题目 链表中的 临界点 定义为一个 局部极大值点 或 局部极小值点 。 如果当前节点的值 严格大于 前一个节点和后一个节点，那么这个节点就是一个 局部极大值点 。...如果当前节点的值 严格小于 前一个节点和后一个节点，那么这个节点就是一个 局部极小值点 。 注意：节点只有在同时存在前一个节点和后一个节点的情况下，才能成为一个 局部极大值点 / 极小值点 。...给你一个链表 head ，返回一个长度为 2 的数组 [minDistance, maxDistance] ，其中 minDistance 是任意两个不同临界点之间的最小距离，maxDistance 是任意两个不同临界点之间的最大距离...第五个节点和第六个节点之间距离最小。minDistance = 6 - 5 = 1 。 第三个节点和第六个节点之间距离最大。maxDistance = 6 - 3 = 3 。...- [1,3,2,2,3,2,2,2,7]：第五个节点是一个局部极大值点，因为 3 比 2 和 2 大。 最小和最大距离都存在于第二个节点和第五个节点之间。
============ 问题描述： 给定二维平面上的若干个点，从中查找距离最小的两个。...问题分析： 要解决这个问题，最直接的想法是把给定的点进行两两组合，计算每个组合中两个点的距离，从中找出距离最小的一对。...接下来我们考虑采用分治法，时间复杂度可以达到O(nlogn)，核心思路为：1）对所有点按x坐标升序排列，x坐标相同的按y坐标升序排列；2）按x坐标把原始点集左右等分为两个子集，分别寻找两个子集内部距离最小的点对...下面的代码在实现算法时又进行了一些优化，例如计算左右点集之间的最小距离时，只考虑了有可能构成更短距离的点，也就是左右两个子集边界附近的点。...让我们再回过头来深入分析一下这个问题的枚举法求解过程，如果有一个点B与当前点A的距离最小，那么B点一定在A点的邻域内，如果我们只计算A点与很小邻域内的其他点的距离，而不用计算A点与整个点集中所有点的距离
2022-11-06：给定平面上n个点，x和y坐标都是整数，找出其中的一对点的距离，使得在这n个点的所有点对中，该距离为所有点对中最小的。返回最短距离，精确到小数点后面4位。...网上很多算法的复杂度是O(N*(logN)的平方)。时间复杂度：O(N*logN)。代码用rust编写。
front->val = behind->val; behind->val = num; return head; } Leetcode -2058.找出临界点之间的最小和最大距离...注意：节点只有在同时存在前一个节点和后一个节点的情况下，才能成为一个 局部极大值点 / 极小值点 。...给你一个链表 head ，返回一个长度为 2 的数组[minDistance, maxDistance] ，其中 minDistance 是任意两个不同临界点之间的最小距离，maxDistance 是任意两个不同临界点之间的最大距离...[1, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 7]：第五个节点是一个局部极大值点，因为 3 比 2 和 2 大。 最小和最大距离都存在于第二个节点和第五个节点之间。...2，即返回的数组中的最小距离和最大距离都是 -1 ；如果大于2，最大距离即是数组中的最后一个减去第一个，即最大减最小；最小距离需要遍历数组，找到相邻的元素中差值最小的值； int* nodesBetweenCriticalPoints
题目：平面上给定n条线段，找出一个点，使这个点到这n条线段的距离和最小。
2025-06-29：用点构造面积最大的矩形Ⅱ。...用go语言，在一个二维平面上有 n 个点，坐标分别由两个整数数组 xCoord 和 yCoord 给出，其中点 i 的坐标为 (xCoord[i], yCoord[i])。...由给定点集中的四个点组成矩形的四个顶点。 2. 矩形的边与坐标轴平行。 3. 矩形内部和边界上没有其他给定点存在。 求出这样符合条件的矩形的最大面积。如果找不到符合条件的矩形，则返回 -1。...可以使用两个哈希表 xMap 和 yMap，其中： • xMap[x] 存储所有 x 坐标为 x 的点的 y 坐标。 • yMap[y] 存储所有 y 坐标为 y 的点的 x 坐标。...验证候选矩形： • 将候选矩形的四个角作为查询点，使用 CDQ 分治或类似方法统计矩形内的点数。 • 如果点数为 0，则该矩形有效。 5. 返回结果： • 从所有有效矩形中选择面积最大的一个。
