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估计参数的方法：最大似然估计、贝叶斯推断

一、最大似然估计 假设有3个数据点，产生这3个数据点的过程可以通过高斯分布表达。这三个点分别是9、9.5、11。我们如何计算高斯分布的参数μ 、σ的最大似然估计？...因为相同的单调性，它确保了概率的最大对数值出现在与原始概率函数相同的点上。因此，可以用更简单的对数似然来代替原来的似然。 对原表达式取对数，我们得到： ? 据对数定律，上式可以简化为： ?...对以上表达式求导以找到最大值。在这个例子中，我们将寻找均值μ的MLE。为此，我们求函数关于μ的偏导数： ? 最后，我们将等式的左半部分设为0，据μ整理等式得到： ? 这样我们就得到了μ的最大似然估计。...同理，我们可以求得σ的最大似然估计 为什么是最大似然，而不是最大概率？ 这只是统计学家在卖弄学问（不过他们的理由很充分）。大部分人倾向于混用概率和似然，但是统计学家和概率论学者区分了两者。...上面的等式意味着给定参数得到数据的概率等于给定数据得到参数的似然。然而，尽管两者相等，似然和概率根本上问的是不同的问题——一为数据，一为参数。这就是这一方法叫做最大似然而不是最大概率的原因。

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【案例】最大似然估计、最大后验估计以及贝叶斯参数估计的联系和区别

下一次投掷硬币正面朝上的概率是多少? 这是一个从数据中估计参数的基础机器学习问题。在这种情况下，我们要从数据 D 中估算出正面朝上 h 的概率。...最大似然估计 一种方法是找到能最大化观测数据的似然函数（即 P(D;h)）的参数 h 的值。...这是被称为「最大似然估计」的最常用的参数估计方法。通过该方法，我们估计出 h=1.0。 但是直觉告诉我们，这是不可能的。...这并非使用与后验概率 p(h|D) 模式相应的参数 h 的单一值来计算 P(x|h)，而是一个更加「严格」的方法，它让我们考虑到所有可能的 h 的后验值。这种方法被称为贝叶斯参数估计。...参数估计：从数据中估计某个概率分布的未知参数 贝叶斯参数估计将这两项任务构造成了「同一枚硬币的两面」： 估计在一组变量上定义的概率分布的参数，就是推断一个由原始变量和参数构成的元分布。

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    【数据挖掘】主题模型的参数估计-最大似然估计（MLE）、MAP及贝叶斯估计

    1、最大似然估计MLE 首先回顾一下贝叶斯公式 这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即 最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做...下面求似然函数的极值点，有 得到参数p的最大似然估计值为 可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。...2、最大后验估计MAP 最大后验估计与最大似然估计相似，不同点在于估计 的函数中允许加入一个先验 ，也就是说此时不是要求似然函数最大，而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大，即 注意这里P（...与最大似然估计相比，现在需要多加上一个先验分布概率的对数。在实际应用中，这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。...下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数 我们取 ,这样先验分布在0.5处取得最大值，现在我们来求解MAP估计函数的极值点，同样对p求导数我们有 得到参数p的的最大后验估计值为 和最大似然估计的结果对比可以发现结果中多了

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    机器学习——经典十大算法之EM算法

    从本质上来说EM算法是最大似然估计方法的进阶版，还记得最大似然估计吗，我们之前介绍贝叶斯模型的文章当中有提到过，来简单复习一下。...那么最大似然估计，其实就是指的是使得当前实验结果出现概率最大的参数。 也就是说我们通过实验结果和概率，找出最有可能导致这个结果的原因或者说参数，这个就叫做最大似然估计。...最后，我们对化简完的似然函数进行求导，令导数为0，找出极值点处参数的值，就是我们通过最大似然估计方法找到的最佳参数。...我们进一步抽象，可以把它主要总结成两个步骤，分别是E步骤和M步骤： 在E步骤当中，我们根据假设出来的参数值计算出未知变量的期望估计，应用在隐变量上 在M步骤当中，我们根据隐变量的估计值，再计算当前参数的极大似然估计...最后，不知道大家在看的时候有没有一种感觉，就是EM算法的思路好像之前在什么地方见到过？有种似曾相识的感觉？

