梯度下降（Gradient Descent），就是一种用来求函数最小值的算法。 梯度下降的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合 ，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。...梯度下降的算法公式如下： 其中α是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数...在梯度下降算法中，还有一个更微妙的问题，梯度下降中，我们要更新 和 ，当j=0和j=1时，会产生更新，所以你将更新J(θ0)和J(θ1)。...实现梯度下降算法的微妙之处是，在这个表达式中，如果你要更新这个等式，你需要同时更新θ0和θ1。...这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数J，不只是线性回归中的代价函数J。 · END · 一个有理想、有热血的吉吉 ----
线性回归、代价函数和梯度下降法 线性回归预测函数： 逻辑回归预测函数： 线性回归损失函数： 逻辑回归损失函数： 如果直接使用线性回归的MSE会让逻辑回归的代价函数变成非凸函数...），所以太大的步长会导致在坡底(局部最小值)震荡 初始化起点也能影响梯度下降的速度和得到的局部最小值（局部最小值可能有很多个，初始化下降起点(也就是w和b)会影响局部最小值）。...，最终影响结果 如果刚好初始化值为局部最小值，则代价函数J_\theta的值为0 梯度下降时，学习率\alpha不需要变更，因为在梯度下降的过程中，代价函数的梯度\partial_{J}会随着慢慢下降而减小...，所以梯度下降的速度也会减缓 线性回归的代价函数求导后得到(二元梯度下降)： 其中\theta_{0}为常数 image.png MSE梯度下降公式： 多元梯度下降： 1.2.2 凸函数(convex...正确的学习率： 错误的学习率： 方法1：(推荐)运行过程中，根据迭代次数和代价函数的值/导数(下降速度)来判断梯度是否有效下降/收敛，也就是上述绘制曲线，通过看曲线的方式 方法2：设定一个阈值，当代价函数变化值小于该阈值则停止训练
本文链接：https://blog.csdn.net/Solo95/article/details/101387294 牛顿法和梯度下降法大家都很熟悉了，所以这里就不细讲了，直接总结两者的区别，这也是面试算法可能会问到的问题...Name Note 梯度下降 一阶优化算法 牛顿法 二阶优化算法 牛顿法： 通过求解目标函数一阶导数为0时的参数集，间接地求目标函数达到最小值时的参数。...当fff是一个正定二次函数时，牛顿法只需一次迭代就能直接跳到函数最小点，如果fff不是一个二次真正但也能局部近似为正定二次时，牛顿法需要多次迭代。...迭代更新近似函数和跳到近似函数最小点比梯度下降更快地到达临界点。这在接近局部极小点时是一个特别有用的性质，但在鞍点是有害的。 Hessian矩阵在地带过程中不断减小，可以起到逐步减小步长的效果。...缺点：Hessian矩阵的逆计算复杂，代价很大，为了解决这个问题有拟牛顿法。 梯度下降： 通过梯度(一阶)方向和步长，直接求解目标函数最小值时的参数。
深度学习常用的损失函数也是两种，和机器学习一样，我们简单复习一下： 均方差 均方差一般用来回归模型，它可以写成： 这里的k表示样本的维度， 表示的是样本第k维的真实值，而 模型在k维度上的输出。...梯度 深度学习和机器学习一样，也是通过梯度的方式来调整神经网络当中的参数从而达到学习的目的。...梯度求解出来了之后，很自然地就会想到的就是梯度下降法。...这里的 是一个参数，表示学习率，用来控制梯度下降的速度，防止陷入局部最优解当中。...由于整个函数成一个类似马鞍的形状， 所以这个局部最优点称为鞍点。 比如在下图当中，红色点的部分各个方向的梯度均为0，但是它显然不是函数的最低点。但是通过梯度下降法到达这个点之后就无法再进行更新了。
将线性回归得到的预测值代入Sigmoid函数后即可变为逻辑回归， 增加隐层和输出就是神经网络了，如图 ?...学习计算代价函数 直观理解梯度下降 线性回归---预测房价 正文开始 ?...得到代价函数后，调整参数使它们拟合，一种常用的让代价函数J的值最小的方法叫作梯度下降。 2.梯度下降 举例来看，根据某组数据计算得到的参数为 θ0 θ1的代价函数绘制为下图 ? ?...开始时，我们初始化参数 θ0 θ1，得到的代价函数的值很大，像位于整个模型的山坡上，这意味着我们的线性回归模型的预测值和真实值误差很大，所以梯度下降形象来说就是“沿着最陡的方向下山” ?...化简偏导数后得到了一元线性回归的梯度下降算法 编程实战——线性回归预测房租 现有一组数据（样本）房子的面积和对应的租金，试预测其走向 数据 ? 算法 ? ?
