Python之二项分布、泊松分布

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引

言

敲黑板，干货已到达战场！！！在数据分析中，二项分布、泊松分布是我们经常用到的两个分布，今天小编将会先简单介绍二项分布基础：伯努利试验、n重伯努利试验以及两点分布，接着咱们讲解二项分布和泊松分布的概念，完事之后，咱们讲解一下二项分布转换泊松分布求解的条件，最后通过python来看一下，为什么二项分布在某种条件下可以转换成泊松分布近似求解。

伯努利试验

相信大家都抛过硬币，抛硬币的时候是不是只有两种结果，要不是正面，要不是反面，其实做这样的一次试验就是一个伯努利试验，现在我们做一个抽象的概括：假设随机试验E只有两个结果，事件A出现和事件A不出现，同时事件A出现的概率为p,不出现的概率为q，0<p<1,q=1-p,这样的一次试验我们把它叫做伯努利试验。将伯努利试验进行n重独立实验，重复做n次，这样的n重独立实验就是n重伯努利试验。

两点分布

伯努利试验所对应的分布就是两点分布，两点分布又称0-1分布，即：随机变量X的分布列为：

注：1代表发生的概率，0代表不发生的概率

二项分布

n重伯努利实验中，事件A出现的次数对应分布就是二项分布，即：随机变量X的分布列为：

其中，0<p<1,q=1-p,当n=1时，二项分布就是两点分布。

泊松分布

泊松分布来自数学家 SimeonDenis- Poisson（1781-1840）的名字,泊松分布主要用于测量连续时间或者空间内离散事件发生的次数。公式如下：

λ>0,表示平均发生的次数。如果随机变量服从二项分布，且

也就是说，当n很大，p很小的情况，可以使用泊松分布近似替代二项分布进行求解，为什么呢？

首先，上边讲到的东西其实有一个正式的名称，叫做泊松定理，既然是定理，也就意味着上边的东西一定成立，接下来，我们通过通俗易懂的一个例子来看一下是为什么。

我们以医院在一天内将会有多少婴儿出生的问题（这个问题就服从泊松分布）为例来看：

我们可以将这一天的时间采用极限的思想，无限细分成n个小的时间段，每一个小的时间段内，是不是只有两种结果出现：婴儿出生和婴儿不出生，是不是这样一个小的时间段我们就可以看做是一个一次随机试验，试验的结果只有两个出生和不出生，这样n个小的时间段是不是就可以看做是一个n重伯努利试验，用分布来描述：就是一个二项分布，泊松分布是不是就转换成了一个二项分布呢？所以简单来讲，在n很大，p很小的情况下，二项分布就是泊松分布，泊松分布就是二项分布，当然也就可以近似替代了。

接下来，我们通过计算机来实现这种结果的模拟。

注：一般当n>=20,p<=0.05的时候，就可以用泊松分布近似替代二项分布了。

01

python实现

当n为10，p=0.5时，根据上边条件，我们得知：二项分布应该不能使用泊松分布近似替代，下图显示，n为10，p=0.5时，二项分布和泊松分布也明显不同（具体代码参见下文）

# 导入相应库
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
# 绘制二项分布和泊松分布图
n = 10
p=0.5
q=1-p
bino = stats.binom(n,p)
x = np.arange(0,n)
y1 = bino.pmf(x)
possion = stats.poisson(n*p)
y2 = possion.pmf(x)
plt.plot(x,y1,label="二项分布")
plt.plot(x,y2,label="泊松分布")
plt.legend()
plt.show()

当n为100，p=0.05时，根据上边条件，我们得知：二项分布应该可以使用泊松分布近似替代，下图显示，n为100，p=0.05时，二项分布和泊松分布就非常近似了（具体代码参见下文）

# 导入相应库
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
# 绘制二项分布图和泊松分布图
n = 100
p=0.05
q=1-p
bino = stats.binom(n,p)
x = np.arange(0,n)
y1 = bino.pmf(x)
possion = stats.poisson(n*p)
y2 = possion.pmf(x)
plt.plot(x,y1,label="二项分布")
plt.plot(x,y2,label="泊松分布")
plt.legend()
plt.show()

02

总结

今天咱们主要学习了什么叫做二项分布、泊松分布以及泊松分布对二项分布的近似替代，相信大家应该已经清楚了两者之间的关系。下节，我们聚焦二项分布和正态分布，揭秘一下他们两者之间又将有什么样的“爱恨情仇”，敬请期待吧！