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    R语言和Python用泊松过程扩展：霍克斯过程Hawkes Processes分析比特币交易数据订单到达自激过程时间序列|附代码数据

    然而，就我们的目的而言，这太简单了，因为我们需要一种方法来解释聚类和均值回归。霍克斯过程(Hawkes Processes)，是基本泊松过程的扩展，旨在解释这种聚类。...这可以用来评估交易活动中有多少是由反馈引起的。可以使用传统的最大似然估计和凸求解器来拟合模型的参数。...在文献[3]中，作者使用双变量霍克斯过程的买入和卖出强度比作为进行方向性交易的进入信号。改进Hawkes 过程的对数似然函数具有 O(N2) 的计算复杂度，因为它在交易历史中执行嵌套循环。...：广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法R语言极值理论EVT：基于GPD模型的火灾损失分布分析R语言有极值（EVT）依赖结构的马尔可夫链(MC)对洪水极值分析R语言POT超阈值模型和极值理论...EVT分析R语言混合正态分布极大似然估计和EM算法R语言多项式线性模型：最大似然估计二次曲线R语言Wald检验 vs 似然比检验R语言GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估计R语言非参数方法：使用核回归平滑估计和

    1.9K30

    AI人工智能逻辑回归的原理、优缺点、应用场景和实现方法

    假设有一个二分类问题，输入特征为$x\in R^n$，输出类别为$y\in{0,1}$，逻辑回归的模型可以表示为：$$h(x)=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}}$$其中$w\in R^n$是模型的权重参数...逻辑回归的模型参数可以通过最大似然估计或梯度下降等方法来学习。最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其目标是最大化训练数据的似然函数，使得模型能够更好地拟合训练数据。...优缺点逻辑回归作为一种简单而有效的分类算法，具有以下优缺点：优点：简单易懂：逻辑回归是一种基于线性模型的算法，易于理解和实现。计算效率高：逻辑回归的计算复杂度较低，可以快速处理大规模数据集。...模型训练：包括模型的初始化、参数估计、损失函数的最小化等训练过程，以学习模型的参数。模型评估：包括模型的准确率、精度、召回率等指标的计算，以评估模型的性能。...总结本文介绍了AI人工智能逻辑回归的原理、优缺点、应用场景和实现方法。逻辑回归作为一种简单而有效的分类算法，具有计算效率高、可解释性强、鲁棒性强等优点。

    2.8K00

    【荐读】VAE和Adam发明人博士论文：变分推理和深度学习（下载）

    我们演示了如何使用该方法来学习VAE，其对数似然性能与自回归模型相当，同时允许更快速的合成。 ?...)中执行有效的近似后验和最大似然估计？...在第 2 章和[Kingma and Welling, 2013]中，我们提出了一种基于重构参数的变分推理的有效算法，适用于解决大型模型的高维推理问题。 该方法使用模型w.r.t.的一阶梯度。...变分自动编码器（VAE）框架将基于神经网络的推理模型与基于神经网络的生成模型相结合，提供了一种简单的两种网络联合优化方法，即对参数对数似然度的约束给出数据。...两种常见的情况是（1）在 partially observed case 中，最大似然估计，例如深度潜变量模型（DLVM），和（2）贝叶斯后验推理参数。

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    【损失函数】常见的损失函数(loss function)总结

    表示预测的输出， ? 表示样本总数量。 特点： (1)本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。...的概率密度函数为： ? 因为我们只有一组采样数据 ? ，我们可以统计得到 ? 和 ? 的值，但是 ? 的概率是未知的，接下来我们就用极大似然估计的方法来估计这个 ? 值。...，其对数似然函数为: ? 可以看到上式和交叉熵函数的形式几乎相同，极大似然估计就是要求这个式子的最大值。...这个式子揭示了交叉熵函数与极大似然估计的联系，最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化。 现在我们可以用求导得到极大值点的方法来求其极大似然估计，首先将对数似然函数对 ?...在训练神经网络的时候我们使用梯度下降的方法来更新 ? 和 ? ，因此需要计算代价函数对 ? 和 ? 的导数： ? 然后更新参数 ? 和 ? ： ?

