所以，对于带备忘录的动态规划算法的时间复杂度，以下几种理解方式都是等价的： 递归的次数 x 函数本身的时间复杂度 = 递归树节点个数 x 每个节点的时间复杂度 = 状态个数 x 计算每个状态的时间复杂度...PS：函数本身（每个节点）的时间复杂度并不是树枝的条数。看代码，每个节点都会执行整个 for 循环，所以每个节点的复杂度都是O(N)。...分析下该算法的空间复杂度： backtrack函数的递归深度为递归树的高度O(N)，而算法需要存储所有全排列的结果，即需要申请的空间为O(N*N!)。所以总的空间复杂度为O(N*N!)。...，其实也可以推导出来节点总数：因为N个元素的所有子集（幂集）数量为2^N，而这棵树的每个节点代表一个子集，所以树的节点总数也为2^N。...： backtrack函数的递归深度为递归树的高度O(N)，而算法需要存储所有子集的结果，粗略估算下需要申请的空间为O(N*2^N)，所以总的空间复杂度为O(N*2^N)。
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，当 n = m 时，我们称这样的排列为全排列 看到这个公式...既然知道了什么是全排列，那我们来看看怎么用程序来打印全排列的所有情况：求 数字 1 到 n (n 的全排列 排列的常用解法 这道题如果暂时没什么头绪，我们看看能否用最简单的方式来实现全排列，...既然我们发现排列符合递归条件，那我们就可以用递归四步曲来解了 1、定义函数的功能 要求数字 1 到 n 的全排列，我们定义以下函数的功能为求从 k 位开始的全排列,数组 arr 存的是参与全排列的 1...我们一起来看看，假设要从 n 选 m 的组合的解题思路 ? 这里需要注意的是相对于全排列的每个元素都能参与排列不同，组合中的每个元素有两种状态，选中或未选中,所以形成递归分两种情况。...考虑以下情况 在全排列时参与排列的数字都是不相同的， 如果有相同的数字（比如参与排序的是 1， 1，2，3），在使用递归进行解题时，需要进行怎样的改造 在组合中 ，我们的题目是从 n 中选出 m 个数，
----集合的组合、排列从一个包含m个元素的集合中挑选出n个元素（0≤n≤m）形成一个子集Subset。一个子集又称为一个组合。...)「等递归函数执行完成之后，函数helper也执行完成，接下来将回溯到前一个数字的函数调用处继续执行。」...输入：nums = [0,1] 输出：[[0,1],[1,0]] ❞分析排列和组合(子集)不同，排列「与元素的顺序相关」，交互数字能够得到不同的排列。...[j],nums[i]];代码解释在函数执行过程「总数组nums保存着当前排列的状态」当函数helper生成排列的下标为index的数字时， 下标从0到index-1的数字都「已经选定」，但数组nums...中下标从index到n-1的数字(假设数组的长度为n)都有可能放到排列的下标为index的位置因此函数helper中「有一个for循环逐一用下标为index的数字交互它后面的数字」。
每个递归函数都必须有一个非递归定义的初始值作为递归结束标志。...数组 R 的全排列 Perm(R) 可定义如下： 当n==1时， Perm(R)=\{r\} ，其中 r 为数组 R 中的唯一元素。...使用循环取出当前数组的每一个元素，添加到临时结果数组中： 每次递归调用只修改原数组中的一个数据，在调用完perm()后需要将数组恢复到迭代前的状态。...int a[] = { 1,3,5,7 }; permutation(a, 0, 3); return 0; } 这种算法的本质还是将数组的每个元素取出压入结果数组，对剩余元素重复“取出-压入-...0; } 该函数是一个递归函数，递归结束的条件是n==1，此时只需要移动一个圆盘，无需借助by针，可以直接从from针上移到to针上。
全排列 46. 全排列 给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。...回溯算法在搜索过程中维护一个状态树，通过遍历决策树来实现对所有可能解的搜索。 ...其结果为： [1,2] [2,1] [1,3] [3,1] [2,3] [3,2] 3、子集问题 子集问题是指从给定的一组数中选取出所有可能的子集，其中每个子集中的元素可以按照任意顺序排列。...因为排列问题需要遍历所有的组合可能，包括顺序不同的组合可能，比如说 [1, 2] 和 [2, 1] 都需要满足，所以我们在排列问题中就不需要使用 index 来控制每次下一层也就是树枝之间的起始位置，只需要...但是这里还有一个问题，就是可能会出现重复调用了某个 nums[i]，比如说 [1, 2, 3] 中我们如果不对每个元素进行控制的话，可能会排列出 [1, 1, 1] 等情况，但是排列问题中我们 只能让每个元素都出现一次
