标量、向量、矩阵、张量。 标量(scalar)。一个标量，一个单独的数。其他大部分对象是多个数的数组。斜体表示标量。小写变量名称。明确标量数类型。实数标量，令s∊ℝ表示一条线斜率。...明确表示矩阵元素，方括号括起数组。矩阵值表达式索引，表达式后接下标，f(A)i,j表示函数f作用在A上输出矩阵第i行第j列元素。 张量(tensor)。超过两维的数组。...A表示张量“A”。张量A中坐标(i,j,k)元素记Ai,j,k。 转置(transpose)。矩阵转置，以对角线为轴镜像。左上角到右下角对角线为主对角线(main diagonal)。...向量可作一列矩阵。向量转置，一行矩阵。向量元素作行矩阵写在文本行，用转置操作变标准列向量来定义一个向量，x=x1,x2,x3⫟。标量可看作一元矩阵。标量转置等于本身，a=a⫟。 矩阵形状一样，可相加。...无须在加法操作前定义一个将向量b复制到第一行而生成的矩阵。隐式复制向量b到很多位置方式，称广播(broadcasting)。 矩阵、向量相乘。
本文的主要内容是帮助你学习如何进行向量、矩阵以及高阶张量（三维及以上的数组）的求导。并一步步引导你来进行向量、矩阵和张量的求导。...1.1 将矩阵计算分解为单个标量的计算 为了简化给定的计算，我们将矩阵的求导分解为每个单独标量元素的表达式，每个表达式只包含标量变量。在写出单个标量元素与其他标量值的表达式后，就可以使用微积分来计算。...现在，我们将原始的矩阵方程式（1）简化成了标量方程式。此时再进行求导就简单多了。...例如：数据矩阵 中包含非常多的向量，每个向量代表一个输入，那到底是矩阵中的每一行代表一个输入，还是每一列代表一个输入呢？ 在第一节中，我们介绍的示例中使用的向量 是列向量。...同样，假设和为两个列向量， 在计算对的导数时，我们可以直观地将两个矩阵和的乘积视为另一个矩阵，则 但是，我们想明确使用链式法则来定义中间量的过程，从而观察非标量求导是如何应用链式法则的
因此，它是一个 0-张量，可以绘制为一个边为零的节点。同样地，一个向量可以被认为是一个一维的数组，因此是一个 1-张量。它由一个具有一条边的节点表示。矩阵是二维数组，因此是 2-张量。...三维张量是一个三维数组，因此是一个有三条边的节点……。 ? 矩阵乘法是张量的缩并 将两个矩阵相乘就相当于「粘合」它们的图。这叫做张量的缩并（tensor contraction）。 ?...速查：矩阵被描述为一个单节点，每个向量空间有一个边，但是上面的图片有两个节点。我们仍然希望它表示一个矩阵。我可以断言，它还是一个矩阵！有一个很好的方法可以让我们看出来：将蓝色和绿色节点碰在一起。 ?...这里，U 和 V 是一元矩阵，所以是等距矩阵，也是三角形。矩阵 D 是一个对角矩阵，我喜欢用一个菱形来表示。总之，矩阵分解是将一个节点分解为多个节点；矩阵乘法是将多个节点融合为一个节点。 ?...也就是说，在物理/机器学习社区（在那里它们被称为张量网络图）和范畴论社区（在那里它们被称为字符串图），将向量空间的图可视化地表示为带边的节点。
自从Facebook在2017年初将PyTorch开源以来，它已经在机器学习领域取得了令人瞩目的成绩。...张量基础 让我们来看一下PyTorch的张量基础知识，从创建张量开始（使用Tensor类）： import torch # Create a Torch tensor t = torch.Tensor...PyTorch张量和Numpy ndarray之间转换 你可以轻松地从ndarray创建张量，反之亦然。这些操作很快，因为两个结构的数据将共享相同的内存空间，因此不涉及复制。这显然是一种有效的方法。...0.4710, -0.3725, 2.1783], [-0.9134, 1.6253, 0.7398], [-0.4959, -0.4198, 1.1338]]) 下面是矩阵的积...未经许可的转载以及改编者，我们将依法追究其法律责任。
翻译 | 林立宏 整理 | 凡江 背景 在这篇文章中，我将介绍几种低秩张量分解方法，用于在现有的深度学习模型中进行分层并使其更紧凑。...遵循 SVD 的例子，我们想要以某种方式将张量分解成几个更小的张量。卷积层转换为几个较小近似的卷积层。...一个秩 R 矩阵可以被视为 R 秩和 1 矩阵的和，每个秩 1 矩阵是一个列向量乘以一个行向量： SVD 为我们提供了使用 SVD 中的 U 和 V 列来写矩阵和的方法： 如果我们选择一个小于矩阵满秩的...VBMF 很复杂，不在本文的讨论范围内，但是在一个非常高层次的总结中，他们所做的是将矩阵 近似为低秩矩阵 和高斯噪声之和。在找到 A 和 B 之后，H 是等级的上限。...为了将其用于 Tucker 分解，我们可以展开原始权重张量的 s 和 t 分量来创建矩阵。然后我们可以使用 VBMF 估计 和 作为矩阵的秩。