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    概率论--最大似然估计

    大纲 概念 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的统计方法，用于从样本数据中估计模型参数。...总之，最大似然估计是一种基础且广泛应用的参数估计技术，在统计学和机器学习中有重要地位。通过最大化观测数据出现的概率，MLE 提供了一种有效的参数估计方法....直接最大似然法：与期望最大化相比，直接最大似然在多变量正态分布下可以产生无偏的参数估计和标准误差，并且对偏差不敏感。因此，直接最大似然是一种有效的替代方法。...最大似然估计和贝叶斯估计各有优劣。最大似然估计适用于样本量大且模型简单的情况，而贝叶斯估计则更适合于有可靠先验知识且样本量有限的情况。...最大似然估计（MLE）是一种通过最大化似然函数来找到参数值的方法，广泛应用于统计模型和机器学习中。在实际应用中，为了求解最大似然估计问题，通常需要使用数值优化算法。

    1K10

    EM算法学习(一)

    EM算法是英文expectation-maximization算法的英文简写,翻译过来就是期望最大化算法,其实是一种根据求参的极大似然估计的一种迭代的优化策略,EM算法可以广泛估计是因为他可以从非完整的数据集中对于参数进行极大似然的估计...背景: 极大似然估计和贝叶斯统计其实是作为现在的统计领域中非常热门的领域了,其实来说他们的计算过程是有一定的相似成分的,比如极大似然函数估计在计算的方法上跟贝叶斯的后验概率的计算是非常相似的,学过统计学习的我们知道...,贝叶斯是分为两种的大类的,一种是拥有显式的后验分布,这样的一般用于简单的似然函数,另外一种是数据添加的算法,有些时候我们的数据可能会存在缺失或者是似然函数不是显性的,数据添加类在这时候就可以很好的应用...这时候就该轮到了EM算法添加数据了,直接求0的极大似然估计也是比较麻烦的,现在使用EM算法后迭代最后一个后验分布函数就简单多了,(在上面的计算过程中,最下边的那个符号,他表示的是符号两端的式子成比例,并且这个比例跟...如果在每次迭代中,都是通过求似然函数的极大似然估计,选择最大化的0(k+1)来代替0,这样就构成了EM算法,大部分时候极大似然函数都是有显式表达式,但是不是总是这样,所以有时候会有广义EM算法(GEM)

    92680

    深入浅出 极大似然估计 & 极大后验概率估计

    此时的函数也记作L(θ|x)或L(x;θ)或f(x;θ) 似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性(可能性)。...参数估计 参数估计（parameter estimation），统计推断的一种。根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程。...最大似然估计的求解步骤： 确定似然函数 将似然函数转换为对数似然函数 求对数似然函数的最大值（求导，解似然方程） 最大似然估计总是能精确地得到解吗？简单来说，不能。...基于贝叶斯估计和基于极大似然估计的朴素贝叶斯算法步骤基本上是一样的，区别在于有没有对概率做平滑。 4....作为贝叶斯估计的一种近似解，MAP有其存在的价值，因为贝叶斯估计中后验分布的计算往往是非常棘手的；而且，MAP并非简单地回到极大似然估计，它依然利用了来自先验的信息，这些信息无法从观测样本获得。

    2K51

    《deep learning》学习笔记（5）——机器学习基础

    但是对于相同的最优 w，这两个准则有着不同的值。这验证了MSE可以用于最大似然估计。正如我们将看到的，最大似然估计有几个理想的性质。...5.5.2 最大似然的性质 统计效率通常用于有参情况（parametric case）的研究中（例如线性回归）。有参情况中我们的目标是估计参数值（假设有可能确定真实参数），而不是函数值。...一种度量我们和真实参数相差多少的方法是计算均方误差的期望，即计算 m 个从数据生成分布中出来的训练样本上的估计参数和真实参数之间差值的平方。...有参均方误差估计随着 m 的增加而减少，当 m 较大时，Cramér-Rao 下界 (Rao, 1945; Cramér,1946) 表明不存在均方误差低于最大似然估计的一致估计。...5.6.1 最大后验 (MAP) 估计 最大后验 (MAP) 估计：让先验影响点估计的选择来利用贝叶斯方法的优点，而不是简单地回到最大似然估计。

