【数据结构】二叉树
- 树型结构
1.1概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的节点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
- 除根结点外其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
注意：
- 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
- 除了根结点外，每个节点有且仅有一个父节点。
- 一棵N结点的数有N-1条边。
1.2二叉树中的概念
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
- 树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂，要存储起来较为麻烦。实际中数有很多中表示方式。如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等等。
- 二叉树
2.1概念
一颗二叉树是结点的一个有限集合。该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根结点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成。
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。因此二叉树是有序数。
任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成：
2.2两种特殊的二叉树
- 满二叉树：一颗二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。即：如果一棵树的层数为K，且结点总数是,则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
2.4二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式。
2.5二叉树的基本操作
首先我们手动创建一颗二叉树：
public class BinaryTree{
public static class BTNode{
BTNode left;
BTNode right;
int value;
BTNode(int value){
this.value = value;
}
}
private BTNode root;
public void createBinaryTree(){
BTNode node1 = new BTNode(1);
BTNode node2 = new BTNode(2);
BTNode node3 = new BTNode(3);
BTNode node4 = new BTNode(4);
BTNode node5 = new BTNode(5);
BTNode node6 = new BTNode(6);
root = node1;
node1.left = node2;
node2.left = node3;
node1.right = node4;
node4.left = node5;
node5.right = node6;
}
}- 前中后序遍历
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
// 前序遍历
public void preOrder(BTNode root){
if(root == null){
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
//中序遍历
public void inOrder(BTNode root){
if(root == null){
return;
}
preOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.right);
}- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
//后序遍历
public void enOrder(BTNode root){
if(root == null){
return;
}
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}- 二叉树结点的个数：
二叉树的结点个数依旧采用子问题的思路。
每一棵树的结点个数=左树结点个数+右树结点个数+自己结点本身（即递归公式）
而左树又可以看成一棵完整的数，以此类推。那有小伙伴问什么时候递归结束嘞？
当一个节点为空的时候，递归结束。（即递归结束的条件）
//二叉树结点个数：
public int size(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
return size(root.left)+size(root.right)+1;
}- 获取叶子节点个数：
获取叶子节点个数的时候，依旧采用子问题思路。
叶子节点=左树叶子节点+右树叶子节点（递推公式）
当根的左树和右树为空的时候，即递归结束。
还有另外一种思路：
定义一个计数器。遍历整个树，遇到节点就++，最后返回计数器的值即可。
//叶子节点个数
public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null){
return 1;
}
return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
}- 获取第K层节点的个数
本题依旧可以采用子问题的思路；
用k来控制递归层数。
// 获取第K层节点的个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
if(root == null || k <= 0){
return 0;
}
if(k == 1){
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}- 获取二叉树的高度
递归计算出左右子树的高度相比较取最大值+1（根结点）；
// 获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
int tmp1 = getHeight(root.left);
int tmp2 = getHeight(root.right);
return tmp1 > tmp2 ? tmp1 + 1 : tmp2 + 1;
}- 检测值为value的元素是否存在
采用子问题的思路。先判断root为空的状态下，返回空。先在左树查找，左树没有再去右树找。如果两个树都为空，则没找到。当节点的值等于要找的值的时候，返回节点的值。
public TreeNode find(TreeNode root, int val){
if(root == null){
return null;
}
if(root.val == val){
return root;
}
TreeNode tmp1 = find(root.left,val);
if(tmp1 != null){
return tmp1;
}
TreeNode tmp2 = find(root.right,val);
if(tmp2 != null){
return tmp2;
}
return null;
}- 层序遍历二叉树
什么叫层序遍历呢？
他的规则是：从上到下，从左到右。
我们可以使用队列来做。定义一个cur，先把根放入队列中。然后判断队列是否为空？不为空将队列的最前面元素弹出，再打印。然后将根的左右子树放进来。再判断队列是否为空，将队列最前面的元素弹出，再将弹出元素的左右子树放入队列中，依次循环。直到队列为空。
//层序遍历
public void levelOrder(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
TreeNode cur = root;
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val + " ");
if(cur.left != null){
queue.offer(cur.left);
}
if(cur.right != null){
queue.offer(cur.right);
}
}
}8. 判断一棵树是不是完全二叉树
完全二叉树我们前文已经介绍过了。
思路和层序遍历的思路相似。将根结点放入队列中，判断队列是否为空。不为空弹出队列最上面的元素给cur，再将弹出元素的左右子树放入队列中（空也放入），依次循环，当cur==null时，遍历队列中剩余元素，如果队列中剩余元素为null，则这棵树为完全二叉树，否则不为完全二叉树。
public boolean isCompleteTree(TreeNode root){
if(root == null){
return false;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
TreeNode cur = root;
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
cur = queue.poll();
if(cur != null){
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else{
break;
}
}
while(! queue.isEmpty()){
TreeNode pop = queue.poll();
if(pop != null){
return false;
}
}
return true;
}腾讯云开发者
