（也就是说图分为有向和无向） 下面我们通过一些图来了解一些相关的名词 在介绍相关名词之前，大家有没有发现G2和我们的二叉树是一样的？那么图和二叉树究竟有什么关系呢？？ ...注意：无向边(x, y)等于有向边和 完全图（即每一个顶点都和其他顶点有边）：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图...，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。...连通图（无向图）：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。...强连通图（有向图）：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图 生成树（无向图）：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。
图的概念和存储结构 随着学习的深入，我们的知识也在不断的扩展丰富。树结构有没有让大家蒙圈呢？相信我，学完图以后你就会觉得二叉树简直是简单得没法说了。其实我们说所的树，也是图的一种特殊形式。...在 无向图 中，连通分量就等于极大连通子图，在这个图中，我们有两个连通分量。...(10) 极大连通子图：连通子图所能含有的最大结点数，如果再增加一个结点那么这个子图就不是连通图了 (11) 生成树：一个极小连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一颗树的 n-1 条边，这样的连通子图就是连通图的生成树...在连通分量的图中，我们就根据两个连通分量生成了两个最小生成树。它们的 连通分量1 的生成树的结点并不一定非要是这种结构，我们可以让 结点4 在 结点2 下，这取决于我们如何遍历来生成这颗最小生成树。...(12)生成森林：在非连通图中，每一个连通分量都可以生成一个连通生成树，这样就构成了整个非连通图的生成森林 是不是看完之后晕头转向了？
4.在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。 5.在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。 二 1.无向图中的极大连通子图称为连通分量。...有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。 3.一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n各顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。...具体办法是设置一个访问数组visited[n]，n是图中顶点的个数，初值为0，访问过后设置为1. 3.图的遍历：深度优先遍历和广度优先遍历。...比较：深度优先遍历更适合目标比较明确，以找到目标为主要目的的情况，而广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况。 六（最小生成树） 我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调： 要是子图； 子图要是连通的； 连通子图含有极大顶点数； 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。...图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。 无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。...邻接表的处理办法： 1.图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。
从图中将树转化成数组之后可以看出，完全二叉树用数组来存储只浪费了一个下标为0的存储空间，二非完全二叉树则浪费了大量的空间。...比如图中的删除节点 51。 第二种情况：如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。...比如图中的删除节点 35。 第三种情况：如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。...然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。...比如图中的删除节点 88 前面两种情况稍微简单一些，第三种情况，我制作了一张动态图，希望能对你有所帮助。 ?
或者我们直接使用AVL平衡二叉树，最小元素就是最左侧的子节点，很容易找到，但是在入队和出队的过程中，涉及到了节点的增加和删除，那么就要进行树的旋转而维持树的平衡，这额外花费了很多开销。...我们看下图中的两个例子：左图中，J节点并没有按照从左到右依次排列，所以不是完全二叉树，而右图中，满足完全二叉树的特点，是一棵完全二叉树。二叉堆有连个性质，一个是结构性质，一个是堆序性质。...接下来我们再看看堆序性质，由于我们快速的找到最小元素，那么最小元素我们要放到根节点上。同理，我们考虑到任意子树也是一个二叉堆，那么子树中的最小元素应当在子树的根节点。...我们再看下面两个例子：左图中节点6的父节点是21，小于6，不满足堆序性质，所以左图不是二叉堆。右图满足堆序性质，是二叉堆。...我们先将最小的子树，通过下滤方法变成二叉堆，最小的子树的节点就是树中倒数第二层的节点，倒数第二层的节点中，有的节点有子节点，有的节点没有子节点，没有子节点的不用下滤，那么怎么找到有子节点的节点呢？
作者 | 陌无崖 转载请联系授权 导语 昨天分享了寻找最小k个数的算法是，那么有没有更为迅速的方法呢？今天就来分享关于如何使用最大堆进行解决。...思路设计 知道了如上定义，我们就可以将容量为K的最大堆存储我们的最小k个数，因此我们仍然可以按照之前的方法假设堆中存储的仍然是最小的k个数（不懂的可以看我的上一篇文章），再通过比较替换或不替换堆来最终找到我们的最小的...因此我们需要建堆，通过以上的分析我们可以用一维数组存储我们的堆,我们先来看一个完全二叉树找一下规律 我们将1，2，3，4，5分别作为下标，在上个图片的思路中，我们可以发现每次我们的遍历刚开始指向的是一个由子节点的父节点...，在下图中可知子节点(i)和父节点(l)之间的关系是2 * i + 1 = l，且在同一深度相邻节点相差为1，由上图可知，我们在遍历父节点比较时，依次会经过5，4，3，2，1，0这些下标指向的数值。...代码分析 (1) 循环每一个父节点 (2) 在子节点中找到最大值和父节点比较，若子节点大，则替换 (3) 每次提换后需要记录新的父节点，重新和子节点比较，替换，如下标为2和5的进行替换后，还要保证下标
