导数与微分（9）
基础
设
0< a <1，证明：方程
\arctan x=ax在
\left( 0,+\infty \right) 内有且仅有一个实根.
解：令
G\left( x \right) =\arctan x-ax，
G^{'}\left( x \right) =\dfrac{1}{1+x^2}-a=\dfrac{1-a-ax^2}{1+x^2}=0，显然
x=\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}，即
G\left( x \right) 在
\left( 0,\sqrt{\dfrac{1-a}{a}} \right) 上单调递减，在
\left( \sqrt{\dfrac{1-a}{a}}，+\infty \right) 上单增，
G^{''}\left( x \right) < 0，
x=\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}是函数的极大值，
G\left( 0 \right) =0，
G\left( +\infty \right) =-\infty ，根据零点定理，函数必有零点。且零点位于
\left( \sqrt{\dfrac{1-a}{a}},+\infty \right) .
解题思路：构造函数，函数导数的应用，单调性，极值以及零点定理。
求曲线
y=f\left( x \right) =\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}e^{\dfrac{1}{x}}的渐近线.
解：
x=0,\pm 1是铅直渐近线的怀疑点，
\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{\left( x+2 \right) \left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)}e^{\frac{1}{x}}=\dfrac{3}{2}e，即
x=1不是铅直渐近线，
\underset{x\rightarrow -1}{\lim}\dfrac{\left( x+2 \right) \left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)}e^{\frac{1}{x}}=-\infty，即
x=-1是铅直渐近线，
\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}f\left( x \right) =+\infty ，即
x=0是铅直渐近线，
\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f\left( x \right) =1，即
x=1是
f\left( x \right) 的水平渐近线。
解题思路：水平、铅直渐进线的定义，其次转化为极限的计算。
求曲线
y=\left( 2x-1 \right) e^{\dfrac{1}{x}}的斜渐近线.
解：设斜渐近线为
y=kx+b，
k=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{y}{x}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{2x-1}{x}e^{\dfrac{1}{x}}=2，
b=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}y-kx=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\left( 2x-1 \right) e^{\frac{1}{x}}-2x=\underset{x\rightarrow \infty}{2x\lim}\left( e^{\dfrac{1}{x}}-1 \right) -\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}e^{\dfrac{1}{x}}=2\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}-1}{\dfrac{1}{x}}-1=2-1=1
即斜渐近线为
y=2x+1.
解题思路：首先斜渐近线的定义，其次极限的计算。
作者：小熊
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