其中tr表示矩阵的迹，A是数据协方差矩阵。 容易得到最优的W是由数据协方差矩阵前 k 个最大 的特征值对应的特征向量作为列向量构成的。这些特征向量形成一组正交基并且最好地保留了数据中的信息。 ...其中一个基本的想法就是，使类内方差最小的同时，使类外方差最大。...ISOMap将数据点连接起来构成一个邻接Graph来离散地近似原来流形，而测地距离则相应地通过Graph上的最短路径来近似了。 比如：我们将球体曲面映射到二维平面上。 ...MDS是一种降维方法，它在降维时使得降维之后的两点间的欧氏距离尽量保持不变（用欧氏距离矩阵来表示高维向量的两两之间的相似度，寻找同样数量的映射维度的向量，使得映射维度下两两间距离约等于原高维下两两间距离...但是LLE在有些情况下也并不适用，如果数据分布在整个封闭的球面上，LLE则不能将它映射到二维空间，且不能保持原有的数据流形。那么我们在处理数据中，首先假设数据不是分布在闭合的球面或者椭球面上。
理想情况下, 当相机对均匀的目标成像时, 得到图像中所有像素点的灰度值理论上应该是相同的. 然而, 实际上图像中各像素的值往往会有较大差异，此时就需要对图像进行平场校正。...平场矫正中假设该材质在光照强度线性变化的情况下像素值也线性变化，那么对于图像每一个位置上的像素来说，仅需两个标准亮度下产生的灰度值即可对该像素进行平场校正。...简单的方法可以查看方差是否足够小，精度要求不高的话已经可以满足大部分需求了； 如果需要更高精度的评估，那就需要度量每个灰阶的像素点是否展示了在该二维平面上足够的均匀程度，也就是相同像素值的像素如果类似二维均匀分布产生的样本...这个评估本质上是在度量一个数据集描述的分布与二维已知的均匀分布直接的距离，如果计算二者之间的 KL 散度你会发现落脚点会在度量数据集的熵上面，然而这看似简单的需求并不容易计算。 ...为了计算在已知二维平面上的均匀程度，需要将这些数据集转化为真正的分布，我的实践经验是将这些数据在二维平面上分块统计数量，形成二维平面上的统计直方图，归一化后就得到了他们的二维分布，之后就可以计算这个分布和均匀分布之间的距离了
在每一次迭代中，系数 a_i 和 b_i 都是（所有可能 a_i 和 b_i 值集合中的）一个选择，算法将学习到能够最小化误差函数的下一组系数。因此，模型的学习过程归根结底还是优化问题。...在经典的最小化任务中，基于梯度的优化方法是寻找局部极小值的最常用方法。「陷入鞍点」问题就出现在基于梯度的优化方法中。优化问题旨在寻找能使目标函数达到局部极小值的驻点，而鞍点是不能达到局部极小值的驻点。...为此类问题寻找全局最小值是一项挑战，而这篇论文利用一阶优化方法找出近似的二阶驻点（达到局部极小值）。在抵达驻点时，作者引入一种方法来识别该驻点是鞍点还是局部极小值。...从视觉上来看，这意味着 M 中的每个点周围都有一个曲率为零的小型邻域和欧几里德度量。 接下来，我们需要了解可微流形 M 在 M 内的点 x 处的切空间 TxM。切空间是一个维度与 M 相同的向量空间。...假设点 p1 的坐标为 (x_1, y_1, z_1)，z_1 = 0，即 p1 在 x-y 平面上。
在前面介绍了梯度下降法，梯度下降法通过迭代搜索方式寻找目标函数相应的最优解： 最小化的目标函数称为损失函数，使用梯度下降法搜索迭达寻找损失函数最小值所对应的参数； 最大化的目标函数称为效用函数，使用梯度上升法搜索迭达寻找效用函数最大值所对应的参数...相应的有一些样本，每个样本就是二维平面上的一个点，这是一个二维特征的样本，如果对二维特征样本进行降维的话显然可以降到一维。 ?...很显然右边的方案是最好的降维方案，我们将所有的样本点都映射到X轴上（保留特征1删除特征2），此时发现： 映射后的点与点之间的距离相对比较大，也就是说此时点与点之间有很高的可区分度； 映射后的点与点之间的距离相对比较大...将样本从二维平面降到一维平面也就是一根直线上，那么相当于在二维平面上找一条直线。如下图所示，一条倾斜的直线，如果我们将所有样本点都映射到这根直线上。 ? 此时降维后的样本如下图所示： ?...在线性回归中，寻找一条直线使得特征和输出标记之间的MSE尽可能的小，在二维坐标中，这些线都是垂直于x轴的； 在主成分分析法中，对于二维特征而言，寻找一个轴，使得样本在这个轴上投影后的样本方差最大，此时线不是垂直于
