有没有办法在一个完全图中找到最小完全子图？

在一个完全图中找到最小完全子图的问题是一个经典的图论问题，被称为最小完全子图问题（Minimum Complete Subgraph Problem）或者最小团问题（Minimum Clique Problem）。

最小完全子图是指在一个给定的完全图中，找到一个子图，使得子图中的每两个节点之间都存在一条边，并且该子图的节点数最小。

解决最小完全子图问题的方法有很多，其中一种常用的方法是使用图的枚举和剪枝算法。具体步骤如下：

枚举所有可能的子图，可以使用深度优先搜索（DFS）或者回溯算法来生成所有可能的子图。
对于每个生成的子图，判断是否满足完全子图的条件，即子图中的每两个节点之间都存在一条边。
如果满足完全子图的条件，记录下该子图的节点数，并更新最小节点数。
在枚举过程中，可以使用剪枝算法来减少不必要的搜索。例如，如果当前生成的子图的节点数已经大于最小节点数，则可以停止对该子图的进一步搜索。

最小完全子图问题在实际应用中具有广泛的应用场景，例如社交网络分析、生物信息学、图像处理等领域。

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在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调：要是子图；子图要是连通的；连通子图含有极大顶点数；具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。...图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。...邻接表的处理办法： 1.图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。

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再完备的定义，都没有图直观。所以我在图中画了几棵“树”。你来看看，这些“树”都有什么特征？...第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。...我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。...然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。...比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

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数据结构第六章图

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。子图：若图G=（V，E），G’=（V’，E’），如果V’⊆V 且E’ ⊆ E ，则称图G’是G的子图。...连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。...生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。...应用举例——最小生成树生成树的代价：设G=（V，E）是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。

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数据结构与算法-面试

简述直接选择排序直接选择排序：每次在未排序序列中找到最小元素，和未排序序列的第一个元素交换位置，再在剩余未排序序列中重复该操作直到所有元素排序完毕。排序算法不稳定。...简述最小生成树和其对应的算法对于有 n 个结点的原图，生成原图的极小连通子图，其包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。...克鲁斯卡尔算法：先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使 SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1 条边为止。...n次循环至n个顶点全部遍历：从权值数组中找到权值最小的，标记该边端点k 打印该路径及权值如果存在经过顶点k到顶点i的边比v->i的权值小更新权值数组及对应路径简述堆堆是一种完全二叉树形式，其可分为最大值堆和最小值堆...最大值堆：子节点均小于父节点，根节点是树中最大的节点。最小值堆：子节点均大于父节点，根节点是树中最小的节点。简述set Set是一种集合。集合中的对象不按特定的方式排序，并且没有重复对象。

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为实习准备的数据结构（11）-- 图论算法集锦

（这里可能的顺序之一是：A, B, D, E, C, F, G, H, I, J, K） ---- 定义二：完全图、连通图、连通分量、生成树在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图...目前讨论的都是简单图。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n* (n-1) 条边。...在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称G是连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n 个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

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听说比K-means厉害多了：谱聚类

那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图： ?...我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？...那么是不是就没有办法了呢？注意观察 ? 中每一个优化子目标 ? ,其中h是单位正交基， L为对称矩阵，此时 ? 的最大值为L的最大特征值，最小值是L的最小特征值。...在PCA中，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵L）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。...注意到RatioCut切图的指示向量使用的是 ? 标示样本归属，而Ncut切图使用了子图权重 ? 来标示指示向量h，定义如下: ? 那么我们对于 ? ,有： ? 推导方式和RatioCut完全一致。

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《算法设计与分析》学习笔记

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干货：图解算法——动态规划系列

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10种常用的图算法直观可视化解释

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