21世纪，随着计算能力的提升（如GPU）和大数据的积累，深度学习迎来了爆发式发展。梯度下降和损失函数作为其核心，贯穿了从简单线性回归到复杂卷积神经网络的演进。...其核心思想基于微积分中的梯度，即函数变化率最大的方向。数学上，梯度是目标函数对各参数的偏导数构成的向量。批梯度下降（BGD）BGD使用整个训练数据集计算损失函数的梯度，然后更新参数。...这些模型以其庞大的参数数量和对大规模数据集的训练能力著称，其发展离不开深度学习的数学基础，特别是梯度下降和损失函数的理论支持。...从简单的线性回归到复杂的分类问题，梯度下降与损失函数的结合应用贯穿了深度学习的各个领域。随着计算资源和优化算法的持续进步，大型AI模型的趋势可能持续。...大型AI模型的趋势得益于梯度下降的优化能力、损失函数在预训练中的关键作用，以及计算资源的支持。研究表明，过参数化模型的泛化能力提升和高效优化技术是主要驱动力，而损失函数的选择则定义了学习任务。
，使得训练集的输入获得的实际输出与理想输出尽可能相近。...为什么梯度下降的更新方向是梯度的负方向？ 损失函数 ? 是一个包含多个参数的函数，假设将损失函数简化为只包含两个参数的 ? , 如下图所示，我们的目标就是找到函数 ? 的全局最小值。...2 优化算法的理解和Python实现 在推导了梯度下降算法，再来看各个优化算法也就不难了。引用【1】中总结的框架，首先定义：待优化参数： ? ，目标函数： ? ，初始学习率 ? 。...： 计算目标函数关于当前参数的梯度： ? 根据历史梯度计算一阶动量和二阶动量： ? 计算当前时刻的下降梯度： ? 根据下降梯度进行更新： ? 掌握了这个框架，你可以轻轻松松设计自己的优化算法。...注：下面的内容大部分取自引用【2】和【3】 3 SGD 随机梯度下降法不用多说，每一个参数按照梯度的方向来减小以追求最小化损失函数，梯度下降法目前主要分为三种方法，区别在于每次参数更新时计算的样本数据量不同
01 — 笔记 本小节将介绍逻辑回归代价函数稍微简化一点的版本，以及如何使用梯度下降法去拟合逻辑回归模型。通过本节学习后，我们应该能够从理论上实现一个逻辑回归算法了。...那么，这里解决问题的关键就是找到那组使代价函数J(\theta)取最小值的模型参数。 我们在这里看看梯度下降法是怎么做的。 梯度下降法 我们使用梯度下降法找到让代价函数最小的那组参数： ?...这个和前面线性回归的时候是类似的，就是给出一个初始的参数\theta，然后我们根据这个点处的梯度方向，然后往梯度下降的方向走\alpha倍的一小步，然后不停的迭代，找到那个最低点。...到了这里，你会发现这个梯度下降的算法和线性回归的时候的那个形式是几乎一样的，需要注意的是这里的假设函数和线性回归的时候是不一样的。 ?...我们通过观察训练样本，给出大概的模型函数，然后再用梯度下降法进行训练找到使代价函数最小的那组参数，然后就可以用这个训练好的逻辑回归模型对新的输入进行分类了。
迭代法，即在每一步update未知量逐渐逼近解，可以用于各种各样的问题（包括最小二乘），比如求的不是误差的最小平方和而是最小立方和。...梯度下降是迭代法的一种，可以用于求解最小二乘问题（线性核非线性都可以），但不仅限于最小平方和问题。高斯-牛顿法是另一种经常用于求解非线性最小二乘的迭代法（一定程度上可视为标准非线性最小二乘求解方法）。...还有一种叫做Levenberg-Marquardt的迭代法用于求解非线性最小二乘问题，就结合了梯度下降和高斯-牛顿法。...所以如果把最小二乘看做是优化问题的话，那么梯度下降是求解方法的一种，是求解线性最小二乘的一种，高斯-牛顿法和Levenberg-Marquardt则能用于求解非线性最小二乘。...梯度下降是迭代法的一种，可以用于求解最小二乘问题（线性和非线性都可以）。
引言 在深度学习的领域，全连接层、损失函数与梯度下降是三块重要的基石。如果你正在踏上深度学习的旅程，理解它们是迈向成功的第一步。...(b)：偏置向量，为网络提供更大的表达能力。 (f)：激活函数，为模型引入非线性。 全连接层的核心是通过权重矩阵和偏置向量的线性变换学习输入和输出之间的映射关系。...第三部分：梯度下降——优化的利器 3.1 梯度下降的原理 梯度下降是一种迭代优化算法，通过最小化损失函数来寻找最优参数。它的核心思想是：沿着损失函数的负梯度方向调整参数，直到损失值最小。...(\nabla_\theta J(\theta))：损失函数对参数的梯度。 3.2 梯度下降的三种变体 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）： 对整个数据集计算梯度。...，结合了动量和 RMSProp 的优点，适合大多数任务： optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001) 总结 全连接层、损失函数与梯度下降是深度学习的基石
