在numpy或matlab中从满秩的非方阵获得可逆方阵
假设你有一个满秩的NxM矩阵A，其中M>N。如果我们用C_i (维度为Nx1)表示列，那么我们可以将矩阵写成
A = [C_1, C_2, ..., C_M]如何获得原始矩阵A的第一个线性无关的列，以便构造一个新的NxN矩阵B，该矩阵是一个具有非零行列式的可逆矩阵。
B = [C_i1, C_i2, ..., C_iN]如何在matlab或python numpy中找到索引{i1, i2, ..., iN}？使用奇异值分解可以做到这一点吗？代码片段将非常受欢迎。
EDIT:为了使这一点更具体，请考虑以下python代码
from numpy import *
from numpy.linalg.linalg import det
M = [[3, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1],
[0, 2, 0, 0, 0]]
M = array(M)
I = [0,1,2,4]
assert(abs(det(M[:,I])) > 1e-8)因此，给定一个矩阵M，就需要找到一组N线性无关列向量的索引。
回答 2
Stack Overflow用户
发布于 2010-08-22 03:12:43
在MATLAB中很容易，很容易。使用QR，特别是旋转的QR。
M = [3 0 0 0 0;
0 0 1 0 0;
0 0 0 0 1;
0 2 0 0 0]
[Q,R,E] = qr(M)
Q =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
R =
3 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
E =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0E的前4列指定要使用的M列，即列1、2、3、5。如果您想要M列，只需形成乘积M*E。
M*E
ans =
3 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 2 0 0 0顺便说一句，使用det来确定一个矩阵是否奇异是绝对、肯定、绝对最糟糕的方法。
请改用rank。
从本质上讲，您不应该在MATLAB中使用det，除非您了解为什么它是一件如此糟糕的事情，并且您选择使用它。
Stack Overflow用户
发布于 2010-08-21 22:00:20
我的第一个想法是尝试M列中的N个可能的组合。这可以像这样完成(在Python中)：
import itertools
import numpy.linalg
# 'singular' returns whether a matrix is singular.
# You could use something more efficient than the determinant
# (I'm not sure what options there are in NumPy)
singular = lambda m: numpy.linalg.det(m) == 0
def independent_square(A):
N,M = A.shape
for colset in itertools.combinations(xrange(M), N):
B = A[:,colset]
if not singular(B):
return B如果您想要列索引而不是生成的方阵，只需用return colset替换return B即可。或者，您可以使用return colset,B同时实现这两个功能。
我不知道SVD会有什么帮助。事实上，除了反复试验之外，我想不出任何纯粹的数学运算可以将A转换为B(甚至是任何可以计算出B=A.Q的MxN列选择矩阵Q的运算)。但是如果你想知道它是否存在，math.stackexchange.com将是一个很好的去处。
如果您所需要的只是一种计算方法，那么上面的代码应该就足够了。
https://stackoverflow.com/questions/3539026
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