    81230

    EM算法学习(一)

    EM算法是英文expectation-maximization算法的英文简写,翻译过来就是期望最大化算法,其实是一种根据求参的极大似然估计的一种迭代的优化策略,EM算法可以广泛估计是因为他可以从非完整的数据集中对于参数进行极大似然的估计...背景: 极大似然估计和贝叶斯统计其实是作为现在的统计领域中非常热门的领域了,其实来说他们的计算过程是有一定的相似成分的,比如极大似然函数估计在计算的方法上跟贝叶斯的后验概率的计算是非常相似的,学过统计学习的我们知道...,贝叶斯是分为两种的大类的,一种是拥有显式的后验分布,这样的一般用于简单的似然函数,另外一种是数据添加的算法,有些时候我们的数据可能会存在缺失或者是似然函数不是显性的,数据添加类在这时候就可以很好的应用...,直接求0的极大似然估计也是比较麻烦的,现在使用EM算法后迭代最后一个后验分布函数就简单多了,(在上面的计算过程中,最下边的那个符号,他表示的是符号两端的式子成比例,并且这个比例跟0无关,这个比例不会影响到...如果在每次迭代中,都是通过求似然函数的极大似然估计,选择最大化的0(k+1)来代替0,这样就构成了EM算法,大部分时候极大似然函数都是有显式表达式,但是不是总是这样,所以有时候会有广义EM算法(GEM)

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    机器学习基础——让你一文学会朴素贝叶斯模型

    其中概率求的是已经知道参数θ，事件x发生的概率。而似然侧重事件A发生时的参数θ。那么自然，似然估计函数就是通过概率分布估计参数的函数了。...最大似然估计也就好理解了，就是求事件A发生时，最有可能的参数θ的值。 举个很简单的例子，假设我们有一个不透明的黑箱，里面有若干个黑球和若干个白球。但我们不知道到底黑球有几个白球有几个。...这个时候就要用到似然函数了。 似然函数 我们把刚才黑白球的实验代入到上面的似然估计的公式当中去，实验最后得到的结果是确定的，是事件x。我们要求的，也就是黑球的比例是参数θ。...我们要做的就是根据这个函数计算出f(θ)最大时θ的取值。 这个计算过程就很简单了，我们对θ求导，然后令导数等于0，然后求出此时对应的θ的取值。最后的结果当然是θ=0.7时方程有最大值。...就不能直接得到了，就需要我们用统计的方法来计算。 如果aj是离散值，很简单，我们只需要统计yi事件发生时，各个aj的实现比例即可。

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    EM算法学习(一)

    EM算法是英文expectation-maximization算法的英文简写,翻译过来就是期望最大化算法,其实是一种根据求参的极大似然估计的一种迭代的优化策略,EM算法可以广泛估计是因为他可以从非完整的数据集中对于参数进行极大似然的估计...背景: 极大似然估计和贝叶斯统计其实是作为现在的统计领域中非常热门的领域了,其实来说他们的计算过程是有一定的相似成分的,比如极大似然函数估计在计算的方法上跟贝叶斯的后验概率的计算是非常相似的,学过统计学习的我们知道...,贝叶斯是分为两种的大类的,一种是拥有显式的后验分布,这样的一般用于简单的似然函数,另外一种是数据添加的算法,有些时候我们的数据可能会存在缺失或者是似然函数不是显性的,数据添加类在这时候就可以很好的应用...,直接求0的极大似然估计也是比较麻烦的,现在使用EM算法后迭代最后一个后验分布函数就简单多了,(在上面的计算过程中,最下边的那个符号,他表示的是符号两端的式子成比例,并且这个比例跟0无关,这个比例不会影响到...如果在每次迭代中,都是通过求似然函数的极大似然估计,选择最大化的0(k+1)来代替0,这样就构成了EM算法,大部分时候极大似然函数都是有显式表达式,但是不是总是这样,所以有时候会有广义EM算法(GEM)

    1.2K60

    EM算法学习(二)

