如何使用递归找到sin(x)的导数？ - 腾讯云开发者社区

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手搓自动微分

""" return np.sin(x) def __grad__(self, x): """计算正弦函数的导数值""" return np.cos...，这也是自动微分技术的核心之一，因此我们自己实现的自动微分框架要能够接收一些外来的操作，然后在内部递归的计算。...= obj def __call__(self, x): """没有复合函数时直接返回结果，有复合函数就递归计算""" return np.sin(x) if...self.obj is None else np.sin(self.obj(x)) def __grad__(self, x): """没有复合函数时直接返回导数结果，有复合函数就按照链式法则递归计算...虽然每个框架所使用的自动微分的原理不尽相同，但大致都是基于链式法则计算结合图计算的一些优化。如果是自己动手来手搓一个自动微分框架的话，大致就只能实现一下一阶的链式法则的自动微分。

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如何快速找到并验证影响因变量Y的自变量X呢？

声明：本文讨论主题的不是严谨意义上的“因果关系”，而是探讨自变量与因变量的关系(实际上不是真的因果关系)，主要关注点在于找到并验证影响(或预测)因变量Y的自变量X。...哪些因素(X，自变量)可以预测或者影响指标Y？也就是说，我们不仅关注ΔX和ΔY在时间维度上的共变，还关心X和Y在空间维度上的相关。...归因分为两个阶段：发现模式，找到可疑的影响因素X并提出相应的假设；验证模式，基于业务经验、数据分析、实验设计等来验证假设； 1 发现模式发现“模式”即找到影响因素和关键指标的关系，主要有两种方法：...(段)来找到对应的影响因素(大概率是因果关系)。...找到具有相同特征Y的群体(也可以从历史数据中抽样)，反过来看其对应X1和Y的关系，比如； e.g.找到具有“非Y”特征的群体，看对立样本中X1的分布是否和原样本存在差异。

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MySQL如何找到使用的是哪个配置文件？

一个正在运行的MySQL实例，如何查看对应的配置文件用的是哪一个？如果存在多个文件，生效的顺序是怎么样的？ 1....mysqld root 3183979 0.0 0.0 12316 2272 pts/9 S+ 19:09 0:00 grep --color=auto mysqld 此时，如果使用的是...如果使用的是MySQL8.0之前的版本，需要在下一步的顺序中寻找 3....配置文件生效顺序如果存在多个配置文件，它们通常是以下的优先级顺序生效：系统级配置文件：位于 /etc/my.cnf 或 C:\Program、Data\MySQL\MySQL Server x.x...配置文件目录中的其他文件：MySQL配置文件目录中的其他文件，通常在 /etc/mysql/conf.d/ 或 C:\ProgramData\MySQL\MySQL Server x.x\conf.d\

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【数学基础篇】---详解极限与微分学与Jensen 不等式

一、前述数学基础知识对机器学习还有深度学习的知识点理解尤为重要，本节主要讲解极限等相关知识。二、极限 1、例子当 x 趋于 0 的时候，sin(x) 与 tan(x) 都趋于 0....但是哪一个趋于 0 的速度更快一些呢？我们考察这两个函数的商的极限， ? 所以当 x → 0 的时候，sin(x) 与 tan(x) 是同样级别的无穷小。...导数是对函数进行线性逼近，高阶导数是对导数函数的进一步逼近，因为没有更好的办法，所以数学家选择继续使用线性逼近. Example (初等函数的导数) ? 2、微分学：多元函数 ?...也就是求某一个损失函数的极小值的问题, 在本课范围内我们考虑可微分的函数极小值问题. 1、优化问题对于一个无穷可微的函数 f(x)，如何寻找他的极小值点. 极值点条件。...x0 数学原理：牛顿法使用二阶逼近（等价于使用二阶泰勒级数），梯度下降法使用一阶逼近牛顿法对局部凸的函数找到极小值，对局部凹的函数找到极大值，对局部不凸不凹的可能会找到鞍点.