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。...其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达 最小二乘法与梯度下降法：梯度下降法可以使用tensorflow模块 最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值，那它们有什么区别呢...2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：左上角 其中为 xi第i组数据的independent variable...在平面上有n个不重合种子点（节点），把平面分为n个区域，使得每个区域内的点到它所在区域的种子点（节点）的距离比到其它区域种子点（节点）的距离近。每个区域称为该种子点（节点）的Voronoi区域。...Delaunay三角剖分的定义： 定义1：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。
虽然在目前的数据上看，这两个分类器的分类结果是一样的，但如果考虑潜在的其他数据，则两者的分类性能是有差别的。 为什么叫决策面，而不是决策线？在图1里，样本是二维空间中的点，1维的直线可以分开它们。...而这两条平行虚线正中间的分界线就是在保持当前决策面方向不变的前提下的最优决策面。不同方向的最优决策面的分类间隔通常是不同的，那个具有“最大间隔”的决策面就是SVM要寻找的最优解。...对于图1中的数据，A决策面就是SVM寻找的最优解，而相应的三个位于虚线上的样本点在坐标系中对应的向量就叫做支持向量。 从表面上看，我们优化的对象似乎是这个决策面的方向和位置。...而在经过漫长的公式推导后，你最终会发现，其实与线性决策面的方向和位置直接相关的参数都会被约减掉，最终结果只取决于样本点的选择结果。...的支持向量样本点， image.png 原来的任务是找到一组参数 使得分类间隔 最大化，根据上式就可以转变为 的最小化问题，也等效于 的最小化问题。
假如我们把r从1维推广到任意维，则我们希望降维的标准为样本点在这个超平面上的投影尽可能分开，或者说样本点到这个超平面的距离足够近。基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。 2....观察上图，我们将所有的点分别向两条直线做投影，基于前面PCA最大可分的思想，我们要找的方向是降维后损失最小，可以理解为投影后的数据尽可能的分开。...我们来看看原数据协方差矩阵和通过基变换后的协方差矩阵之间的关系。设原数据协方差矩阵为C，P是一组基按行组成的矩阵，设Y=PX，则Y为X对P做基变换后的数据。...并且对角元素按照从大到小依次排列，那么P的前k行就是要寻找的基，用P的前k行组成的矩阵乘以X就使得X从n维降到了r维。 我们希望投影后的方差最大化，于是优化目标为 ?...其中tr表示矩阵的迹，利用拉格朗日函数可以得到 ? 对P进行求导，整理得到 ? 3. PCA推导:基于最小投影距离 ? ? ? 可以发现，和第二节基于最大投影方差的优化目标完全一样。
假定对于一个点 x，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0， w是垂直于超平面的一个向量，γ 为样本 x 到超平面的距离，如下图所示： 根据平面几何知识，有： 其中 ||w|| 为 w 的二阶范数（...设二维空间存在一个超平面实现二类可分如下图所示： 图中的斜线表示超平面 g(x) = w*x + b = 0，二维平面上一点 X 在超平面的距离投影为 X’，则二者关系可表示为 X = X’ + λ...w（w 表示超平面的梯度向量），将 X 代入到 g(x)得： 点到超平面的距离即是 X 与 X’ 之间的距离： 该公司为高等数学中点到平面的距离公式，只不过这里点和平面表达式的系数都用向量表示了。...支持向量：样本点中与分离超平面距离最近的样本点的实例 最大间隔超平面的选取只与支持向量有关。 对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。...所以，我们在原来的目标函数后面加上一项，使得这些 ξi 的总和也要最小，即软间隔支持向量机的学习问题如下（原始问题）： 其中 C是惩罚系数，用于控制目标函数中两项（“寻找 margin 最大的超平面”
