任意数量控制点的B样条

B样条（B-spline）是一种通过一组控制点来定义平滑曲线的数学方法。B样条曲线具有局部控制的特性，这意味着改变一个控制点只会影响曲线的一小部分，而不是整个曲线。下面介绍如何通过任意数量的控制点来定义B样条曲线。

B样条基础

1. 控制点：定义曲线的关键点集合。
2. 节点向量：决定曲线在哪些参数值处改变方向的一组有序数。
3. 次数：决定了曲线的平滑程度，也影响了曲线的局部性。
4. 基函数：用于计算曲线上某一点的坐标。

定义B样条曲线

步骤 1: 确定控制点和次数

假设你有 ( n+1 ) 个控制点 ( P_0, P_1, \ldots, P_n )，并且你选择了一个次数 ( k )（( k \geq 1 )）。

步骤 2: 构造节点向量

节点向量 ( \mathbf{T} = (t_0, t_1, \ldots, t_{m+k+1}) ) 是一个非递减数列，其中 ( m = n - k )。通常，节点向量的内部节点（非端点）可以均匀分布，或者根据具体需求进行设置。

步骤 3: 定义基函数

B样条基函数 ( N_{i,k}(t) ) 是通过递归方式定义的：

• ( N_{i,0}(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } t_i \leq t < t_{i+1} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} )
• ( N_{i,k}(t) = \frac{t - t_i}{t_{i+k} - t_i} N_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i+k+1} - t}{t_{i+k+1} - t_{i+1}} N_{i+1,k-1}(t) )

步骤 4: 计算曲线上的点

对于参数 ( t ) 在区间 ( [t_k, t_{k+1}] ) 内的任意值，B样条曲线上的点 ( C(t) ) 可以通过下面的公式计算：

[ C(t) = \sum_{i=0}^{n} P_i N_{i,k}(t) ]

示例

假设我们有四个控制点 ( P_0, P_1, P_2, P_3 )，并且选择次数 ( k = 2 )。节点向量可以是 ( \mathbf{T} = (0,0,0,1,1,1) )。

• 基函数计算：
  • ( N_{0,2}(t) )
  • ( N_{1,2}(t) )
  • ( N_{2,2}(t) )
  • ( N_{3,2}(t) )
• 曲线上的点：
  • ( C(t) = P_0 N_{0,2}(t) + P_1 N_{1,2}(t) + P_2 N_{2,2}(t) + P_3 N_{3,2}(t) )

注意事项

• B样条曲线的光滑性取决于次数 ( k )。次数越高，曲线越光滑，但控制点的局部影响范围也越大。
• 节点向量的选择会影响曲线的形状和连续性。
• 实际应用中，可能需要通过调整控制点和节点向量来优化曲线的外观。

总之，B样条是一种灵活且强大的工具，可以用来创建各种复杂的平滑曲线形状。