这也意味着，在视图中，依赖了b的节点，实际上也会被a的更新所触发重新渲染。 这里就会有一个问题，假如这种依赖关系比较复杂，那么，这个更新的机制应该怎么处理呢？...但是，在我们的代码中，虽然声明了这些变量，但是我们真正在视图中，可能并没有全部用到，我们可能只用到了bcdfg这几个，可以发现，我们实际的依赖图比这个“全依赖图”要小，但是，虽然我们只依赖了bcdfg，...省略其他依赖关系梳理 可以看到在angualrjs中我们没有办法直接表达依赖关系，只能通过$watch来在某个值发生变化时，做一个计算，从而使另外一个值发生变化。...这里的表述是错误的，在分批的这种思想下，根本不是“b变化”引起的“再计算c”这个过程，而是无论b有没有变化，都会再计算c，分批计算的核心就在于，每一个变量都需要重新计算。...首先，我们将最小依赖图进行拆解，变成这样： 把依赖图中的每一条依赖线平铺出来。一共7条线对吧。其中左边是被依赖的变量，右边是依赖了别的变量的变量。现在，我们就是要算出批次对吧。
就是节点的连接是有方向性的; 上图的G2就是一个无向图,各个节点之间连接的边是没有箭头的; 而G1是一个有向图,G1的各个节点之间连接的边是有箭头的,那就是方向; 1.2.2完全图和非完全图 什么完全图呢...,一般是长度,也叫权值; 网:边有权值的图叫网; 子图:从原图中抽出至少一条边或者一个顶点以及该顶点有关的边的图就是子图;子图要满足的条件是定点与原图的顶点数量一样,但是边的数量要小于原图的边的数量;...图(b)抽掉了V0-V3,V1-V2, 1.3.4连通分量->生成树 连通分量:是原图的连通子图, 极大连通分量:在该连通子图中,在加上任意一条边或一个顶点,都不再联通; 上图中,(V0,V1,V2...,V3)所组成的联通子图和(V4,V5)组成联通子图都是极大联通子图; 下面是有向图的联通分量; 同理极小联通子图就是本身是联通的,但是再删除任意一条边和定点就不联通了,通常极小联通子图中,两个顶点之间只有一条边...;(正因如此,才可以转化为二叉树) 最小生成树:就是权值之和最小的生成树;后序会提到求最小生成树的两种算法:克鲁斯卡尔(kruskal)和普利姆(Prim)算法; 二,图的存储结构 2.1邻接矩阵法
导出子图的性质是，如果一条原来的边在导出子图中，那么这条边对应的顶点也一定在导出子图中；且反过来也成立，即两相邻点在导出子图中，那么这个对应的edge也在导出子图里。...在连通无向图中，每两个点都有simple path。在一个不完全连通的无向图中，connected component指极大的连通子图，这可以有多个。...在当前已确认的顶点中要找到下一个最小权值的顶点，将这个顶点拿到已确认的集合里，然后将已确认顶点集合到未确认部分的所有距离都按最小（由最开始的顶点出发得到的距离里的最小值）来更新一遍，直到走完整个图。...解法比较直观，即找到权值最小的边的两个顶点出发，每一步都是贪心取最小权值直到走完这个图并且回到顶点。将这两个顶点的路径对比，权值较小的那一个就是权值和最小的哈密顿回路。...关于图的着色多项式还有一个定理：在图中任选一边e，原图的着色多项式 = 将这条边去掉的子图的着色多项式 - 将这条边两个端点合并成一个端点的子图的着色多项式。 ---- 下面介绍最大流算法。
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。 子图：若图G=（V，E），G’=（V’，E’），如果V’⊆V 且E’ ⊆ E ，则称图G’是G的子图。...连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。...生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。 生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。...应用举例——最小生成树 生成树的代价：设G=（V，E）是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。 最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。
再完备的定义，都没有图直观。所以我在图中画了几棵“树”。你来看看，这些“树”都有什么特征？...第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。...我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。...然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。...比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。...含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...如果对于图中任意两个顶点vi,vj属于E，vi和vj都是连通的，则称G是连通图（Connected Graph） 无向图中的极大连通子图称为连通分量，强调：要是子图；子图要是连通的；连通子图含有极大顶点数...有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量 一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边 如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为...与深度优先遍历在时间复杂度上是一样的 深度优先更适合目标比较明确 ，以找到目标为主要目的的情况，而广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况 D.最小生成树 1.把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树
简述直接选择排序 直接选择排序：每次在未排序序列中找到最小元素，和未排序序列的第一个元素交换位置，再在剩余未排序序列中重复该操作直到所有元素排序完毕。 排序算法不稳定。...简述最小生成树和其对应的算法 对于有 n 个结点的原图，生成原图的极小连通子图，其包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。...克鲁斯卡尔算法：先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使 SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1 条边为止。...n次循环至n个顶点全部遍历： 从权值数组中找到权值最小的，标记该边端点k 打印该路径及权值 如果存在经过顶点k到顶点i的边比v->i的权值小 更新权值数组及对应路径 简述堆 堆是一种完全二叉树形式，其可分为最大值堆和最小值堆...最大值堆：子节点均小于父节点，根节点是树中最大的节点。 最小值堆：子节点均大于父节点，根节点是树中最小的节点。 简述set Set是一种集合。集合中的对象不按特定的方式排序，并且没有重复对象。