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自动求梯度

数值微分 1.1 原理根据函数在点处的导数的定义： f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx\begin{array}{c} f^{'}(x) = \lim_{\Delta...符号计算一般来讲是对输入的表达式，通过迭代或递归使用一些事先定义的规则进行转换。当转换结果不能再继续使用变换规则时，便停止计算。...自动微分 3.1 原理自动微分的基本原理是所有的数值计算可以分解为一些基本操作，包含 +, −, ×, / 和一些初等函数 exp, log, sin, cos 等，然后利用链式法则来自动计算一个复合函数的梯度...一般用「计算图」来图形化表示自动微分的过程。按照计算导数的顺序，自动微分可以分为两种模式：前向模式和反向模式。前向模式：前向模式是按计算图中计算方向的相同方向来递归地计算梯度。...反向模式：反向模式是按计算图中计算方向的相反方向来递归地计算梯度。

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MATLAB数值微分：从基础到实践的全面指南

MATLAB中实现数值微分好了，理论我们了解了，现在来看看在MATLAB中如何实现这些方法！！！...', 'LineWidth', 1); % 数值导数legend('原函数 sin(x)', '解析导数 cos(x)', '数值导数');title('使用diff函数计算导数');```这种方法简单直接...', 1);legend('原函数 sin(x)', '解析导数 cos(x)', '数值导数');title('使用中心差分法计算导数');```这种方法通常比简单使用diff更精确，特别是对于光滑函数...MATLAB提供的gradient函数是计算数值导数的利器，它内部使用中心差分法，并且自动处理了边界条件：```matlab% 创建数据点x = 0:0.1:2*pi;y = sin(x);% 使用gradient...', 2); % sin(x)的二阶导数是-sin(x)plot(x, d2y_dx2, 'go', 'LineWidth', 1);legend('原函数 sin(x)', '解析二阶导数 -sin

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LM算法——列文伯格-马夸尔特算法（最速下降法，牛顿法，高斯牛顿法）（完美解释负梯度方向）

最具有代表性的就是暴风法，把所有可能的结果都带进去，找到最好的拟合。然后聪明的人类不想这么鲁莽，并且这么无目的地寻找，于是人们开始研究参数向什么方向迭代是最好的，于是便出现了梯度方向等一系列方法。...，但H矩阵不满秩则无法迭代 LM法信赖域算法，解决H矩阵不满秩或非正定，通过对比的形式想必大家已经记住了这一堆优化的方法，很多情况下使用中都是优化方法的改进方法，因此掌握了这些方法，...这个可以看我们求导数的时候（梯度和导数的关系完美解析在我之前的博文中），其实我们从图中不难看出，左侧，y随着x增加时，导数为正，因此导数的方向我们可以定义为指向x正方向，x与导数同向也就是x...右侧，y随x增加而较小，导数为负，我们这里还定义导数的方向此时指向x负半轴，因此x沿负方向减小时，函数值是逐渐增大的，这里需要记住和注意，沿着导数方向，我们的函数值是逐渐增大的。...，完全可以说成是多维导数，而在一维导数存在的性质，上升了维度，我们的本质是不变的，因此我们只需要沿着每个维度的导数方向变化，我们的函数值就会增加。

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如何优雅的使用javascript递归画一棵结构树

递归和尾递归简单的说，递归就是函数自己调用自己，它作为一种算法在程序设计语言中广泛应用。其核心思想是把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解。...但是作为一个合格的程序员，我们也应该知道，递归算法相对常用的算法如普通循环等，运行效率较低。因此，应该尽量避免使用递归，除非没有更好的算法或者某种特定情况，递归更为适合的时候。...(n - 1); } factorial(5) // 120 最多需要保存n个调用栈，复杂度 O(n)，如果我们使用尾递归： function factorial(n, total) { if (...遍历目录/删除目录我们这里使用node来实现删除一个目录，用现有的node API确实有删除目录的功能，但是目录下如果有文件或者子目录，fs.rmdir && fs.rmdirSync 是不能将其删除的...该图形是根据目录结构生成的目录树图，在很多应用场景中被广泛使用，接下来我们就来看看他的实现过程吧： const fs = require('fs') const path = require('path