为什么要介绍梯度下降法和牛顿法那？ 这里提及两个算法模型GBDT和XGBoost,两个都是boosting模型。...GBDT在函数空间中利用梯度下降法进行优化 XGBoost在函数空间中用牛顿法进行优化 最终的目标函数只依赖于每个数据点的在误差函数上的一阶导数和二阶导数。...梯度下降法的推导 梯度下降法在机器学习和深度学习里用的非常多，一般教程或者教材在解释梯度下降法的时候会用形象化的方式（二次曲线、下凸面等），想必大家都知道如何用形象化的方式来说明梯度下降法的有效性。...容易推广到多元函数。另外，在多元函数中，还可以补充证明梯度方向是下降最快的方向。 详见：知乎为什么梯度下降能找到最小值？ 2. 牛顿法 说完了梯度下降法，顺便介绍下牛顿法的推导。...梯度下降法和牛顿法的异同 从上面的证明过程可以看出，梯度下降法和牛顿法虽然都可以用泰勒展开推导，但推导所依据的思想还是有一点不一样的。 在实际运用中，牛顿法和梯度下降法都是广泛应用于机器学习中的。
另外，复习一下矩阵和求导等知识有助于我们理解深度学习的一些数学原理。 梯度下降法 求解损失函数最小问题，或者说求解使损失函数最小的最优化问题时，经常使用搜索的方法。...微积分课中提到，在某个点，函数沿着梯度方向的变化速度最快。因为我们想最小化损失函数 ，因此，我们每次都沿着梯度下降，不断向 降低最快的方向移动。...用图像直观来看，损失函数沿着梯度下降的过程如下所示。迭代过程最终收敛在了最小值附近，此时，梯度或者说导数接近0。 ?...损失函数沿梯度下降的过程 回到学习率 上， 代表在某个点上，我们对梯度的置信程度。一般情况下， 。 越大，表示我们希望损失函数以更快的速度下降， 越小，表示我们希望损失函数下降的速度变慢。...接下来，我们使用NumPy实现一个线性回归模型，分别使用批量梯度下降和随机梯度下降。
在机器学习和深度学习的领域中，梯度下降算法是优化模型参数的核心工具之一。...而批量梯度下降（BGD）、随机梯度下降（SGD）和小批量梯度下降（MBGD）是梯度下降算法的三种常见变体，它们在计算效率、收敛速度和准确性等方面各有特点。...原理与计算方式 批量梯度下降（BGD）：BGD在每次迭代时，都会使用整个训练数据集来计算损失函数的梯度，然后根据梯度更新模型参数。...随机梯度下降（SGD）：与BGD相反，SGD每次迭代只随机选取一个样本，根据该样本计算损失函数的梯度并更新参数。...SGD：SGD每次只依据一个样本更新，导致其收敛过程具有较大的随机性和波动性，可能会在最优解附近震荡，难以精确收敛。
01 — 笔记 本节讲的高级优化是相对于上一节的梯度下降法来说的，相对于上一节的梯度下降法本节的优化算法速度更快，更适合解决大型的机器学习问题。是什么样的高级算法呢？ 除了梯度下降法还有？...回忆一下上一小节梯度下降法的思路。 首先，梯度下降法是通过梯度方向指明参数\theta变化的方向； 其次，迭代变换，知道找到那个能使代价函数J(\theta)最小那组\theta. 如下图： ?...上图中，使用梯度下降法的时候每一步我们都需要编码做两件事（1）求偏导数；（2）求代价函数的值。 为了实现上面的两个小目标，除了梯度下降法，还有几种更加高级、复杂的算法可选。如下图： ?...笼统地讲，就是使用指定的梯度函数、梯度函数的初始输入、最优化参数选项这三个东东来迭代寻找局部最优解；找到最优解后呢，把取得最优解的参数、函数最终返回原因的标示这三个东东抛回给用户，这里分别存在optTheta...总结 总结一下，我们使用梯度下降一类的方法对有n+1个维度的参数向量的代价函数进行优化的关键是定义一个如下图所示的函数，函数中要给出代价函数的求法、每个维度上的偏导数的求法，即：返回代价函数、各个方向上的梯度
梯度下降能够通过首先计算出成本函数的梯度、然后更新梯度对应的现有参数从而最小化成本函数来处理。 梯度将具有众多变量的函数转换为一个向量（稍后我们将对该话题进行讨论）。...梯度下降变体 梯度下降采用机器学习算法实现了三种主要的变体，每个变体在计算效率上各异并且都具有各自独特的优势。...函数输入由多个变量组成，因此，其中涉及的概念就是多变量演算。偏导数用于评估每个变量相对于其他变量作为常量时的变化情况。 2、梯度 梯度实质上输出的是标量值多变量函数多维输入的一维值。...这从本质上模仿了梯度下降的理念，在梯度下降中，模型通过后向传播以最终到达山的最低点。 山脉类似于在空间中绘制的数据图，行走的步长类似于学习率，感受地形陡峭程度就类似于算法计算数据集参数的梯度。...代表期望值和实验值之间误差的线称为回归线，每个残差值都可以通过与其方差与最佳拟合线连接的垂直线段描绘出来。