    ) 改进E步 1:在之前的介绍中,我们可以理解M步其实基本和完全数据处理差不多,一般情况比较简单,但是E步的计算是需要在观测的数据的条件下求”缺失数据”的条件期望,然后再去求完全数据下的期望对数似然(这个之前有提到...),但是在求期望的过程中,计算是最难的问题,因为在某些情况下获得期望的显式是很难很难的,这样就限制了算法的使用,因此就有了MCEM算法的产生,他是利用近似实现的方法来进行求解的,下面将详细的阐述下这个算法...EM算法的吸引力之一就在于Q(0|0(k))的极大化计算通常比在不完全数据条件下 的极大似然估计简单，这是因为Q(OlO(k))与完全数据下的似然计算基本相同。...Q(0|0(k)) 进行极大似然估计，并且在一些步上极大化对应的受约束的实际似然函数L(0|Z)。...EM算法作为处理不完全数据参数估计问题的一种重要方迭代法，因为 其实现简单，方法易于操作，估计结果稳定上升，收敛性好，所以有着极 为广泛的应用。

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    EM算法学习(二)

    ) 改进E步 1:在之前的介绍中,我们可以理解M步其实基本和完全数据处理差不多,一般情况比较简单,但是E步的计算是需要在观测的数据的条件下求”缺失数据”的条件期望,然后再去求完全数据下的期望对数似然(这个之前有提到...EM算法的吸引力之一就在于Q(0|0(k))的极大化计算通常比在不完全数据条件下 的极大似然估计简单，这是因为Q(OlO(k))与完全数据下的似然计算基本相同。...Q(0|0(k)) 进行极大似然估计，并且在一些步上极大化对应的受约束的实际似然函数L(0|Z)。...使用时,应当要满足两个条件: 1.存在某个己知的变换R，使得0=R(0*,a) 2.当a=a(0)时，选择扩展模型，使得在已观测到的数据X上不存在a的信 息，即 3.在扩展模型中，参数≯对完全数据Z...EM算法作为处理不完全数据参数估计问题的一种重要方迭代法，因为 其实现简单，方法易于操作，估计结果稳定上升，收敛性好，所以有着极 为广泛的应用。

    1.2K60

    《机器学习核心算法》四、逻辑回归：对数几率解释与极大似然估计推导

    这条 S 形曲线就像一座桥梁，连接了线性世界和概率世界，这就是为什么 Sigmoid 函数在机器学习中如此重要。 三、极大似然估计（MLE）的直观理解 极大似然估计是一种用来估计模型参数的方法。...MLE 就像一个优化算法，它会不断调整曲线的参数，直到找到最佳的拟合。 极大似然估计的步骤 计算每个数据点在当前模型下出现的概率。 将所有这些概率相乘，得到总的似然值。...调整模型参数 ，寻找能产生更高似然值的参数组合。 重复这个过程，直到找到使似然值最大的参数。 记住这个关键概念：MLE 的目标是找到使我们观察到的数据出现概率最大的参数。...但是，伪 R 方的计算方法有很多种，不同的计算方法得到的结果可能不同，因此需要谨慎解读。 常见的伪 R 方计算方法 McFadden R 方： 其中， 是拟合模型的似然值， 是零模型的似然值。...Sigmoid 函数：将线性模型的输出值映射到 (0, 1) 区间，得到概率值。 极大似然估计（MLE）：通过最大化似然函数来找到最优的模型参数。

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    机器学习之EM算法

    EM算法是一种思路。 最大似然估计 EM其实是最大似然估计的拓展。最大似然估计是通过已知样本来反推最可能样本参数的一种方法。...数字解释 回到最大似然估计的例子，如果有两枚不同的硬币且未知抛的是哪个硬币，问题就不一样了。...引用附件paper的一个例子 - 最大似然估计解决问题 如图，先看两个硬币都是已知的情况，我们有这么一些实验，怎么推算硬币A和B的正面概率？...A：21.3正 8.6反 B：11.7正 8.4反 4、M步 - 最大似然估计计算概率，反馈迭代 步骤3中，我们得到一组可能的数据。...我们利用最大似然估计，来计算基于此A和B的概率，得到： 大家有没有发现，这样得到的概率会比真实的概率要精确些。然后我们继续把这个概率迭代回1中，最终结果会趋于一个稳定的数据。

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