数据结构二叉树介绍

树

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。有一个特殊的结点，称为根结点

树的相关概念

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：根节点的度为6

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的结构

根节点没有前驱结点 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的

在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是二叉树，而这种叫做非树形结构

所以我们就知道了树的特点

• 子树是不能相交的（如果相交了就是图）
• 除了根节点外，每个节点有且只有一个父节点
• 一个N个节点的树有N-1条边

树的代码表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系

//明确规定树的度为N
#define N 5;
struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode* subs[N];
};

第一种写法的前提是明确规定了树的度为N，也就是说一个根结点的子结点数不能超过该值，用指针数组可以表示

struct TreeNode
{
    int val;
    struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点 
    struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点
};

第二种方法不需要规定树的度，每个根结点也可有任意个子结点，这个也是很常见的方法，被叫做左孩子右兄弟表示法

无论一个父亲结点有多少个孩子，child指针永远只会指向左边第一个孩子，而父亲的其他孩子就由前一个孩子的brother指针来指向，当一个结点没有兄弟时则指针brother置为NULL，当一个结点的child指针没有指向下一个结点也就说明该结点为叶子节点

树形结构的应用场景

二叉树

二叉树的概念

 在树形结构中，我们最常用的就是二叉树，一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成或者为空

从上图可以看出二叉树具备以下特点： (1)二叉树不存在度大于2的结点 (2)二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

      注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

特殊二叉树

 满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2K-1，则它就是满二叉树

完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的，对于深度为 K 的有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

• 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^（i-1）个结点.
• 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^n-1
• 对任何一棵二叉树,如果度为0其叶结点个数为n0度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1
• 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h=log2^(n+1)
• 二叉树的存储结构
• 顺序存储
• 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

• 那我们怎么用数组表示完全二叉树？就要用到下标计算
• 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有
• 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
• 同样可以用根据子节点求父节点
• 若孩子节点下标为i，则父节点下标就为(i-1)/2，若一个父节点可能有左孩子也有可能有右孩子，怎么判断该节点求父节点的时候用哪一个子节点，其实不管是左边还是右边有一样，整型类型会对余数取整，下标是奇数或偶数都能计算出唯一的一个父节点

• 非完全二叉树就会造成空间的浪费
• 链式存储
• 二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后续学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链