梯度下降能够通过首先计算出成本函数的梯度、然后更新梯度对应的现有参数从而最小化成本函数来处理。 梯度将具有众多变量的函数转换为一个向量（稍后我们将对该话题进行讨论）。...一、梯度下降变体：不止一个 梯度下降采用机器学习算法实现了三种主要的变体，每个变体在计算效率上各异并且都具有各自独特的优势。...函数输入由多个变量组成，因此，其中涉及的概念就是多变量演算。偏导数用于评估每个变量相对于其他变量作为常量时的变化情况。 2、梯度 梯度实质上输出的是标量值多变量函数多维输入的一维值。...这从本质上模仿了梯度下降的理念，在梯度下降中，模型通过后向传播以最终到达山的最低点。 山脉类似于在空间中绘制的数据图，行走的步长类似于学习率，感受地形陡峭程度就类似于算法计算数据集参数的梯度。...代表期望值和实验值之间误差的线称为回归线，每个残差值都可以通过与其方差与最佳拟合线连接的垂直线段描绘出来。
在机器学习的优化问题中，梯度下降法和牛顿法是常用的两种凸函数求极值的方法，他们都是为了求得目标函数的近似解。在逻辑斯蒂回归模型的参数求解中，一般用改良的梯度下降法，也可以用牛顿法。...梯度下降法 梯度下降法用来求解目标函数的极值。这个极值是给定模型给定数据之后在参数空间中搜索找到的。迭代过程为： ?...可以看出，梯度下降法更新参数的方式为目标函数在当前参数取值下的梯度值，前面再加上一个步长控制参数alpha。梯度下降法通常用一个三维图来展示，迭代过程就好像在不断地下坡，最终到达坡底。...为了更形象地理解，也为了和牛顿法比较，这里我用一个二维图来表示： ? 懒得画图了直接用这个展示一下。在二维图中，梯度就相当于凸函数切线的斜率，横坐标就是每次迭代的参数，纵坐标是目标函数的取值。...其中H叫做海森矩阵，其实就是目标函数对参数θ的二阶导数。 通过比较牛顿法和梯度下降法的迭代公式，可以发现两者及其相似。海森矩阵的逆就好比梯度下降法的学习率参数alpha。
编写梯度下降代码，中间输出w0，w1和loss在循环过程中每一轮的数据，这样做的意义在于之后我们自己编写的时候可以通过写个for循环来监控一下随着迭代次数的增加，模型参数的变化以及损失函数的变化。...# 基于梯度下降算法，不断更新w0和w1，从而找到最佳的模型参数 # 设定超参数 w0,w1,lrate=1,1,0.01 # lrate代表学习率 times=1000 # times表示迭代次数...w1=w1-lrate*d1 输出结果如下图，可观察到损失函数loss在不断的下降 根据训练好的模型在图上绘制样本点和回归线 # 绘制样本点 plt.grid(linestyle=':') plt.scatter...mode1.fit(输入,输出) # 通过梯度下降法计算模型参数 # 预测输出 # 输入array是一个二维数组，每一行是一个样本，每一列是一个特征。...，可以看出拟合的回归线与我们上面手动编写的线性回归模型效果相同 调用库函数进行多元线性回归 上面所举的例子是一元线性回归，那么与之类比的多元线性回归，也就是考虑x1，x2，x3...这样多个特征对输出
线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（ ）和一个或多个自变量（ ）之间建立一种关系。在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。...因此采用一个输出为随机变量的替代函数 ，满足期望值等于 ，相当于这个函数围绕着 的输出值随机波动。因此迭代过程中构建的关系为： 图解梯度下降 ?...梯度下降中的步长 下图为二维平面的求导三角型图。类比损失函数和梯度概念，图中的抛物线就是损失函数 ， 就是小球最初在的位置， 就是一次滚动后小球移动到的位置。...梯度下降每迭代一步，下降的距离是 ，是对边和邻边的根号下平方和，是二维平 面的求导三角型中的"斜边"。...它假设数据服从伯努利分布，通过梯度下降法对其损失函数（极大似然函数）求解，以达到数据二分类的目的。 逻辑回归是用来计算"事件=Success"和"事件=Failure"的概率。
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