采用了**深度优先搜索（DFS）**的方式，配合一个 check 数组来记录哪些元素已经使用过，从而避免重复使用。...时间复杂度 每个排列需要遍历 nums 的所有元素，同时需要递归构造排列。 全排列的总数为 n! ，其中 n 为 nums 的长度。...Step 2: 回溯递归函数设计 递归函数 dfs(nums, pos)： 功能： 遍历以 pos 为起点的所有可能子集。 累加每个子集的异或值到 ret。...) 生成所有排列，通过排序和剪枝（跳过重复元素）来避免生成重复排列。...✨步骤详解 Step 1: 初始化 变量说明： ret：存储所有结果的二维数组。 path：当前路径，用于构造一个排列。 check：布尔数组，记录每个元素是否已经被使用过。
我们确定没有重复的排列数量的一种方法是使用头尾递归策略。我们从集合中选择一个元素作为头部。然后我们得到剩余元素的每个排列（构成尾部），对于每个排列，我们将头部放在排列的每个可能位置上。...图 6-2：桌子上三位婚礼客人的六种可能排列 当然，要得到{B，C}的每个排列，我们需要用 B 作为头部，C 作为尾部递归重复这个过程。单个字符的排列是字符本身；这是我们的基本情况。...函数调用getPerms()递归获取tail字符串的所有排列。第一个for循环❸遍历这些排列的每一个，第二个for循环❹通过将head字符放在字符串的每个可能位置来创建一个新的排列。...创建所有可能的k字符排列，每个字符从n个可能性的集合中选择，需要k个嵌套循环。...基本情况是一个空集，它的幂集是一个只有空集的集合。我们可以使用头尾技术来实现这个递归函数。对于我们添加的每个新元素，我们希望得到尾部的幂集以添加到我们的完整幂集中。
子集（元素无重不可复选） 力扣第 78 题「子集」就是这个问题： 题目给你输入一个无重复元素的数组nums，其中每个元素最多使用一次，请你返回nums的所有子集。...整个推导过程就是这样一棵树： 注意这棵树的特性： 如果把根节点作为第 0 层，将每个节点和根节点之间树枝上的元素作为该节点的值，那么第n层的所有节点就是大小为n的所有子集。...还是以nums = [1,2,3]为例，刚才让你求所有子集，就是把所有节点的值都收集起来；现在你只需要把第 2 层（根节点视为第 0 层）的节点收集起来，就是大小为 2 的所有组合： 反映到代码上，只需要稍改...但排列问题的本质就是穷举元素的位置，nums[i]之后也可以出现nums[i]左边的元素，所以之前的那一套玩不转了，需要额外使用used数组来标记哪些元素还可以被选择。...力扣第 90 题「子集 II」就是这样一个问题： 给你一个整数数组nums，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集。
一、思路分析 首先，我们回顾一下以前学过的排列组合知识： 1、P(n, k)（也有很多书写成 A(n, k)）表示从 n 个不同元素中拿出 k 个元素的排列（Permutation/Arrangement...2、「排列」和「组合」的主要区别在于是否考虑顺序的差异。 3、排列、组合总数的计算公式： 好，现在我问一个问题，这个排列公式 P(n, k) 是如何推导出来的？...结合上述两种情况，可以得到： 你看，两种视角得到两个不同的递归式，但这两个递归式解开的结果都是我们熟知的阶乘形式： 至于如何解递归式，涉及数学的内容比较多，这里就不做深入探讨了，有兴趣的读者可以自行学习组合数学相关知识...那么模仿排列公式的推导思路，将 n 个数字分配到 k 个桶里，我们也可以有两种视角： 视角一，如果我们切换到这 n 个数字的视角，每个数字都要选择进入到 k 个桶中的某一个。...三、以桶的视角 文章开头说了，以桶的视角进行穷举，每个桶需要遍历 nums 中的所有数字，决定是否把当前数字装进桶中；当装满一个桶之后，还要装下一个桶，直到所有桶都装满为止。
我以为两个条件都得满足，导致花费了很长时间思考，所以审题很重要…… 其实这道题并不难，是一个排列问题，就是要我们找到不同顺序的满足 n 个元素的数组，判断它是否为优美的排列，如果我们是到了叶子节点，...就是当我们遍历到一个元素的时候，此时我们只要有当前构造到数组的尾部下标的话，就可以判断是否满足优美的排序，如果不是的话直接跳过该元素的选择即可达到剪枝的效果，所以我们 需要在递归函数中多加一个参数 tail...然后因为是排列问题，所以 需要有一个 used 数组来标记哪个元素已经走过了，防止重复，我们还是老样子，将其设为全局变量即可！ ...然后用 n 表示棋盘的宽和高，用 row 来记录当前遍历到棋盘的第几层了，还有一个一维字符串数组也就相当于一个二维数组 board 作为当前棋盘。...递归函数出口： 很可以看出，只有到棋盘最下沿也就是叶子节点的时候，我们才能得到这个有效的棋盘，也就是 row == n 的时候，进行结果集的添加以及返回！
