，它是一个实数值。在连续的事件中，我们只有一个个数值点，且该数值点是不能代表一个事件的，该点的数值也不能代表可能性。 R S K ... 点a 数值1 ... 点b 数值2 ......上表中的第二列是实数集的δ～域(比幂集更小的概念，幂集本身在实数中是无穷的，无法做归一化，但δ～域会排除无穷)，第一列S就是事件，第三列就是该事件发生的概率P，因为是连续的事件，所以用积分来求和。...而在连续事件中，我们使用F(x)=事件(-∞,x]的可能性，其中x∈R，(-∞,x]∈δ～域，F(x)就是连续型随机变量分布函数，那么概率密度函数则为f(x)=F'(x)=K，这样我们就清楚了，连续型事件的可能性就是某些点的概率密度求和...(此处可以参考概率论整理(二) 中的连续型随机变量的概率密度)。...我们在连续型事件的第一张表S中的点a、点b、点c、点d，它们只是只是对它们用实数来编号，但并不代表它们本身就是数，而是样本空间，当用实数来编号的时候会有一个函数X(S)=R。
目标 在仿真理论中，生成随机变量是最重要的“构建块”之一，而这些随机变量大多是由均匀分布的随机变量生成的。其中一种可以用来产生随机变量的方法是逆变换法。...在本文中，我将向您展示如何使用Python中的逆变换方法生成随机变量(包括离散和连续的情况)。 概念 给定随机变量U，其中U在（0,1）中均匀分布。...假设我们想生成一个离散随机变量X的值，它具有一个概率质量函数(PMF) ? 为了生成X的值，需要生成一个随机变量U，U在（0,1）中均匀分布，并且定义 ?...range(0,n): sample.append(discrete_inverse_trans(prob_vec)) return np.array(sample) 最后，我们创建一个函数来模拟结果...我们可以看到，随着我们增加随机变量样本的数量，经验概率越来越接近实际概率。尝试使用不同数量的样本和/或不同的分布进行实验，以查看不同的结果。
此时由于似然函数的表示形式较为复杂(含有对隐含变量的累加求和或者积分)，难以求导获取似然函数的极大值，也无法方便地应用梯度下降算法进行优化。...而EM算法是一个类似梯度下降算法的迭代算法，它首先给随机变量分布参数赋初始值，然后寻找到了一个便于优化的似然函数的下界 (恰好为似然函数在某个分布下的期望Expectation，期望中消去了隐变量)，并通过不断地优化...一，EM最大期望算法 当我们关心的随机变量依赖于另外一些不可观测的随机变量时，通过对我们关心的随机变量采样，我们将难以直接通过最大似然估计的方法推断我们关心的随机变量分布律中的未知参数。...对数似然函数中，由于有对 的求和，如果尝试对 求偏导等于0来计算最优的 ，将难以得到对应的解析解。这和目标函数非常复杂时，无法直接解析求解只能使用梯度下降这类迭代算法是一样的。...但对于一般情况，对z的求和将难以进行，如果Z是连续的随机变量，对z的求和将变成积分，此时使用梯度下降法将更加困难。 我们可以尝试和梯度下降算法效果相当的迭代算法。
然而，这里我们遇到了一个问题：我们应该如何对概率分布进行建模？上面我们只指定了各个变量的分布，而与另一个变量无关（即边缘分布）。实际上，我们正在处理这两者的联合分布。...此时，在已知多个已知 边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。...copula 的主要吸引力在于，通过使用他们，您可以分别对相关结构和边缘分布（即每个随机变量的分布）进行建模。 因为对于某些边缘分布组合，没有内置函数来生成所需的多元分布。...Copula可以同时处理多个变量，例如您可以在一个群组中处理多只股票，而不仅仅是一对，以创建最终交易组合，以在更高的维度上发现错误定价。...接下来我们在R软件中对金融时间序列进行copula建模。 copulas如何工作 首先，让我们了解copula的工作方式。
（X1, X2, ..., Xn）对样本的抽样 子抽样：从整体模型F(X1, X2, ..., Xn)中随机抽取若干输入随机变量成为基模型的输入随机变量 假若在子抽样的过程中，两个基模型抽取的输入随机变量有一定的重合...4.2.2 难题一：任意损失函数的最优化 对任意损失函数（且是泛函）的最优化是困难的。...假设已知样本x的当前预测值为F[i-1](x)，下一步将预测值按照反向梯度，依照步长为r[i]，进行更新： ? 步长r[i]不是固定值，而是设计为： ?...在第i轮迭代中，我们创建训练集如下： ? ...如果没有定义初始模型，整体模型的迭代式一刻都无法进行！所以，我们定义初始模型为： ? 根据上式可知，对于不同的损失函数来说，初始模型也是不一样的。