激光频率梳 3D 轮廓测量技术与平晶干涉法的融合，为高精度平面度观察提供了兼具纳米级精度与全场三维表征能力的新方案。...（二）平晶干涉的相位调制机制将直径 100mm 的石英平晶（平面度 面上，形成空气楔干涉腔。...（三）融合测量的三维平面度重建通过平移台（精度 0.1μm）驱动平晶进行亚波长步距扫描，每次扫描获取一组干涉条纹图。...（二）大尺寸平面全场三维表征融合技术结合平晶的大面积覆盖能力（最大直径 300mm）与频率梳的绝对光程溯源，实现大尺寸平面的全场高精度测量。...在1m超长工作距离下，仍能保持微米级精度，革新自动化检测技术。
============= 问题描述： 给定二维平面上任意点集，计算包围这些点集的最小凸包，并绘制折线图显示凸包多边形。...分治法思路与使用行列式计算三角形面积从而寻找距离直线最远点的实现见：Python使用分治法高效求解任意点集的凸包（源码+动画演示） 本文代码核心思路为借助于点到直线的距离计算公式寻找距离直线最远的点。...设直线方程为y-kx-b=0，则任意点坐标带入直线方程后，值大于0表示在直线上方，小于0表示在直线下方，等于0表示恰好在直线中。更多算法优化与代码优化详见注释。 几次运行结果：
Numpy中的 argmin 与 argmax 函数 argmin 和 argmax 函数分别用于查找数组中最小值和最大值的索引位置。这些函数在需要获取极值位置而不是具体数值时非常有用。...在多维数组中使用 np.argmin() 与 np.argmax() np.argmin() 和 np.argmax() 同样适用于多维数组，但它们返回的是展平数组中的索引。...() 函数分别返回了二维数组 arr 中最小值和最大值的展平索引位置，然后通过 np.unravel_index() 函数将其转换为对应的多维坐标。...寻找股票价格的最高和最低点 假设有一只股票在一段时间内的每日收盘价，使用Numpy的聚合函数可以轻松找到最高价和最低价及其对应的日期。...分析学生考试成绩的最高分和最低分 在分析一组学生的考试成绩时，了解最高分和最低分及其对应的学生对于教师评估班级整体表现非常有帮助。
数据结构与算法面试题：给定 n 个非负整数 a1,a2,a3,…,an，每个数代表坐标中的一个点(i, ai)，请找出两个点之间的最大距离。...（提示：动态规划） 简介：给定 n 个非负整数 a1,a2,a3,…,an，每个数代表坐标中的一个点(i, ai)，请找出两个点之间的最大距离。...（提示：动态规划） 算法思路 算法实现思路： 使用动态规划的方法进行求解。具体来说，用left[i]表示第i个数左侧最小的数，用right[i]表示第i个数右侧最大的数。...left[0] = nums[0]; // 初始化，左边最小为nums[0] right[n - 1] = nums[n - 1]; // 初始化，右边最大为nums[...1], nums[i]); } int maxDiff = 0; for (int i = 0; i 最小和右边最大之差的最大值
所以要理解SVM首先要明白的就是线性可分和线性分类器。 ? 可以先解释这张图，通过这张图就可以了解线性分类器了。 这是一个在二维平面的图。其中实心点和空心点是分别属于两类的，Origin 是原点。...所以该直线就是我们上面说的超平面，在二维空间中它是一条直线，三维空间是一个平面。。。等等，下面就统称为超平面 这个超平面上的点都满足 ? ...（1） 这里需要解释一下： x 在二维平面中不是指横坐标值，而是指二维平面中点的向量，在文本分类中就是文本的向量表示。...所以二维平面中，该表达式也可以表示为： ? （2） 继续上图的解释，其中原点到超平面的距离为 ? 这个可以很容易推导出来,以二维平面为例，上述表达式可以这么转换 ?...所以我们接下来的工作就是最大化几何间隔，事实上也就是求||w||的最小值。
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