= pm.HalfNormal('sigma', sd=1)1.2 后验采样后验采样是贝叶斯推断的核心步骤，它通过采样方法获取参数的后验概率分布。...with model: # 执行马尔科夫链蒙特卡洛采样 trace = pm.sample(5000, tune=1000)1.3 后验分析后验分析是对后验采样结果进行分析和解释的过程，在PyMC3...# 查看参数的后验概率分布直方图pm.plot_posterior(trace)# 汇总参数的统计指标pm.summary(trace)# 计算参数的HPD置信区间pm.stats.hpd(trace[...import pymc3 as pmwith pm.Model() as model: # 定义随机变量 x = pm.Normal('x', mu=0, sd=1) y = pm.Normal...在贝叶斯推断中，我们将参数视为随机变量，并使用贝叶斯公式根据先验概率和似然函数来计算后验概率。贝叶斯推断的一个重要步骤是后验采样，通过生成符合后验分布的样本来近似表示后验概率分布。
线性回归的频率派视角可能是你所熟悉的、从学校学到的版本：模型假设反应变量（y，也称因变量）是一组权重和预测变量（x，也称自变量）乘积的线性组合。...这就是对参数 β 的最大似然估计，因为它是在给定输入 X 和输出 y 的条件下最有可能的 β 值。矩阵形式表达的封闭解如下： ?...不仅响应变量是从概率分布中生成的，而且假设模型参数也来自于概率分布。模型参数的后验分布是以训练的输入和输出作为条件的。 ? 其中，P(β|y, X) 是给定输入和输出时的模型参数的后验概率分布。...它等于输出的似然 P(y|β, X) 乘以给定输入的参数 β 的先验概率 P(β|X) 并且除以归一化常数。这是贝叶斯定理的一个简单表达形式，是支撑贝叶斯推断的基础。 ?...实现贝叶斯线性回归 实际上，对于连续变量来说，估算模型参数的后验分布是很困难的。因此我们采用抽样方法从后验分布中抽取样本，用来对后验分布取近似。
用PyMC3进行贝叶斯线性回归 在本节中，我们将对统计实例进行一种历史悠久的方法，即模拟一些我们知道的属性的数据，然后拟合一个模型来恢复这些原始属性。 什么是广义线性模型？...GLM允许具有除正态分布以外的误差分布的响应变量（参见频率分区中的上述）。 用PyMC3模拟数据并拟合模型 在我们使用PyMC3来指定和采样贝叶斯模型之前，我们需要模拟一些噪声线性数据。..."x", y="y", data=df, size=10) plt.xlim(0.0, 1.0) 输出如下图所示： ?...然后我们将找到MCMC采样器的最大后验概率（MAP）估计值。...然后我们绘制100个采样的后验预测回归线。最后，我们绘制使用原始的“真实”回归线和β1=2的参数。
/ 后验预测分布" 。"...让我们与我们之前使用“lm”的估计进行比较：plot(y ~ x)图 3. 北半球海冰范围随时间的变化（比较 Stan 线性模型拟合和一般 lm 拟合）。结果与lm 输出相同 。...这是因为我们使用了一个简单的模型，并且在我们的参数上放置了非信息先验。将回归线估计中的可变性可视化的一种方法是绘制来自后验的多个估计。plot(y ~ x, pch = 20)图 4....stan(stn_oel)plot(y ~ x)图 5. 北半球海冰范围随时间的变化（Stan 线性模型拟合）。后验预测发生了什么变化？模型是否更好地拟合数据？为什么模型拟合发生了变化？...我们可以调查每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观察值（默认线为 1:1）scttrg(y = y, yrp = yrep)图 14. 每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观测值。
// 后验预测分布" 。"...让我们与我们之前使用“lm”的估计进行比较：plot(y ~ x)图 3. 北半球海冰范围随时间的变化（比较 Stan 线性模型拟合和一般 lm 拟合）。结果与lm 输出相同 。...这是因为我们使用了一个简单的模型，并且在我们的参数上放置了非信息先验。将回归线估计中的可变性可视化的一种方法是绘制来自后验的多个估计。plot(y ~ x, pch = 20)图 4....stan(stn_oel)plot(y ~ x)图 5. 北半球海冰范围随时间的变化（Stan 线性模型拟合）。后验预测发生了什么变化？模型是否更好地拟合数据？为什么模型拟合发生了变化？...我们可以调查每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观察值（默认线为 1:1）scttrg(y = y, yrp = yrep)图 14. 每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观测值。