其中，χ和Ω分别为x和z的积分域或者说是样本空间。 注意到第二项，利用映射关系x=G(z)，我们可以得到 ? 这一步并不显然。（详细推导见附录C：测度论中随机变量的换元） 所以， ?...之所以实际训练流程与其不一致，是因为实际中如果对D优化到底，这将会导致很高的计算代价，而且通常会导致过拟合。相反，该算法是先对D优化k步，然后再进行一步对G的优化。...(a)接近收敛时，可以看到判别函数D是部分正确的；(b)此时进行算法的内循环优化，即对于当前状态的G，优化D，优化结果如(b)图的蓝线所示；(c)进行完内循环优化后，固定D，对G进行优化，可以看到D的梯度驱使...对于离散形式，给定两个离散型随机变量所对应的概率函数P和Q，两者的K-L散度定义为 ? 对于连续形式，给定两个连续型随机变量所对应的概率密度p和q，两者的K-L散度定义为 ?...那么前后位置的差异代表什么实际含义呢？ 前置位，如定义式中的P（或p）可以理解为数据的真实分布，而Q（或q）是模型对真实分布的一种近似。
机器学习是人工智能的一个分支，它使计算机能够从经验中自动“学习”而无需明确编程。简而言之，机器学习是一种让计算机通过数据进行自我改进的方法。...8.随机变量： 离散随机变量：取值为可数集合的随机变量。 (当我们说一个集合是“可数”的时候，这意味着这个集合中的元素可以通过自然数来一一对应。...换句话说，如果一个集合中的元素可以用自然数来编号，那么这个集合就是可数的) 连续随机变量：取值为实数区间内的随机变量。...每个类别（A, B, C）的所有'Value'值被求和。 结果显示每个'Category'组中'Value'的总和。'''...每个'Category'和'Subcategory'的组合对应的'Value'值被求和。 结果显示每个组合中的'Value'总和。'''
函子(Functor) 函子是一个特殊的容器，通过一个普通对象来实现，该对象具有map方法，map方法可以运行一个函数对值进行处理（变形关系），容器包含值和值变形关系（这个变形关系就是函数）。...函数式编程中解决副作用的存在 函数式编程的运算不直接操作值，，而是由函子完成 函子就是一个实现了map契约的对象 我们可以把函子想象成一个盒子，盒子里面封装了一个值 想要处理盒子中的值，我们需要给盒子的...map方法传递一个处理值的函数（纯函数），由这个函数来对值进行处理 最终map方法返回一个包含新值所在的盒子（函子） 根据函子的定义我们创建一个函子 // functor 函子 class Container..._value)) } } 此时就已经创建了一个函子但是这是面向对象的方式来创建的，换成用函数式编程来写一个函子 class Container { constructor (value) {...，但是我们不知道那个地方出现了空值，所以我们创建两个函子一个是正常的处理一个是出现错误情况处理，正常的就按照正常的方式创建，错误的是是否我们把map方法改造一下让她不再处理回调函数，直接返回一个空值的MayBe
此时，在已知多个已知 边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。...copula 的主要吸引力在于，通过使用他们，您可以分别对相关结构和边缘分布（即每个随机变量的分布）进行建模。因为对于某些边缘分布组合，没有内置函数来生成所需的多元分布。...Copula可以同时处理多个变量，例如您可以在一个群组中处理多只股票，而不仅仅是一对，以创建最终交易组合，以在更高的维度上发现错误定价。...R.请注意，在上面的例子中，我们采用相反的方式从该分布创建样本。...接下来我们在R软件中对金融时间序列进行copula建模。copulas如何工作 首先，让我们了解copula的工作方式。
类似地，我们定义泛函(functional)作为一个映射，它以一个函数作为输入，返回泛函的值作为输出。一个例子是熵H[p]，它的输入是一个概率分布p(x)，如公式（1）所示： ?...在概率推理中，我们经常需要优化的量是一个泛函。研究所有可能的输入函数，找到最大化或者最小化泛函的函数就是问题的解。...我们可以将对模型(参数)的信念(Belif)加入到学习中：我们将模型中的参数扩展为随机变量，其方差就代表了模型对当前的参数的不确定性。这就是之前我们讲到过的贝叶斯估计。...然而对于大多数的模型来讲，两方面的原因导致直接计算这个后验概率是不可行的:配给函数(Partition function)需要积分或求和的变量空间过大，可能要求指数时间的运算。...使得L最大，下面我们只考虑优化变分下界的问题。当近似分布采用参数化概率分布 ? 时，ELBO变成了参数 ? 的函数。下图展示了通过优化近似分布的参数来最大化ELBO， 即最小化KL散度的过程。 ?