那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图： ?...我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？...那么是不是就没有办法了呢？ 注意观察 ? 中每一个优化子目标 ? ,其中h是单位正交基， L为对称矩阵，此时 ? 的最大值为L的最大特征值，最小值是L的最小特征值。...在PCA中，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵L）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。...注意到RatioCut切图的指示向量使用的是 ? 标示样本归属，而Ncut切图使用了子图权重 ? 来标示指示向量h，定义如下: ? 那么我们对于 ? ,有： ? 推导方式和RatioCut完全一致。
（这里可能的顺序之一是：A, B, D, E, C, F, G, H, I, J, K） ---- 定义二：完全图、连通图、连通分量、生成树 在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图...目前讨论的都是简单图。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n* (n-1) 条边。...在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。 如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称G是连通图。 无向图中的极大连通子图称为连通分量。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图， 它含有图中全部的n 个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
稀疏图：|E|≈|V| 稠密图：|E|≈|V|² 完全图：对于一个有向或者无向图，任意两个节点之间都有边邻接（对于有向图需要两个方向 的边）。...如果该边的两个顶点已经在同一个连通分量中，则舍弃该边，以避免形成环路。 重复步骤2，直到最小生成树中包含图中的所有顶点为止。...通过这种方式，克鲁斯卡尔算法能够找到一个连通图的最小生成树，并且保证总权值最小。算法的关键在于选择边的过程中保证不会形成环路，以确保最终生成的树是连通的。...换句话说，对于一个给定的NP问题，如果我们有一个解，我们可以在多项式时间内验证这个解的正确性。然而，我们并不能在多项式时间内找到一个解。...这是因为NP问题通常是非确定性多项式时间可解的，意味着我们可以猜测一个解并在多项式时间内验证它，但没有一种确定性的算法能够在多项式时间内找到一个解。
nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。...动态规划系列三：最长上升子序列 3.1 最长上升子序列 题目：给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。...图13 运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。我们有没有什么办法可以压缩内存呢？...图15 动态规划系列五：最小路径和 在上节中，我们通过分析，顺利完成了“三角形最小路径和”的动态规划题解。在本节中，我们继续看一道相似题型，以求能完全掌握这种“路径和”的问题。...图19 同样，运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。有没有什么办法可以压缩内存呢？
简介 有向图：若E是有向边（也称为弧）的有限集合时，则称为G为有向图 无向图：若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图 完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称为该图为无向完全图...含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称为该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。...连通、连通图、连通分量：在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称为v和w是连通的。若图G中任意两个顶点都是连通的，则称为图G为连通图，否则称为非连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。 生成树、生成森林：连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。...图的应用 图的应用主要包括：最小生成（代价）树、最短路径、拓扑排序和关键路径。 最小生成树 一个连通图的生成树是图的极小连通子图，它包含图中的所有顶点，并且只含尽可能少的边。
Directed graph:所有的边都有一个方向来表示起始点和结束点的图 Undirected graph:具有没有方向的边的图 Weighted grap:图的边具有权值 Unweighted graph...用于解决只有一个解的谜题(如迷宫) 最短路径 ? 从一个顶点到另一个顶点的最短路径是图中应该移动的边的权值总和最小的路径。 图4显示了一个动画，其中确定了图中顶点1到顶点6的最短路径。...在最大流量问题中，我们必须找到一个能获得最大可能流量的流动路径。 图10显示了一个确定网络的最大流量和最终流量值的动画示例。...用于图像分割，在图像中找到背景和前景。 用来淘汰那些不能赢得足够的比赛来赶上当前分区的球队。 匹配 ? 图中的匹配是指一组没有共同顶点的边(也就是说，没有两条边共享一个共同顶点)。...如果一个匹配包含尽可能多的顶点匹配的边的最大数量，那么这个匹配被称为最大匹配。 图11显示了获得一个二分图的完全匹配的动画，该二分图有两组顶点，分别用橙色和蓝色表示。
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