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MATLAB符号微积分实战指南

diff(f, x, 2);disp('f的二阶导数:')disp(ddf)```执行后你会看到：- f的一阶导数: 3x^2 + 4x - 5- f的二阶导数: 6*x + 4这就是符号计算的魅力...)这会给出sin(x)在x=0附近的泰勒级数展开，截至到5阶项。...实用技巧在使用符号计算时，有些技巧可以让你的工作流程更加顺畅：简化表达式有时候MATLAB给出的结果看起来很复杂，你可以使用simplify函数进行简化：matlabsyms xf = sin(x)^2...:')disp(vSol)这个例子展示了如何使用MATLAB解决物理中的常微分方程问题。...当MATLAB无法找到解析解时，你可以：- 检查问题是否设置正确- 尝试不同的解法或转化- 考虑使用数值方法（如ODE求解器）结语MATLAB的符号数学工具箱是一个强大的助手，能帮助你处理从基础到高级的各种数学问题

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【测量篇】（1）1D测量

可知，变化最剧烈的位置就是其一阶导的局部最大值，一阶导最大时，其二阶导f''(x)等于零，如下图所示。 ? 可知，边缘点的位置位于原图f(x)拐点处。...几种常见的边缘滤波检测滤波器为了排除噪声，更准确的检测边缘，一些学者在差分过程进行一些改进，例如Sboel滤波器，使用f '(x) = f(x + 1) - f(x - 1) 近似计算一阶差分...1） Deriche, Lanser, Shen为递归滤波器，Canny 为掩膜滤波器； 2）递归滤波器的执行时间不依赖滤波器的大小，Canny的执行时间与滤波器大小成正相关。...对于Deriche, Lanser, Shen滤波器的原理并不了解，感兴趣的话可以参考递归高斯滤波器的原理，所谓递归就是前者的输出参入后者的输入。...最后，求出平滑灰度直方图的一阶导数，一阶导数的极值点作为边缘的亚像素精度候选点，只有一阶导数极值点的绝对值大于预先设定的阈值（测量算子的参数Threshold）边缘候选点才被选作为边缘中心点。

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Python sympy 模块常用功能(二）

极限 >>> limit(sin(x)/x, x, 0) 1 >>> limit(sin(x)/x, x, oo) #正无穷处极限 0 >>> limit(sin(x) * E**x, x, -oo)#...x连续求3次偏导数） sin(x)*sin(y) >>> diff(cos(x)*sin(y), x,3) #与上式等价，对x求3阶偏导数 sin(x)*sin(y) >>> diff(sinh(x)/...对x求2阶偏导数，再对y求3阶偏导数 -exp(-y)*sinh(x) diff也可以作为方法调用，用法同上: >>> expr = exp(x*y*z) >>> expr.diff(x,2,y,2,z...1,n=3) sin(1) + (x - 1)*cos(1) - (x - 1)**2*sin(1)/2 + O((x - 1)**3, (x, 1)) 极限的方向也是用dir参数表示，"+"表示右极限...暂未找到相关函数，可根据定义自行计算。