“我本科没好好学泛函，到学到一些ML的方法比如kernel相关的方法的时候就凸显出来对泛函不熟，对函数空间理解不够的话会比较吃力。但重要性上比如前面几个方面。”...Steven Leon 《线性代数》 概率论 如果把机器学习所处理的样本数据看作随机变量/向量，我们就可以用概率论的观点对问题进行建模，这代表了机器学习中很大一类方法。...，均匀分布 随机变量的均值与方差，协方差 随机变量的独立性 最大似然估计 这些知识不超出普通理工科概率论教材的范围。...如果一个问题被证明为是凸优化问题，基本上已经宣告此问题得到了解决。在机器学习中，线性回归、岭回归、支持向量机、logistic回归等很多算法求解的都是凸优化问题。...在支持向量机中有拉格朗日对偶的应用。 KKT条件是拉格朗日乘数法对带不等式约束问题的推广，它给出了带等式和不等式约束的优化问题在极值点处所必须满足的条件。在支持向量机中也有它的应用。
X : NxD matrix π : 1xK vector μ : KxD matrix γ : NxK matrix Pipeline 我们将创建一个E_step函数来计算上面的表达式并用下面的代码进行测试...第一次尝试 在第一次尝试中，我们将使用 for 循环编写所有内容；在向量/矩阵操作中，只使用标量。...因此，让我们使用对数来表示我们的表达式，然后对结果取指数。 关于对数概率的操作是首选的，因为它们提供了数值稳定性！...第三次尝试 一次一个loop：K turn 在向量化过程中，有如下操作： 标量→向量→矩阵 当我们用numpy数组替换越来越多的循环时，越来越多的代码将在C上运行。...2、一支笔一张纸：写下公式，从一个求和到另一个求和，把它变成一个等价的矩阵运算。 3、数学是你的朋友：总是对任何表达式必须返回的维数进行推理；观察相邻的求和操作，因为它们具有相同的维度。
这些问题引入了函子的概念 Fuctor函子 容器：包含值和值的变形关系（这个变形关系就是函数） 函子：是一个特殊的容器，通过一个普通的对象来实现，该对象具有map方法，map方法可以运行一个函数对值进行处理...（变形关系） 函子里面内部维护一个值，这个值永远不对外暴露，通过map方法来对值进行处理，通过一个链式的调用方式。...，需要盒子的map方法传递一个处理值的函数（纯函数），由这个函数来对值进行处理 最终map方法返回一个包含新值的盒子（函子） 存在的问题,在输入null的时候存在异常，无法处理异常情况，那么如何解决这种的副作用呢...Pointed 函子是实现了of静态方法的函子，of方法是为了避免使用new来创建对象，更深层的含义是of方法用来把值放到上下文Context（把值放到容器中，使用map来处理值） 其实上述将的函子都是...函子是一个特殊的容器(对象)，这个容器内部封装一个值，通过 map 传递一个函数对值进行处理 MayBe 函子的作用是处理外部的空值情况，防止空值的异常 IO 函子内部封装的值是一个函数，把不纯的操作封装到这个函数
，其中为互相独立的正随机变量。已知有上界。给定一个正数，希望求出 ? 。...尝试：由于题目是无穷个随机变量的和，无法一个个枚举所有变量的情况，而且由大数定理，的分布类似于高斯分布，重尾效应严重（即有限的部分和无法精确拟合真正的的分布），故直接暴力枚举（有限个）并不能精确求解概率...代入一下，由于期望的线性累加性，可以发现我们需要求和的期望。 下面介绍一下概率论中的特征函数。对随机变量，它的特征函数定义为 ? ，其中指数上的是虚数单位。...给定一个正数，希望求出 ? 。 解： 可以发现的上界是 ? 。的特征函数为 ? 。所以的特征函数为 ? ? 。代入上面公式1中，对每个固定的，我们估算 ?...关于随机变量的正负：以上方法可扩展至任意有界的随机变量，过程从略，有兴趣的同学可以自行练手。 关于是否是无穷个随机变量的求和：以上方法可直接应用于有限个随机变量的求和，简单粗暴。