为了说明问题，该数据集的贝叶斯分位数回归模型（可以拟合如下）。rq(血清浓度~年龄, tau=0.5)摘要函数提供估计值和95%的置信区间绘制数据，然后将五条拟合的RQ线叠加在散点图上。...在这种情况下，我们使用以下代码R> x=as.matrix(x)R> rq(y~x,tau = 0.5, method="BLqr")模型法可用于确定回归中的活跃变量。 ...图4中的路径图显示，生成的样本迅速穿越了后验空间，图5中的边际后验直方图显示，条件后验分布实际上是所需的平稳单变量常态。 小麦数据我们考虑一个小麦数据集。...下面的命令给出了τ=0.50时Tobit RQ的后验分布。...rq(y~x,tau=0.5, methods="Btqr")还可以拟合贝叶斯lassoTobit 分位数回归和贝叶斯自适应lassoTobit 分位数回归。
这种算法的一个例子可以在下图中看到。 可以看出，算法的实时交易结果完全超出了我们的预测范围，算法的运行情况比我们的预测差。这些预测是通过线性拟合累积返回的值生成的。然后我们假设这种线性趋势不断前进。...由于我们对将来进一步的事件有更多的不确定性，因此线性锥体正在扩大，假设返回值的属于正态分布，并从后验数据估计出方差。...例如，对于很少的数据点，我们估计不确定度将被广泛的后验分布反映出来。 随着我们收集更多的数据，我们对模型参数的不确定性将会降低，我们后验分布范围将会越来越窄。...该模型在PyMC3中拟合的结果是模型参数mu（均值）和sigma（方差）的后验分布。 现在我们从mu后验分布中获取一个样本，并从sigma后验分布中抽取一个样本，用它们构建正态分布。...表示的就是： posterior predictive check 后验预测检验（PPC）方法，有效地评估了模型对观察数据的拟合。 该方法采用后验预测分布，根据观察到的样本值生成可观察样本值。
这种方法本质上是贝叶斯方法，所以我们可以指定先验来告知和约束我们的模型，并得到后验分布形式的不确定性估计。使用MCMC采样算法，我们可以从后验中抽样灵活地估计这些模型。...这些算法拟合后验的分布（比如正态分布），将采样问题转换为优化问题，而不是从后验中采样。...不过我们将使用最近加入到PyMC3全新的ADVI变分推理算法。这种算法更快而且能够更好地扩展。注意，这是平均场近似，所以我们忽略后验相关性。...现在我们已经训练了模型，接下来我们使用后验预测检查（PPC）在测试集上进行预测。我们使用sample_ppc()从后验（从变分估计中采样）中生成新的数据（在此例中是类别预测）。...预测值中的不确定性 目前为止，我向大家展示的所有事情都能用非贝叶斯神经网络完成。对于每个类别的后验预测的平均值应该与最大似然预测值相同。然而，我们也可以看看后验预测的标准差来了解预测中的不确定性。
这并没有为你提供任何信息，即人口参数位于你所分析的非常具体和唯一的样本中的置信区间边界内的可能性有多大。在贝叶斯分析中，你推断的关键是感兴趣的参数的后验分布。...另外，你也可以使用后验的平均数或中位数。使用相同的分布，你可以构建一个95%的置信区间，与_频率_主义统计中的置信区间相对应。除了置信区间之外，贝叶斯的对应区间直接量化了人口值在一定范围内的概率。...问题：解释估计效果、其区间和后验分布年龄_似乎是预测博士延期的一个相关因素，后验平均回归系数为2.317，95%HPD（可信区间）[1.194 3.417]。...另外，age2似乎也是预测博士延期的一个相关因素，后验平均值为-0.022，95%可信区间为[-0.033-0.01]。...向下滑动查看结果▼问题： 每个贝叶斯模型都使用一个先验分布。描述一下回归系数的先验分布的形状。检查使用了哪些默认的先验。（Jags）利用一个非常宽的正态分布来得出这个无信息的先验。
虽然智商分数和工资之间可能存在轻微的正线性关系，但智商充其量只是一个粗略的工资预测指标。我们可以通过拟合一个简单的线性回归来量化这一点。...回想一下，给定σ2的α和β的后验分布是正态的，但略微遵循一个具有n−p−1自由度的t分布。在这种情况下，p=1，因为智商是我们模型中唯一的对数工资预测因子。...因此，α和β的后验概率都遵循933自由度的t分布，因为df非常大，这些分布实际上是近似正态的。 在参考先验p（α，β，σ2）∞1/σ2下，给出β的95%后验置信区间，即IQ系数。...虽然0.0455的后验概率听起来很小，但它比分配给它的统一先验概率大得多，因为有216个可能的模型。 在模型平均法下，还可以可视化系数的后验分布。我们将智商系数的后验分布绘制如下。...为了得到y5的预测分布，我们可以先从σ2的后验点模拟，然后再从μ模拟y5。我们对y5年的预测结果将来自一项新的观测结果的后验预测分布。下面的示例从y5的后验预测分布中提取100,000次。