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每个人都必须掌握的导数-函数快捷求导

引言导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。...导数在生活中的应用非常的广泛，求各种瞬时值（如瞬时速度...）都需要用到导数，如何得到导数，当然是要进行求导，简单函数的求导非常容易，但是对于某些稍微复杂的函数，用定义法进行求导就相对麻烦了，这时就需要用到导数公式已经求导法则以简化其运算...导数公式（适用于基本初等函数）原函数导数值其他注释 f(x)=c f'(x)=0 c 为常数 f(x)=xα f'(x)=αxα-1 α∈Q* f(x)=sin x f'(x)=cos x 无 f...(x)=cos x f'(x)=-sin x 无 f(x)=ex f'(x)=ex e=2.7182... f(x)=ax f'(x)=axln a ln a=logea f(x)=ln x f'(x)...以上公式用于快捷求导，由 Henry 亲自编辑，阅读此文后希望对其进行使用，以丰富你的生活。

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以单变量函数为例进行导数定义的验证与计算

导数的定义与理解在微积分中，导数描述的是函数在某一点处的瞬时变化率。...x*sin(x) 在点 x = pi 处为例，展示如何用Python的SymPy库验证导数定义。..."""sy.init_printing(use_latex = True , use_unicode = True)"""验证单变量函数中导数(微分方程)的定义"""# 定义单变量函数 f(x) = sin...)}')# 函数 x*sin(x) 的导数: x*cos(x) + sin(x)derivative = sy.diff(expr , param_x)print(f'导函数 = {derivative...('x')expr = sy.sin(param_x) * param_xprint(f'原函数 = {expr}， latex: {sy.latex(expr)}')# 函数 x*sin(x) 的导数

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【机器学习】分而知变，积而见道：微积分中的世界之思

损失函数的最小化：通过微积分方法找到损失函数的最小值，从而优化模型性能。概率密度函数的积分：在概率模型中，积分用于计算概率分布的期望值和方差。...) = 4 示例 2：计算 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} 解答：使用洛必达法则： \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim...解答：应用指数函数法则和链式法则： g'(x) = 2e^{2x} 3.3.3 示例 3：商函数的导数问题：计算函数 h(x) = \frac{\sin(x)}{x} 的导数。...3.4 实战项目：使用SymPy库进行符号导数计算并绘制导数曲线通过实战项目，我们将使用Python的SymPy库进行符号导数计算，并绘制函数及其导数的曲线，帮助直观理解导数的概念。...四、导数的应用：优化与变化 4.1 优化问题的数学表述在机器学习中，优化问题是核心任务之一。优化的目标是找到使得某个目标函数（如损失函数）最小化或最大化的参数值。

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直观理解梯度，以及偏导数、方向导数和法向量等

目录写在前面偏导数方向导数梯度等高线图中的梯度隐函数的梯度小结参考博客：blog.shinelee.me | 博客园 | CSDN 写在前面梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具...方向导数为函数在某一个方向上的导数，具体地，定义xy平面上一点(a, b)以及单位向量vec u = (cos theta ,sin theta )，在曲面z=f(x, y)上，从点(a,b, f(a,...b) \frac{d y}{d t} \\=& f_x (a, b) \cos \theta+ f_y (a, b) \sin \theta \\=&\left(f_x (a, b), f_y (a,...b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \end{aligned} 上面推导中使用了链式法则。...其中，f_x (a, b)和f_y (a, b)分别为函数在(a, b)位置的偏导数。由上面的推导可知：该位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。

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使用位运算如何找到数组中只出现一次的数？

只出现一次的数字 II - 力扣（LeetCode）算法解析位运算是用于二进制的运算符号。而对于多次出现的数字，其二进制都是一模一样的，这里是3次重复的出现是数字。...由此我们可以想到，如果我们由低到高去计算为一个bit位上的和，对和取余3。如果为0则代表这个bit位上都是重复出现的数字。如果位1则代表出现的我们要找的数字。...我们将这个bit的结果记录，再去计算和判断下一个bit位代码实现 //计算每一个bit位的和 class Solution { public: int singleNumber(vector...& nums) { int ret = 0;//ret负责记录每一个bit位的变化情况 for (int i = 0; i 的，只需要将取余3改为取余n即可