在存储和计算效率方面支持稀疏张量（Sparse Tensor），让用户通过稀疏矩阵训练模型。 下面，量子位将分别详述这两个新特性。 ?...Volta GPU架构中引入了张量核（Tensor Core），每个张量核每小时能处理64次积和熔加运算（fused-multiply-add，FMA），每小时将CUDA每个核心FLOPS（每秒浮点运算...每个张量核都执行下图所示的D=AxB+C运算，其中A和B是半精确的矩阵，C和D可以是半或单精度矩阵，从而进行混合精度训练。 ?...经过优化的RSP格式用来表示矩阵中的大量行，其中的大部分行切片都是零。 例如，可以用CSR格式对推荐引擎输入数据的特征向量进行编码，而RSP格式可在训练期间执行稀疏梯度更新。...这个版本支持大多数在CPU上常用运算符的稀疏操作，比如矩阵点乘积和元素级运算符。在未来版本中，将增加对更多运算符的稀疏支持。
深度学习背后的核心数据结构是标量，向量，矩阵和张量。让我们以编程方式用这些解决所有基本的线性代数问题。 标量 标量是单个数字，是一个 0 阶张量的例子。...向量 向量是一维有序数组，是一阶张量的例子。向量被称为向量空间的对象的片段。向量空间可以被认为是特定长度（或维度）的所有可能向量的全部集合。...将所有矩阵的元素缩写为以下形式通常很有用。 ? 在 Python 语言中，我们使用 numpy 库来帮助我们创建 n 维数组。这些数组基本上都是矩阵，我们使用矩阵方法通过列表，来定义一个矩阵。...矩阵-标量相加 将给定的标量加到给定矩阵的所有元素。 ? 矩阵-标量相乘 用给定的标量乘以给定矩阵的所有元素。 ? 矩阵乘法 矩阵 A 与矩阵 B 相乘得到矩阵 C。 ? ?...矩阵转置 通过矩阵转置，你可以将行向量转换为列向量，反之亦然。 A=[aij]mxn AT=[aji]n×m ? ? 张量 张量的更一般的实体封装了标量、向量和矩阵。
然而，视频数据的高维输入使得从输入到隐藏层的权重矩阵映射非常大，阻碍了RNN的应用。最近的工作利用CNN来预处理所有视频帧，由于没有进行端到端训练，这些视频帧可能会受到次优权重参数的影响。...Basics of YOLO YOLO将目标检测重新定义为一个信号回归问题，直接从每帧的图像像素到边界框坐标和类概率。卷积网络同时预测多个边界框和这些框的类概率。...我们将讨论在训练过程中基于张量化的RNN。对隐藏到隐藏权重进行张量化的整个工作流程如上图所示。...这将是更高的压缩和更高效的，因为与传统全连接层的一般矩阵向量乘法相比，秩r非常小。 DEEPEYE不是以单独的方式优化视频检测和分类，而是第一种利用目标检测和动作识别以及显著优化的方法。...首个全量化Vision Transformer的方法FQ-ViT（附源代码
该层创建了一个卷积核，该卷积核以 单个空间（或时间）维上的层输入进行卷积， 以生成输出张量。 如果 use_bias 为 True， 则会创建一个偏置向量并将其添加到输出中。...use_bias: 布尔值，该层是否使用偏置向量。 kernel_initializer: kernel 权值矩阵的初始化器 (详见 initializers)。...该层创建了一个卷积核， 该卷积核对层输入进行卷积， 以生成输出张量。 如果 use_bias 为 True， 则会创建一个偏置向量并将其添加到输出中。...use_bias: 布尔值，该层是否使用偏置向量。 kernel_initializer: kernel 权值矩阵的初始化器 (详见 initializers)。...该层创建了一个卷积核， 该卷积核对层输入进行卷积， 以生成输出张量。 如果 use_bias 为 True， 则会创建一个偏置向量并将其添加到输出中。
例如，一个普通数零阶张量，也称为标量，一个向量是一阶张量，一个矩阵是二阶张量。...在这个符号中，标量只是一个圆，向量只有一条腿，矩阵有两条腿等。张量的每条腿也有大小，也就是腿的长度。 ?...张量的图解符号 以这种方式表示张量的好处是简洁地编码数学运算，例如，将一个矩阵乘以一个向量得到另一个向量，或者两个向量相乘得到标量。这个过程被称为张量收缩。 ?...张量收缩的图解表示法 向量和矩阵乘法以及矩阵迹线（即矩阵对角元素的总和）。 除了这些案例之外，还有以张量收缩模式进行编码以形成一个新张量的图形方式。每个组成张量都有一个由自己的腿数决定的顺序。...我们可以将高维向量转化为 N 阶张量，然后将图像集合中所有张量相加，得到量 Ti1，i2，...，iN 的集合。 这听起来像是一件非常浪费时间的事情。