后验概率的数值计算 在本节中，我们将介绍式 (5) 的两个典型应用：（i）在测试点 x 处评估后验分布的均值和标准差，（ii）从后验概率中直接采样函数 f_hat。...结果是橙色相对蓝色后验估计更加紧密平滑。在这两幅图中，实曲线表示后验分布均值，竖线表示一个σ置信区间。 ?...我们可以像附录中评估后验分布那样直接进行积分。但更快的方法是注意到 f 积分后，y 值服从如下的正态分布 ? 其中σ^2 * I_00 在式（6）中定义，由此得出， ?...首先写这样一个公式，表示在 x 处看到一个给定的 y 值的概率。具体如下， ? 这个公式是 logistic 回归的一个正常非线性泛化。此外，f 的先验概率再次得到等式（3）。...使用此式和（A8），我们可以得到 f 的后验概率 ? 利用这个公式，可以很容易地从近似后验中获得置信区间和样本，类似于回归。 ?
因此，贝叶斯优化利用先验知识逼近未知目标函数的后验分布从而调节超参数就变得十分重要了。本文简单介绍了贝叶斯优化的基本思想和概念，更详细的推导可查看文末提供的论文。...下面我们绘制了另外一张非线性目标函数曲线图。我们发现对于给定的目标函数，在馈送了所有的观察样本后，它将搜寻到最大值。即寻找令目标函数最大的参数（arg max）。 ?...贝叶斯优化方法在目标函数未知且计算复杂度高的情况下极其强大，该算法的基本思想是基于数据使用贝叶斯定理估计目标函数的后验分布，然后再根据分布选择下一个采样的超参数组合。...高均值意味着我们在较大偏移/偏差下选择下一点（x）。 在给定前 t 个观察样本，我们可以利用高斯过程计算出观察值的可能分布，即： ?...最后，y 为观察样本值的 t 维向量。 ? 上面的概率分布表明在拟合数据后，样本点 x 的预测值 y 成高斯分布。并且该高斯分布有样本均值和样本方差这两个统计量。
结果是橙色相对蓝色后验估计更加紧密平滑。在这两幅图中，实曲线表示后验分布均值，竖线表示一个σ置信区间。 ? 2....我们可以像附录中评估后验分布那样直接进行积分。但更快的方法是注意到 f 积分后，y 值服从如下的正态分布 ? 其中σ^2 * I_00 在式（6）中定义，由此得出， ?...GP 搜索法的想法是在 GP 后验的基础上获得一个得分函数。这个得分函数用来对搜索给定点的信息进行编码，它可以对探索（explore）和利用（exploit）形成一种权衡。...首先写这样一个公式，表示在 x 处看到一个给定的 y 值的概率。具体如下， ? 这个公式是 logistic 回归的一个正常非线性泛化。此外，f 的先验概率再次得到等式（3）。...使用此式和（A8），我们可以得到 f 的后验概率 ? 利用这个公式，可以很容易地从近似后验中获得置信区间和样本，类似于回归。
1:p, main = "预测因子之间的相关性") 点击标题查阅往期内容 R语言中的block Gibbs吉布斯采样贝叶斯多元线性回归 01 02 03 04 rstan中实现 统一先验分布 如果模型没有明确指定先验分布...注意这个先验可能是不合适的，但是只要数据创建了一个合适的后验值就可以了。...(PPD)和JAGS预测分布绘制样本 #提取每个参数的样本 samps <- samp[[1]] Yp.samps <- samps[,1:np] #计算JAGS预测的后验平均值...beta.mn <- colMeans(beta.samps) # 绘制后验预测分布和JAGS预测 for(j in 1:5) # JAGS预测 y <- rnorm(...20000,mu,sigma.mn) plot(density(y),col=2,xlab="Y",main="PPD") # 后验预测分布 lines(density(Yp.samps
2.3 高斯过程的先验和后验分布在高斯过程中，先验分布和后验分布是两个重要概念：先验分布：在没有观察数据的情况下，假设函数的分布。通常，先验分布假设为零均值和核函数定义的协方差矩阵。...后验分布：在观察到数据后，更新函数的分布。3. 高斯过程的优缺点3.1 优点高斯过程在机器学习中具有以下优点：不确定性估计：高斯过程能够自然地给出预测的不确定性，对于风险评估和决策具有重要意义。..., return_std=True)结果可视化绘制拟合曲线和不确定性范围：# 绘制拟合曲线和不确定性plt.figure(figsize=(10, 6))plt.scatter(X, y, c='b',...预测战斗胜率：红色曲线表示高斯过程回归模型对战斗胜率的预测值。这条曲线平滑地通过数据点，并尽量接近实际观测值，显示了模型对数据的拟合能力。置信区间：图中橙色阴影区域表示预测值的 95% 置信区间。...我们展示了高斯过程回归模型在预测战斗胜率方面的应用。模型能够较好地拟合数据，并提供置信区间以表示预测的不确定性。每天一个简单通透的小案例，如果你对类似于这样的文章感兴趣。
