一、线性卷积起点定理推导过程

推导 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理 | 左边序列概念 | 推理 ) 一、线性卷积起点定理 章节中的 " 线性卷积起点定理 " ;

%E4%B8%80%E3%80%81%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8D%B7%E7%A7%AF%E8%B5%B7%E7%82%B9%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%8E%A8%E5%AF%BC%E8%BF%87%E7%A8%8B

                                   x                         (                         n                         )                              x(n)                  x(n)

                                   y                         (                         n                         )                              y(n)                  y(n)

                                             g                               (                               n                               )                               =                               x                               (                               n                               )                               ∗                               y                               (                               n                               )                               =                                           ∑                                               i                                     =                                     −                                     ∞                                                           +                                     ∞                                                      x                               (                               i                               )                               y                               (                               n                               −                               i                               )                                      g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i)                        g(n)=x(n)∗y(n)=i=−∞∑+∞​x(i)y(n−i)

                                        x                            (                            i                            )                                  x(i)                     x(i)

                                                   N                               1                                            N_1                     N1​

                                        i                            ≤                                       N                               1                                            i \leq N_1                     i≤N1​

                                        0                                  0                     0

                                             ∑                                       i                               =                               −                               ∞                                                 +                               ∞                                            x                         (                         i                         )                         y                         (                         n                         −                         i                         )                              \sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i)                  ∑i=−∞+∞​x(i)y(n−i)

                                        i                            =                            −                            ∞                                  i = -\infty                     i=−∞

                                             i                               =                                           N                                  1                                                 i =N_1                        i=N1​

                                             g                               (                               n                               )                               =                               x                               (                               n                               )                               ∗                               y                               (                               n                               )                               =                                           ∑                                               i                                     =                                                   N                                        1                                                                        +                                     ∞                                                      x                               (                               i                               )                               y                               (                               n                               −                               i                               )                                      g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = N_1} x(i) y(n - i)                        g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1​∑+∞​x(i)y(n−i)

                                   y                         (                         n                         −                         i                         )                              y(n - i)                  y(n−i)

                                             N                            2                                       N_2                  N2​

                                   n                         −                         i                              n - i                  n−i

                                   n                         −                         i                         ≥                                   N                            2                                       n - i \geq N_2                  n−i≥N2​

                                   i                         ≤                         n                         −                                   N                            2                                       i \leq n - N_2                  i≤n−N2​

                                        i                                  i                     i

                                        +                            ∞                                  +\infty                     +∞

                                             n                               −                                           N                                  2                                                 n - N_2                        n−N2​

                                             g                               (                               n                               )                               =                               x                               (                               n                               )                               ∗                               y                               (                               n                               )                               =                                           ∑                                               i                                     =                                                   N                                        1                                                                        n                                     −                                                   N                                        2                                                                   x                               (                               i                               )                               y                               (                               n                               −                               i                               )                                      g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{n - N_2}_{i = N_1} x(i) y(n - i)                        g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1​∑n−N2​​x(i)y(n−i)

                                   n                         −                                   N                            2                                  <                                   N                            1                                       n - N_2 < N_1                  n−N2​<N1​

                                   n                         <                                   N                            1                                  +                                   N                            2                                       n < N_1 + N_2                  n<N1​+N2​

                                   i                         <                                   N                            1                                       i < N_1                  i<N1​

                                                         ∑                                               i                                     =                                     −                                                   N                                        1                                                                        n                                     −                                                   N                                        2                                                                   x                               (                               i                               )                               y                               (                               n                               −                               i                               )                                      \sum^{n - N_2}_{i = -N_1} x(i) y(n - i)                        i=−N1​∑n−N2​​x(i)y(n−i)

                                   0                              0                  0

                                        n                            −                                       N                               2                                      ≥                                       N                               1                                            n - N_2 \geq N_1                     n−N2​≥N1​

                                        n                            ≥                                       N                               1                                      +                                       N                               2                                            n \geq N_1 + N_2                     n≥N1​+N2​

【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理推导过程 )

算法

文章深入探讨了数字信号处理中线性时不变系统的线性卷积起点定理，详细推导了输入与输出之间的关系，特别关注了右边序列的概念及其在推导过程中的应用，明确了线性卷积计算的起始点和有效范围。

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【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理推导过程 )

【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理推导过程 )

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