，该问题变得很简单，能够直接求解 - 设计一个策略，用于将一个问题划分为一个或多个一步步接近递归出口的相似的规模更小的子问题 - 将所解决的各个小问题的解组合起来，即可得到原问题的解 设计递归算法需要注意以下几个问题...排序 想法1： 固定位置放元素 假设我们能够生成n-1个元素的所有排列，我们可以得到如下算法： - 生成元素{2, 3, ...., n}的所有排列，并且将元素 1 放到每个排列的开头 - 接着...，生成元素{1, 3, ...., n}的所有排列，并且将元素 2 放到每个排列的开头 - 重复这个过程，直到元素{2, 3, ...., n-1}的所有排列都产生，并将元素 n 放到每个排列的开头...= nT(n-1) + n 想法2： 固定元素找位置 首先，我们把 n 放在位置P1上，并且用子数组P2...n 来产生前 n-1 个数的排列 接着，我们将 n 放在P2上，并且用子数组P1和P3......n来产生前 n-1 个数的排列 然后，我们将 n 放在P3上，并且用子数组P1...2和P4...n来产生前 n-1 个数的排列 重复上述过程直到我们将 n 放在Pn上，并且用子数组P1...n-1来产生前
但是涉及到具体的代码实现，两种写法的复杂度可能有优劣之分。你需要选择效率更高的写法。 球盒模型这个词是我随口编的，因为下面我会用「球」和「盒」两种视角来解释，你理解就好。...排列组合问题的各种变体都可以抽象成「球盒模型」，P(n, k)就可以抽象成下面这个场景： 即，将n个标记了不同序号的球（标号为了体现顺序的差异），放入k个标记了不同序号的盒子中（其中n >= k，每个盒子最终都装有恰好一个球...结合上述两种情况，可以得到： 你看，两种视角得到两个不同的递归式，但这两个递归式解开的结果都是我们熟知的阶乘形式： 至于如何解递归式，涉及数学的内容比较多，这里就不做深入探讨了，有兴趣的读者可以自行学习组合数学相关知识...我在 回溯算法核心框架 和 回溯算法秒杀排列/组合/子集的九种变体 中都写了上面这段代码，很多读者看了之后就跑来跟我说啊，他看的那个全排列算法是通过swap操作来计算的，不需要used数组的额外空间，比我讲解的回溯算法框架效率高...这也解释了，为什么所有子集（幂集）的数量是2^n，因为每个元素都有两种选择，要么在子集中，要么不在子集中，所以其递归树就是一棵满二叉树，一共有2^n个叶子节点。
数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。 求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。...★比较两个字符串，用O(n)时间和恒量空间。 ★假设你有一个用1001个整数组成的数组，这些整数是任意排列的，但是你知道所有的整数都在1到1000(包括1000)之间。...第18题（数组）： 题目：n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始， 每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。...从头到尾遍历数组一次，就能找出最小的元素， 时间复杂度显然是O(N)。但这个思路没有利用输入数组的特性，我们应该能找到更好的解法。 70.给出一个函数来输出一个字符串的所有排列（经典字符串问题）。...（或者：怎样只用4行代码编写出一个从字符串到长整形的函数？） 98.第2组微软面试题 1.给出一个函数来输出一个字符串的所有排列。 2.请编写实现malloc()内存分配函数功能一样的代码。
2、「排列」和「组合」的主要区别在于是否考虑顺序的差异。 3、排列和组合总数的计算公式如下： 好，现在我问一个问题，这个排列公式P(n, k)是如何推导出来的？...排列组合问题的各种变体都可以抽象成「球盒模型」，P(n, k)就可以抽象成下面这个场景： 即，将n个标记了不同序号的球（标号为了体现顺序的差异），放入k个标记了不同序号的盒子中（其中n >= k，每个盒子最终都装有恰好一个球...这样，第一个盒子可以选择n个球中的任意一个，然后你需要让剩下k - 1个盒子在n - 1个球中选择： 另外，你也可以站在球的视角，因为并不是每个球都会被装进盒子，所以球的视角分两种情况： 1、第一个球可以不装进任何一个盒子...结合上述两种情况，可以得到： 你看，两种视角得到两个不同的递归式，但这两个递归式解开的结果都是我们熟知的阶乘形式： 至于如何解递归式，涉及数学的内容比较多，这里就不做深入探讨了，有兴趣的读者可以自行学习组合数学相关知识...，其中M, N分别代表s, t的长度，算法的「状态」就是dp函数参数i, j的组合： 带备忘录的动态规划算法的时间复杂度 = 子问题的个数 x 函数本身的时间复杂度 = 「状态」的个数 x 函数本身的时间复杂度