PyMC3(现在简称为PyMC)是一个贝叶斯建模包，它使数据科学家能够轻松地进行贝叶斯推断。 PyMC3采用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)方法计算后验分布。...() 上面的结果我们作为基线模型与我们后面的贝叶斯回归进行对比 要使用PyMC3，我们必须初始化一个模型，选择先验并告诉模型后验分布应该是什么，我们使用100个样本来进行建模，: # Start our...= pm.sample(100,return_inferencedata=True) 该代码将运行MCMC采样器来计算每个参数的后验值，绘制每个参数的后验分布: with model_100:...18, point_estimate='mean', rope_color='black') 可以看到这些后验分布的平均值与...10_000 = pm.sample(10_000,return_inferencedata=True) 看看参数的后验分布: with model_10_100: az.plot_posterior
x * beta , siga); 产生的数量 // 后验预测分布" 。...让我们与我们之前使用“lm”的估计进行比较： plot(y ~ x) 图 3. 北半球海冰范围随时间的变化（比较 Stan 线性模型拟合和一般 lm 拟合）。 结果与lm 输出相同 。...stan(stn_oel) plot(y ~ x) 图 5. 北半球海冰范围随时间的变化（Stan 线性模型拟合）。 后验预测发生了什么变化？模型是否更好地拟合数据？为什么模型拟合发生了变化？...poy(y, yrep\[1:200, \]) 图 12. 比较随机后验抽取的估计值。 在这里，我们看到数据（深蓝色）与我们的后验预测非常吻合。 我们还可以使用它来比较汇总统计的估计值。...我们可以调查每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观察值（默认线为 1:1） scttrg(y = y, yrp = yrep) 图 14. 每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观测值。
beta , siga); 产生的数量 // 后验预测分布" 。...让我们与我们之前使用“lm”的估计进行比较： plot(y ~ x) 图 3. 北半球海冰范围随时间的变化（比较 Stan 线性模型拟合和一般 lm 拟合）。 结果与lm 输出相同 。...stan(stn_oel) plot(y ~ x) 图 5. 北半球海冰范围随时间的变化（Stan 线性模型拟合）。 后验预测发生了什么变化？模型是否更好地拟合数据？为什么模型拟合发生了变化？...poy(y, yrep[1:200, ]) 图 12. 比较随机后验抽取的估计值。 在这里，我们看到数据（深蓝色）与我们的后验预测非常吻合。 我们还可以使用它来比较汇总统计的估计值。...我们可以调查每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观察值（默认线为 1:1） scttrg(y = y, yrp = yrep) 图 14. 每个数据点的平均后验预测与每个数据点的观测值。
其思想是我们从均匀分布中选择 x（在本例中为 p_{respond} ）和 y（在本例中为 p_{respond} 的后验概率）的随机值。...然后，我们只接受样本，如果 y x) - 在本例中，如果随机选择的 y 值小于 y 的实际后验概率。...线性回归模型的最简单版本（具有单个自变量）可以表示如下： y = x * \beta_x + \beta_0 + \epsilon \beta_x 值告诉我们，我们期望 y 在给定 x 变化一个单位时会发生多大变化...然而，在线性回归的背景下，这个术语通常用来指代将模型拟合到数据；估计的值（ \hat{y} ）有时被称为“预测”，而独立变量被称为“预测变量”。...+ 1*\beta_2 … \hat{y}_8 = studyTime_8*\beta_1 + 1*\beta_2 请记住，我们的目标是确定给定 X 和 Y 的已知值的最佳拟合值 \beta 。
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