离散随机变量有很多种，但有一些经典的分布经常重复出现。对这些经典分布的研究，也占据了概率论相当的一部分篇幅。我们将了解一些离散随机变量的经典分布，了解它们的含义和特征。 ...Vamei from scipy.stats import bernoulli rv = bernoulli(0.8) x = [-1, 0, 1, 2] print(rv.cdf(x)) 上面，我们创建了一个...在连续的r次测试时，我们只需要保证最后一次测试是成功的，而之前的k-1次中，有r-1次成功。这r-1次成功的测试，可以任意存在于k-1次测试。...因此，负二项分布的表达式为: image.png 练习: (可以使用scipy.stats中的ngeom函数来表示负二项分布) 假设我们进行产品检验。产品的合格率为0.65。...超几何分布 一个袋子中有n个球，其中r个是黑球，n-r是白球，从袋中取出m个球，让X表示取出球中的黑球的个数，那么X是一个符合超几何分布(hypergeometric distribution)的随机变量
这就表现出了对能够改善这个估计器方差的其他方法的需求，或者是不同的更加有效的估计方法。在下面的内容中我们会给出这两方面的解释。...在这个公式中，我们像平常一样对 x 进行采样，并把它传递到「白化噪声」变换 T(x|θ) 的逆中，来得到样本 ε，并在梯度的组成部分中替代这些变量。...这就是 numpy 中生成 Gamma 变量的过程：如果 ε 是标准高斯分布中的样本，则通过一些 x=T(ε|θ) 的函数来对样本进行变换，然后接受服从 a(x|θ) 分布的样本即可。...在前一部分中我们选择的变换是 T 的逆，因此它一直在试图去除样本 x 对θ的依赖。...我们尝试将高斯随机变量平方（x^2）的期望最小化 [8]（再加上一些正的常数 c 作为偏移量，我们会在后面看到它们所起的作用）： ? 首先，重设参数的目标函数是： ? 然后它的随机梯度为： ?
决策树学习用损失函数来完成决策树模型的学习，即寻找一棵不仅对训练数据具有很好的拟合，且对未知数据具有很好的预测的树模型。...熵 在信息论与概率统计中，熵（entropy）是表示随机变量不确定性的度量。...设 是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为 则随机变量 的熵定义为 其中若 =0，则定义 ，通常对数 是以 为底或以 为低，熵只依赖于 的分布，与...对于每个特征 ，对其可能取的每个值 ，将数据集切分成两部分，并计算基尼指数。选择基尼系数最小的特征以及其切分点作为最优特征和最优切分点。不断循环直至满足条件停止。...决策树的简化过程称为剪枝（pruning）。决策树的剪枝一般通过极小化决策树整体的损失函数或代价函数来实现。用的是正则化极大似然估计进行模型选择。损失函数定义为模型拟合程度和模型复杂度求和。
在这里E是数学期望，对于离散型随机变量，数学期望是求和，对连续型随机变量则为求定积分。如果f(x)是一个严格凸函数，当且仅当x是常数时不等式取等号： ?...因此存在循环依赖，解决此问题的办法是打破此循环依赖，从高斯分布的一个不准确的初始猜测值开始，计算样本属于每个高斯分布的概率，然后又根据这个概率更新每个高斯分布的参数。这就是EM算法求解时的做法。...这里的zi是一个无法观测到（即不知道它的值）的隐含变量，可以看作离散型随机变量，上式对隐含变量z的所有情况下的联合概率p(x,z,θ)求和得到x的边缘概率。...算法的流程 算法在实现时首先初始化参数θ的值，接下来循环迭代直至收敛，每次迭代时分为两步： E步，基于当前的参数估计值θi，计算在给定x时对隐变量z的条件概率： ?...上面的目标函数中对数内部没有求和项，更容易求得θ的公式解。这就是EM算法中“M”的含义。由于Qi可以是任意个概率分布，实现时Qi可以按照下面的公式计算： ?
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
ICP备案
云直播
对象存储
腾讯会议
