一元三次方程求根公式及韦达定理推导_韦达定理公式初中应用

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公式法（卡尔丹公式）

（如右图所示）

若用A、B换元后，公式可简记为：

x1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

一元三次方程求根公式判别法

当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭 虚根；

当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；

当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的 实根。

一元三次方程求根公式推导

第一步：

ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）

为了方便，约去a得到

x^3+kx^2+mx+n=0

令x=y-k/3 ，

代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，

(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，

k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，

所以相加后y^2抵消 ，

得到y^3+py+q=0，

其中p=-k^2/3+m ，

q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

第二步：

方程x^3+px+q=0的三个根为：

x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，

其中w=(-1+i√3)/2。

×推导过程：

1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；

2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，

3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。

再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，

如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，

由一元二次方程 韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。

解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

则u^3=A；v^3=B ，

u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；

v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，

但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：

u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)；

u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；

u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，

最后：

方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即

x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

关于三次方程的韦达定理

设原方程为ax^3+b^2+cx+d=0;

由代数基本定理加上数学归纳法可推出其能分解成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)的形式（x1,x2,x3∈复数域）

所以可以推出

x1x2x3=-(d/a)

x1x2+x2x3+x1x3=c/a

x1+x2+x3=-b/a

这就是三次方程时的韦达定理

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