张量[1]是向量和矩阵到 n 维的推广。了解它们如何相互作用是机器学习的基础。 简介 虽然张量看起来是复杂的对象，但它们可以理解为向量和矩阵的集合。理解向量和矩阵对于理解张量至关重要。...向量是元素的一维列表： 矩阵是向量的二维列表： 下标表示（行，列）。考虑矩阵的另一种方式是用向量作为元素的向量。请注意，它们通常用大写字母表示。...3D 张量可以被视为三维矩阵列表： 考虑 3D 张量的另一种方式是使用矩阵作为元素的向量。请注意，在本文中它们是用书法大写字母标注的。...嗯，如前所述，二维的点积主要是将向量彼此相乘。在三维中，重点是按矩阵相乘，然后对这些矩阵中的每个向量执行点积。 上图应该有助于解释这一点。将两个 3D 张量视为矩阵向量可能会有所帮助。...这意味着将有两个 3D 张量，每个张量将包含三个 (3,3) 矩阵。这个结果可以使用 matmul 或 @ 获得。
三、矩阵 正如向量将标量从零阶推广到一阶，矩阵将向量从一阶推广到二阶。...因此，尽管单个向量的默认方向是列向量，但在表示表格数据集的矩阵中，将每个数据样本作为矩阵中的行向量更为常见。后面的章节将讲到这点，这种约定将支持常见的深度学习实践。...同样，给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。例如，将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。...后续章节将讲到，我们也可以使用矩阵-向量积来描述在给定前一层的值时，求解神经网络每一层所需的复杂计算。 在代码中使用张量表示矩阵-向量积，我们使用mv函数。...小结 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。 向量泛化自标量，矩阵泛化自向量。 标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。
三维张量索引 在二维张量索引的基础上，三维张量拥有三个索引的维度。我们将三维张量视作矩阵组成的序列，则在实际索引过程中拥有三个维度，分别是索引矩阵、索引矩阵的行、索引矩阵的列。...堆叠函数：stack 和拼接不同，堆叠不是将元素拆分重装，而是简单的将各参与堆叠的对象分装到一个更高维度的张量里，参与堆叠的张量必须形状完全相同。...，对于一个方阵来说，我们可以利用矩阵特征值和特征向量的特殊性质（矩阵点乘特征向量等于特征值数乘特征向量），通过求特征值与特征向量来达到矩阵分解的效果...Q、Λ 中删去那些比较小的特征值及其对应的特征向量，使用一小部分的特征值和特征向量来描述整个矩阵，从而达到降维的效果。...，其中的每一行（每一列）分别被称为左奇异向量和右奇异向量，他们和∑中对角线上的奇异值相对应，通常情况下我们只需要保留前k个奇异向量和奇异值即可，其中U是m×k矩阵，V是n×k矩阵，∑是k×k的方阵，从而达到减少存储空间的效果
、前言 本文将介绍PyTorch中张量的数学运算之矩阵运算，包括基础运算、转置、行列式、迹、伴随矩阵、逆、特征值和特征向量等。...矩阵运算 【深度学习】Pytorch 系列教程（四）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（2）：矩阵运算及其数学原理（基础运算、转置、行列式、迹、伴随矩阵、逆、特征值和特征向量） 3....向量范数、矩阵范数、与谱半径详解 【深度学习】Pytorch 系列教程（五）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（3）：向量范数（0、1、2、p、无穷）、矩阵范数（弗罗贝尼乌斯、列和、行和、谱范数...维度改变 flatten展开 使用flatten方法将张量展开为一维的向量： import torch x = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) flattened_x...reshape_as 将张量重塑为与给定张量相同形状的张量。
