本篇包含三个部分:分块矩阵、变分法运算以及Wilson单元推导
对于分块矩阵,其子矩阵可看作一个元素参与计算。比如矩阵乘法:
弹性体的势能包括弹性体的应变能和外载荷的势能
其中,表示面力. 单元位移场可表示为
其中,表示节点位移数组。。(1)可写成
最小势能原理指出,真实位移 将使系统的势能取极小值。根据变分原理,欲使取 极小值,必须有泛函的变分为零,即
注:变分运算和求导一样。(2)的矩阵可看作只有一个子矩阵的分块矩阵,那么可认为
类似求导,(2)作变分运算之后,得到
也就是平常熟悉的
前文分析了Q4单元误差大的原因,即单元位移场分量缺少完整的二次项。Wilson提出附加位移场,即在原有的位移场基础上,增加两个附加二次项以提升单元精度。
当单元是矩形时,只需对位移分量v做修正,而对于一般的四边形单元,uv都需要修正,这就形成了Wilson单元的位移场。
写成矩阵形式
其中
应变矩阵
带入(1)得到
记
分别对和作变分运算 得到
由得
带入得
记
就是熟悉的
这里借鉴了GUYAN缩减法的思路,消去参数λ。
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