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为什么我的关于费马质数测试的算法这么慢？

关于费马质数测试算法慢的原因可能有以下几点：

算法复杂度高：费马质数测试算法是一种基于费马小定理的算法，其原理是通过判断 a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 来判断一个数 p 是否为质数。然而，该算法的时间复杂度较高，随着待测试数的增大，计算量呈指数级增长，导致算法执行时间较长。
缺乏优化：费马质数测试算法本身并没有太多的优化手段，因此在实际应用中可能存在性能瓶颈。例如，对于大数的幂运算，传统的算法需要进行多次乘法运算，而这些乘法运算可能会消耗大量的时间。
缺乏并行计算：费马质数测试算法通常是串行执行的，即每次只能测试一个数是否为质数。在现代计算机中，多核处理器和并行计算已经成为主流，但该算法无法充分利用并行计算的优势，导致算法执行效率较低。

针对以上问题，可以考虑以下改进方案：

使用更高效的质数测试算法：费马质数测试算法虽然简单，但并不是最高效的质数测试算法。可以考虑使用更高效的算法，如米勒-拉宾算法、埃拉托斯特尼筛法等，以提高质数测试的速度。
利用并行计算：通过将质数测试任务分解为多个子任务，并利用并行计算的能力，可以同时测试多个数是否为质数，从而提高算法的执行效率。可以使用多线程、分布式计算等技术实现并行计算。
优化幂运算：对于大数的幂运算，可以采用快速幂算法等优化技术，减少乘法运算的次数，从而加快算法的执行速度。
使用硬件加速：利用现代计算机的硬件加速功能，如GPU加速、FPGA加速等，可以进一步提高质数测试算法的执行效率。

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素数检验---跨越2000年的人类智慧

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“不给力啊，老湿！”：RSA加密与破解

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数论及数论四大定理

费马大定理(费马定理) （数学史上著名的定理）费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。...伪素数，又叫做伪质数：它满足费马小定理，但其本身却不是素数。最小的伪素数是341。有人已经证明了伪素数的个数是无穷的。事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要非充分条件。...费马小定理也就是说如果一个数p满足gcd(a, p) = 1 并且a^(p-1) ≡0 (mod p), 则p是质数。但存在其特例，也就是说费马小定理有BUG，但也不能这么说。...费马小定理只能正推，不能反推。所以说是p满足费马小定理，但p不是质数，而是另外一个称呼伪素数(一定是奇数)。...2、欧拉定理在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

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《程序员数学：素数》—— 你真的了解 RSA 加密算法吗？

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M斐波那契数列

// 返回结果 } ---- 3.费马小定理: 费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么 $a^{p}-a$是p的倍数，可以表示为 $$ a ^ p \equiv a (\mod...p) $$ 如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成 $$ a ^ {p-1} \equiv 1 (\mod p)$$ 费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公因数是1，那么 $$ a^{...假如n是一个素数（质数），则φ(n) = n-1，即费马小定理注: $\equiv$是同余符号 $ a \mod p = b \mod p$ 可表示为 $ a \equiv b (\mod p)$ 推导以下表达式...$$ f(0) = a $$ $$ f(1) = b $$ $$ f(n) = f(n-1)f(n-2) = a ^ {fib(n-1)} b ^ {fib(n)} (n >= 2) $$ 通过上面费马小定理证明的结论...lld\n", powN(a, An_1.arr[0][0]) * powN(b, An_1.arr[1][0]) % MOD1); } return 0; } ---- 思考: Q: 为什么要使用费马小定理

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扒一扒那些叫欧拉的定理们（十一）——欧拉数论定理

从费马小定理到欧拉定理在讲欧拉定理前，我们先来看其更特殊而简单的形式：费马小定理。...费马小定理：若a为整数，p为质数，那么a ^ p - p一定是p的倍数，用模运算的符号可以写为： a ^ p == a (mod p) 当a不是p的倍数的时候，p | a ^ p, p都必不成立，因此也可以把结论写为...当p为质数的时候，有phi(p) = p - 1，此时退化为费马小定理。那这个结论怎么证明呢？我们先来看一下基于mod运算的一个传统证明，再来看一个揭露其物理意义和结构的巧妙解法。...费马小定理数学模型证明证明是证明出来了，可这个结论除了能做题以外，有什么实际的数学模型背景呢？...因此，这便给出了费马小定理的一个物理意义和应用背景，那就是对于一个定长序列，其互相差相位的序列可以构成循环群，在长度为质数的时候，这个循环群的大小就是长度，除了字母集合数量那么多个周期长度为1的序列除外

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2020-09-20：如何判断一个数是质数？

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【模板小程序】求小于等于N范围内的质数

;//这里保存了小于等于N的素数 26 } 附：素数筛法原理（具体出处记不得了，可以留言我补上）【算法-ACM-素数】求素数的算法及其复杂度分析关于搜寻一定范围内素数的算法及其复杂度分析... ——曾晓奇关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中常考的数论知识，在这里我跟大家讲一下寻找一定范围内素数的几个算法...把一个只见黑屏的算法优化到立竿见影，一下就得到结果。关于这个算法的时间复杂度，我不会描述，没看到过类似的记载。...关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力我不在这里多说，大家有兴趣的话可以到百度或google搜一下。我在下面列出了一个网址，上面只有个大概。更多的知识需要大家一点一点地动手收集。...2.十七世纪费马猜测，2的2^n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，可惜当n=5时，2^32+1就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。

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判断一个数是不是素数

1.素数的定义素数又名质数，指除了 1 和本身外不再有其他因数的自然数。特别规定 0 和 1 既不是质数也不是合数。最小的质数是 2，最小的合数是 4。...5.Miller-Rabin 概率素性测试算法尽管上面的 O(sqrt(n)/6) 的算法已经非常优秀了，但是面对更高数量级的“大数”却会显得力不从心，所以上面朴素简单的算法一般不会用于工程实践中，一般使用...Miller-Rabin 的理论基础来源于费马小定理，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。关于 Miller-Rabin 算法原理这里不详细展开。...，需要为 ProbablyPrime(n) 提供所需数量的测试。...对于 n 次测试，对于随机选择的非素数，返回 true 的概率最多为 (1/4)^n。

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