第一阶张量（first-order tensor）是个向量（vector），第二阶张量（second-order tensor）是矩阵（matrix），更多阶的张量我们称之为高阶张量（higher-order...2.6 Matricization 矩阵化 矩阵化讲述了如何将高维张量拆解成2阶的矩阵。这是个极为重要的概念，日后将频繁出现在各种公式与定理之中。其文字化定义意外的简单，而数学定义较为繁琐。...也就是张量与矩阵（或向量）在mode n之下的乘积。...笔者是这么理解这个公式的：将没有选中的维度所组成的索引集为行，选中的维度展开为列，形成的矩阵与U相乘，便是n-mode张量乘法的结果。...本期到此结束，下一期将先回顾矩阵的Kronecker， Khatri-Rao及Hadamard乘法等概念后，继续介绍张量的基本性质。欢迎大家关注！
以自然语言处理（NLP）领域为例，模型从Bert发展到GPT，模型规模从数亿参数量增加到数百亿甚至是数千亿。当参数规模为千亿时，存储模型参数就需要数百GB的显存空间，超出单个GPU卡的显存容量。...对于Embeeding层的参数，可以按照词的维度切分，即每张卡只存储部分词向量表，然后通过AllReduce汇总各个设备上的部分词向量结果，从而得到完整的词向量结果。...这里，参数矩阵A存在两种切分方式： 参数矩阵A按列切块。如下图所示，将矩阵A按列切成 分别将A1，A2放置在两张卡上。两张卡分别计算Y1=X*A1和Y2=X*A2。...综上所述，通过将单卡显存无法容纳的矩阵A拆分，放置在两张卡上，并通过多卡间通信，即可得到的最终结果。该结果在数学上与单卡计算结果上完全等价。 参数矩阵A按行切块。...如下图所示，将矩阵A按行切成 为了满足矩阵乘法规则，输入矩阵X需要按列切分X=[X1 | X2]。同时，将矩阵分块，分别放置在两张卡上，每张卡分别计算Y1=X1*A1，Y2=X2*A2。
张量是多维数组，按照阶数分类：例如普通数是零阶张量（也被称为标量），向量是一阶张量，矩阵是二阶张量，以此类推……虽然低阶张量可以简单地使用数组或者 T_ijnklm 这样的数学符号来表示（其中指数的数字代表张量的阶数...在这种符号体系中，标量是一个圆，向量有一条腿，矩阵有两条腿，以此类推……张量的每一条腿也有一个维度，就是腿的长度。例如，代表物体在空间中速度的向量就是三维一阶张量。 ?...张量的图解表示 以这种方式表示张量的优点是可以简洁地编码数学运算，例如将一个矩阵乘以一个向量以产生另一个向量，或者将两个向量相乘以产生标量。这些都是更为通用的「张量缩并」概念的示例。 ?...张量缩并的图解表示法。以上示例包括向量和矩阵相乘，以及矩阵迹（即矩阵对角元素的总和）。 以下是张量网络的简单示例，它们用图的形式表示将多个张量进行缩并形成新张量的过程。...谷歌将高维向量转化为 N 阶张量，然后将所有图像的所有张量聚合到一起得到张量 T_(i1,i2,...,iN)。
具有一个轴的张量对应数学上的向量（vector）； 具有两个轴的张量对应数学上的矩阵（matrix）； 具有两个轴以上的张量没有特殊的数学名称。 ...x.numel() 要想改变一个张量的形状而不改变元素数量和元素值，可以调用reshape函数。例如，可以把张量x从形状为(12,)的行向量转换为形状为(3,4)的矩阵。...在这里，我们通过将标量函数升级为按元素向量运算来生成向量值 F: \mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d 。 ...我们将两个矩阵广播为一个更大的 3\times2 矩阵，如下所示：矩阵a将复制列，矩阵b将复制行，然后再按元素相加。...虽然我们讨论的是矩阵的索引，但这也适用于向量和超过2个维度的张量。 X[0:2, :] = 12 X 五、节省内存 运行一些操作可能会导致为新结果分配内存。
将本节中的条件语句X == Y更改为X Y，然后看看你可以得到什么样的张量。...-向量积m A.shape, x.shape, torch.mv(A, x) 输出结果： 3.9 矩阵-矩阵乘法 B = torch.ones(4, 3) torch.mm(A, B) 输出结果： 3.10...a更改为随机向量或矩阵，会发生什么？...# 将变量a更改为随机向量或矩阵，会报错，原因可能是在执行 loss.backward() 时没带参数， # 即可能默认是与 loss.backward(torch.Tensor(1.0)) 相同的，可以尝试如下的实验实验如下...4.标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。 5.向量是标量的推广，矩阵是向量的推广。 6.标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。
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