PARTITION函数通常用于快速排序算法中，它将一个数组分为两个子数组，使得一个子数组的所有元素都小于另一个子数组的所有元素。...为了证明这一点，我们可以假设 PARTITION 算法在最差的情况下的时间复杂度为 O(n)。在这种情况下，我们可以认为数组已经被完全划分成了一个链表，其中每个元素都是链表的节点。...每次递归中，我们需要选择一个基准元素，将数组分为两个子数组，一个子数组中的所有元素都小于基准元素，另一个子数组中的所有元素都大于基准元素。 在每次递归中，我们需要遍历整个数组，以便找到基准元素。...然而，我们需要注意到的是，在 PARTITION 算法中，每次递归都会将数组分为两个子数组，其中一个子数组的所有元素都小于另一个子数组的所有元素。因此，在递归的过程中，数组的规模会逐渐减小。...简单说，它把数组中的元素重新排列，并返回一个索引值，使得该索引左侧的元素都小于该索引对应的元素，右侧的元素都大于该索引对应的元素。 现在，我们来证明PARTITION算法的时间复杂度为Θ(n)。
具体地，在这道题目中，我们可以通过一个递归函数 dfs 和标记数组 check 来实现全排列。...递归流程如下： 首先定义一个二维数组 ret 用来存放所有可能的排列，一个一维数组 sub 用来存放每个状态的排列，一个一维数组 check 标记元素，然后从第一个位置开始进行递归； 在每个递归的状态中...递归流程如下： 递归结束条件：如果当前需要处理的元素下标越界，则记录当前状态并直接返回； 在递归过程中，对于每个元素，我们有两种选择： 不选择当前元素，直接递归到下一个元素； 选择当前元素，将其添加到数组末尾后递归到下一个元素...使用递归保存当前集合的状态（异或和），选择将当前元素添加至当前状态与否，并依次递归数组中下一个元素。当递归到空元素时，表示所有元素都被考虑到，记录当前状态（将当前状态的异或和添加至答案中）。...初始化定义： 定义行、列、九宫格标记数组以及找到可行方法的标记变量，将它们初始化为 false； 定义一个数组来存储每个需要处理的位置； 将题目给出的所有元素的行、列以及九宫格坐标标记为 true； 将所有需要处理的位置存入数组
第三十二题→随机输入十个数字，数字按照从大到小排列 随机输入十个数字，创建⑩个元素的整形数组，用 for 循环进行遍历，再输入函数即可。...数字从大到小排列，把第一个数字和所有数字(2~10)比较下，第一个数字大于第二个数字的话就不交换双方的值(依次类推)，小于的话就进行交换。...注意：从大到小来进行排列(降序排列)。 第三十三题→用一个函数在函数内部创建一个变量来交换两个值的变量 注意→在你交换值的时候需要取出它们的地址，因为相当于你以及改变它们的内存编号了！...其实每个人对递归的理解都是有不同的，这种最终还是需要你去多多练习相对应题目才行。...//针对所有的元素重复以上的步骤，除了已排序过的元素(每趟排序后的最后一个元素)，直到没有任何一对数字需要比较 return 0; } 可能运行结果 请输入数字：1 2 3 4 5 6 7 8 9
一直找寻中，今日得果 2、算法来源与互联网 组合算法 本程序的思路是开一个数组，其下标表示1到n个数，数组元素的值为1表示其下标代表的数被选中，为0则没选中。...它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。 由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。 2、再看后三个数3, 4, 5。...下面是递归方法的实现： /// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。 /// a[1..n]表示候选集，m表示一个组合的元素个数。...下面是非递归的回溯方法的实现： /// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。 /// a[1..n]表示候选集，m表示一个组合的元素个数。 /// 返回所有排列的总数。...这种递归定义形式是采用n 个perm(X) 来定义perm(E), 其中每个X 包含n-1个元素。至此，一个完整的递归定义所需要的基本部分和递归部分都已完成。
好在我们并不需要自己记录这个过程，因为计算机在执行程序的时候会有一个称为方法栈的东西，记录我们执行的所有函数和方法的状态。...，我们遍历每个节点的所有决策，然后记录下这个选择，进行往下递归。...由于Python引用机制，在函数内部修改，外部不会生效 # 所以需要用全局变量来记录答案 global mini # 当所有元素都已经放入permutation if...举个例子，1 2 3的下一个排列是1 3 2，是交换2和3得到的。我们再来看一个，1 3 2 4的下一个排列是1 3 4 2，也是交换了两个元素得到的。...如果你列举更多会发现，不论当前的全排列长什么样，我们都可以交换其中的两个元素得到新的排列。所以我们就有一个猜测，是不是只要交换两个元素就可以获得答案呢？
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