，这也并不令人惊讶：泊松过程是一个无记忆过程，它假设到达的概率完全独立于自上次到达的时间。
这看起来非常像指数分布，而且并非偶然：我们将公交车的到达时间模拟为均匀随机数，这非常接近于泊松过程，对于这样的过程，可以证明到达之间的间隔分布是呈指数分布的。...通过再次检查这个推断，我们可以确认它与泊松过程的另一个属性的相匹配：在固定时间范围内到达公交的数量将是泊松分布的。...：对于大N，柏松过程可以很好地描述我们模拟的公交到达时间，其到达间隔是指数分布的。...实际的等待时间 如果通过泊松过程确实描述了真实世界的公交到达时间，上述分析是正确的，但事实真的如此吗？...回想起来，这也并不令人惊讶：泊松过程是一个无记忆过程，它假设到达的概率完全独立于自上次到达的时间。
现在，呼叫中心一天的呼叫总数可以用泊松分布来建模。这里有一些例子： 医院在一天内录制的紧急电话的数量。 某个地区在一天内报告的失窃的数量。 在一小时内抵达沙龙的客户人数。 在特定城市上报的自杀人数。...书中每一页打印错误的数量。 泊松分布适用于在随机时间和空间上发生事件的情况，其中，我们只关注事件发生的次数。 当以下假设有效时，则称为泊松分布： 任何一个成功的事件都不应该影响另一个成功的事件。...在短时间内成功的概率必须等于在更长的间内成功的概率。 时间间隔变小时，在给间隔时间内成功的概率趋向于零。 泊松分布中使用了这些符号： λ是事件发生的速率 t是时间间隔的长 X是该时间间隔内的事件数。...在这里，指数分布模拟了呼叫之间的时间间隔。 其他类似的例子有： 地铁到达时间间隔 到达加油站的时间 空调的寿命 指数分布广泛用于生存分析。...正态分布也是参数λ → ∞的泊松分布的极限情况。 指数和泊松分布之间的关系 如果随机事件之间的时间遵循速率为λ的指数分布，则时间长度t内的事件总数遵循具有参数λt的泊松分布。
现在，呼叫中心一天的呼叫总数可以用泊松分布来建模。这里有一些例子： 1. 医院在一天内录制的紧急电话的数量。 2. 某个地区在一天内报告的失窃的数量。 3. 在一小时内抵达沙龙的客户人数。 4....在特定城市上报的自杀人数。 5. 书中每一页打印错误的数量。 泊松分布适用于在随机时间和空间上发生事件的情况，其中，我们只关注事件发生的次数。 当以下假设有效时，则称为**泊松分布** 1....泊松分布中使用了这些符号： λ是事件发生的速率 t是时间间隔的长 X是该时间间隔内的事件数。 其中，X称为泊松随机变量，X的概率分布称为泊松分布。 令μ表示长度为t的间隔中的平均事件数。...不同呼叫之间的时间间隔是多少呢？在这里，指数分布模拟了呼叫之间的时间间隔。 其他类似的例子有： 1. 地铁到达时间间隔 2. 到达加油站的时间 3. 空调的寿命 指数分布广泛用于生存分析。...正态分布也是参数λ → ∞的泊松分布的极限情况。 指数和泊松分布之间的关系 如果随机事件之间的时间遵循速率为λ的指数分布，则时间长度t内的事件总数遵循具有参数λt的泊松分布。
通过自然中立的拟合从2010年以来所有参加比赛的球队的数据获得预测2018年世界杯的模型。基于单场比赛的估计模型，利用蒙特卡罗模拟计算了2018年世界杯各球队到达不同阶段的概率。...独立泊松回归模型 在这个模型中我们假设G_A和G_B分别是参数为λ_A|B和λ_B|A的独立泊松分布变量。我们通过A和B的ELO分数进行泊松回归来估计λ_A|B和λ_B|A。...那么A和B之间的比赛就通过两个泊松随机变量G_A和G_B进行模拟。...具有对角膨胀的二维泊松回归 我们以概率p膨胀对角线元素，膨胀通过向量（θ0，θ1，θ2）给定来描述比赛结果0：0，1：1，2：2的概率，我们比较了前5支队伍的对角膨胀模型和非对角膨胀模型的AIC值，如下表所示...这意味着巴西队有20.30%的概率赢得世界杯，30.30%的概率到达决赛，40.30%的概率到达半决赛。
工作以后才发现，JAVA中的很多设计理念都跟统计学有关系滴。比起高等数学，统计概念其实容易理解多了。 ? 一、泊松分布 日常生活中，大量事件是有固定频率的。...所以，对于像时间这样的连续型数据，你更关心的是一个特定范围的概率是多少。 ? 什么是泊松分布？ 试想一下，你现在就站在一个人流密集的马路旁，打算收集闯红灯的人群情况（？）。...持续记录下去，你就可以得到一个模型，这便是“泊松分布”的原型。...除此以外，现实生活中还有很多情况是服从泊松分布的： 10分钟内从ATM中取钱的人数一天中发生车祸的次数每100万人中患癌症的人数单位面积土地内昆虫的数目…… Poisson模型(泊松回归模型)是用于描述单位时间...一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。 请注意是"独立事件"，泊松分布和指数分布的前提是，事件之间不能有关联，否则就不能运用上面的公式。
但这里要用到的技巧其实上一节就提过了，就是对于泊松到达时间而言，无论从哪里开始，经过的等待时间都是服从 的。用一张图解释如下。 ? 这也是随机过程一个比较难理解的地方。...Theorem 2: 在同一个时间点，一个泊松到达的人看到的前面的队列的性质，和一个“上帝视角”看这个队列的性质，是一致的。 乍一看估计一俩懵逼。...一个好的描述它的数学式子就是 ，我们考虑在时间 来了一个人，并且加入了排队，那么注意到，因为“泊松到达”的性质，所以 和 区间上的队列性质是无关的（ 自然是可以任意小的）。...换句话说，你在任何一个时间去看，只要是泊松到达，那么无论这个人是属于队列的，还是不属于队列的，所观察到的队列性质都是一模一样的。...因为我们取 ，并且画出另外一条全新的泊松过程，并设 ，那么上面的泊松过程和下面的泊松过程，其实在对应的我们选择的时间过后，是一模一样的。
