如何在O(log(n))中平衡这棵AVL树？

要在O(log(n))时间复杂度内平衡一棵AVL树，首先需要理解AVL树的基本概念和平衡机制。

基础概念

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，其每个节点都包含一个平衡因子（即左子树高度减去右子树高度），并且所有节点的平衡因子的绝对值不超过1。

平衡机制

当插入或删除节点时，可能会破坏树的平衡。为了恢复平衡，需要进行旋转操作。旋转操作分为四种类型：

左旋（Left Rotation）
右旋（Right Rotation）
左右旋（Left-Right Rotation）
右左旋（Right-Left Rotation）

插入操作

插入节点：按照二叉搜索树的规则插入新节点。
更新平衡因子：从插入点向上回溯，更新每个祖先节点的平衡因子。
检查平衡：如果在更新过程中发现某个节点的平衡因子绝对值超过1，则需要进行旋转操作。

删除操作

删除节点：按照二叉搜索树的规则删除节点。
更新平衡因子：从删除点向上回溯，更新每个祖先节点的平衡因子。
检查平衡：如果在更新过程中发现某个节点的平衡因子绝对值超过1，则需要进行旋转操作。

示例代码

以下是一个简单的Python示例，展示如何在插入节点后进行平衡：

class TreeNode:
    def __init__(self, key):
        self.key = key
        self.left = None
        self.right = None
        self.height = 1

class AVLTree:
    def getHeight(self, node):
        if not node:
            return 0
        return node.height

    def getBalance(self, node):
        if not node:
            return 0
        return self.getHeight(node.left) - self.getHeight(node.right)

    def leftRotate(self, z):
        y = z.right
        T2 = y.left

        y.left = z
        z.right = T2

        z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left), self.getHeight(z.right))
        y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left), self.getHeight(y.right))

        return y

    def rightRotate(self, z):
        y = z.left
        T3 = y.right

        y.right = z
        z.left = T3

        z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left), self.getHeight(z.right))
        y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left), self.getHeight(y.right))

        return y

    def insert(self, root, key):
        if not root:
            return TreeNode(key)
        elif key < root.key:
            root.left = self.insert(root.left, key)
        else:
            root.right = self.insert(root.right, key)

        root.height = 1 + max(self.getHeight(root.left), self.getHeight(root.right))

        balance = self.getBalance(root)

        # Left Left Case
        if balance > 1 and key < root.left.key:
            return self.rightRotate(root)

        # Right Right Case
        if balance < -1 and key > root.right.key:
            return self.leftRotate(root)

        # Left Right Case
        if balance > 1 and key > root.left.key:
            root.left = self.leftRotate(root.left)
            return self.rightRotate(root)

        # Right Left Case
        if balance < -1 and key < root.right.key:
            root.right = self.rightRotate(root.right)
            return self.leftRotate(root)

        return root