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巧妙算法背后的直觉：浅谈贝叶斯优化之美

编译 | 蒋宝尚编辑 | 陈彩娴假设有一个函数F(x)，已知计算成本很高，且解析式和导数未知。问：如何找到全局最小值？...它的名字叫做：贝叶斯优化。它能够有效克服上述难点，并且试图用最少的步骤找到全局最小值。 1 贝叶斯优化之美先构建一个函数C(x)，描述了在给定输入x的情况下的成本开销。...值得一提的是，替代函数选择的原则是“便宜”，例如y=x就是成本非常高的替代函数， y=arcsin((1-cos²x)/sin x)则在某些情况下比较便宜。...更形象一些，可以用骰子类比，只不过投掷出去之后，返回的是一些函数（例如sin、log），而不是1~6的数字。这些函数能够拟合给定的数据，并且以某种概率被“掷”出来。...左：四个数据点的几个高斯过程生成的函数；将四个函数聚合之后的函数。那么，为什么使用高斯分布，而不用其他什么的曲线进行拟合建模替代函数？其中一个理由是：高斯分布具有贝叶斯性质。

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大学生数学竞赛非数专题二（1）

专题二一元微分学（1）知识点： 2.1.1 导数的定义（1）任意点的导数： f^{'}(a)=\underset{\Box \rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(a+\Box...}\dfrac{f(a+\Box)-f(a)}{\Box}=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 导数存在的定义：左右导数都存在...{dx}f(\sin x)=\frac{d}{dx}f^{2}(\sin x) ，且 f^{'}(0)\neq 0 ，求 f(0) 的值解：首先根据 f(x) 可导，则 f(x) 连续，有 f(x)...应用 x=0 的导数定义，得 \displaystyle\frac{d}{dx}f(\sin x)\bigg|_{x=0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(...今天的题目都比较有趣，都是一些常见的套路，证明可导一般要用到连续，而证明导数的存在更重要的是解决左右导数的问题，同时对于极限的求法又是一个关键点。大家可以仔细看看，有问题留言！谢谢作者：小熊

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这套自定义算子教程让你的组网更加灵活多变

当我们在动态图模式下执行Y=relu(X)时，框架会通过代理对象TraceOp到OpInfoMap里找被调用的算子，比如调用ReluOp，它会找到该算子并调用其计算Kernel，然后完成计算及返回结果，...因此，前反向计算的结果将会影响模型最后的训练结果，如果反向传播的计算公式推导错误，模型将无法找到最优或近似最优解。...Paddle目前支持的多阶导数只支持到二阶导动手实现 CPU算子下面将以一个比较简单的sin函数为例，自定义一个CPU算子（本文主要对CPU算子进行讲解，GPU算子可参考：飞桨官方文档-自定义外部算子教程...; ++i) { grad_x_data[i] = grad_out_data[i] * std::cos(x_data[i]); // 结果是返回的梯度值乘函数导数值 } } std::...本文仅介绍了如何实现一个在CPU上使用的算子，飞桨自定义算子机制也可以实现在GPU上使用，以及在CPU和GPU可以同时使用，具体可参考飞桨官方文档-自定义外部算子。

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微分基础总结

导数与反函数的关系一、核心关系：导数互为倒数基本公式若函数 y = f(x) 严格单调、可导且 f'(x) \neq 0 ，其反函数 x = f^{-1}(y) 的导数为：...高阶导数：反函数的二阶导数公式： (f^{-1})''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} undefined表明反函数的凹凸性与原函数相反。...导数极限不存在：如 \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} （求导后振荡，但原极限为1）。去心邻域不可导：如分段函数在间断点附近。...操作误区- 盲目多次使用：若求导后非未定式则停止（例：\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2} 首次洛必达后得 \infty ，无需继续）。...避错原则非未定式禁用，导数极限不存在时改用他法，避免循环使用。通过合理应用，洛必达法则能高效解决微积分中的未定式极限，但需严格遵循条件并灵活结合其他工具（如泰勒公式）。

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