我们看一个马同学给的例子，假如你开了个馒头店，每天营业时间是早上12点到下午6点，是的你就是这么仁慈，员工得休息好才能好好上班。然后你统计了一周的顾客数量，发现每天来的人顾客数量不一样。...所以你想知道每天顾客数量是100的概率（也可以是200,400等）。要计算这个就需要用到泊松分布。...所以这也就解释了前面我们说泊松分布可以简单地是伯努利（或二项）分布的在时间段是极限小的情况。...因为我们说抛硬币的时候通常是不考虑时间的，即基本上不会说我们每分钟或者每秒抛一次硬币，而泊松分布是将时间划分成若干个时间段，而这个时间段的大小视情况而定。...图片指数分布指数分布是从泊松分布推断出来，泊松分布考虑的是在单位时间内顾客数量平均为$\lambda$的情况下，单位时间内来k个顾客的概率。
在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间...（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。...因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。...如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。...一个期望间隔序列必须能够在请求的大小上广播。
这个证明看上去很容易，不过我们还是希望介绍另一种证明，因为这可以帮助我们更好的理解泊松过程中，到达相距时间 的相关分析。 可以看下面这张图。 ?...以两条泊松过程为例，在把这两条泊松过程加在一起之后，从某一个到达点 到下一个到达点中间距离的时间，其实可以写为 。而这个事实上相当于，在知道 ， 的时候，问 所服从的分布。...大致可以解释为，在规定了泊松过程的一些条件之后，泊松过程内部的到达时间服从的分布近似于均匀分布。具体来说，设 为泊松过程的到达时间，设 服从均匀分布 ，且两两独立。...对于第一个题，我们注意到，相当于知道了之前时间的情况，问之后的泊松过程的期望。因此可以考虑做一个变换，得到 这是因为两个泊松过程的差依然服从一个泊松分布。...更新过程 更新过程（Renewal Process）是泊松过程的一个推广。在泊松过程中，我们假设了相邻两个到达之间相距的时间服从指数分布 ，那么去掉这个假设，得到的就是一个更新过程。
这里对应第5节（随机过程（5）——无限状态马尔科夫链的进一步探讨，泊松分布引入，复合泊松分布）对无限状态马尔科夫链的一个讨论。...在进入泊松过程之前，强调一句，传统的离出分布和离出时间的计算题，已经在正文给出了，所以这里我们就没有再多提。 泊松过程 Problem 7: 考虑一个列车经过的问题。...假如说两辆列车经过的间隔时间 服从 ，并且旅客到达车站的数目服从一个速率为 的泊松过程，设 表示每一辆车可以登上的人数，计算它的均值和方差。...Problem 8: 考虑一个速率为 的泊松过程，设 为 内最后一次到达的时间，计算 我们设 ，那么这个问题的关键是， 的“最后一次到达”，究竟是第几次？...不过其实我们的目的还是希望通过第二个题，来看一看不同的思考的视角。 考虑一个交替泊松过程，意思是红蓝两点交替，形成一个速率为 的泊松过程，具体可以看下面这张图。 ? 那么生存时间由什么决定呢？
如果考虑大量观察值，并且计算给定（小）区域中有多少观察值，则此类观察值的数量就是泊松分布。...如果我们进行一些模拟 > n=1000 > ns=100000 > N=rep(NA,ns) > + + + + + > > mean(N) [1] 31.41257 泊松分布的参数是黄色圆盘的面积...泊松过程 如上所述，当事件以某种方式随机且独立地随时间发生时，就会出现泊松分布。然后很自然地研究两次事件之间的时间（或在保险范围内两次索赔）。...1898年，他研究了1875年至1894年间被马踢倒杀死的士兵的人数，其中有200个兵团。 他确实获得了以下分布（此处，泊松分布的参数为0.61，即每年的平均死亡人数） ?...在n年内观察到的事件数量具有二项式分布。那么，没有灾难的概率为0.632。 稀有概率与泊松分布 计算稀有事件的概率时，泊松分布不断出现。例如，在50年的时间里，至少有一次在核电厂发生事故的可能性。
上一节笔记：随机过程（9）——连续时间马尔科夫链的泊松过程描述，爆炸现象，离散马尔科夫链对比 ———————————————————————————————————— 大家好！...随机过程（5）——无限状态马尔科夫链的进一步探讨，泊松分布引入，复合泊松分布 对于这个题，为什么说做法略有不同呢？不妨先列出公式看看，设 ，那么 ，并且我们有 有没有发现什么问题？...这个trick在概率论中，求解泊松分布的期望，方差的时候有使用。如果对此感到陌生，说明需要复习概率论了。 密度函数有了，期望，也就是“平均队列等待时间”就好求了。...要说明它是一个泊松过程，就要说明等待时间服从一个指数分布。这个需要分情况讨论。因为队列如果有人排队，和没人排队，等待的时间是不同的。注意到如果队列有人排队（繁忙），那么需要等待的时间是 ，其中 。...但是 其实相当于是在时间点 用户离开的过程（ ），所以可以看出， 和 对应的时间是不交叉的，因此根据泊松过程的性质就可以得到独立性。
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