玩个游戏来理解交叉熵

作者：Lili Jiang 编译：McGL

首先，我们需要理解熵（entropy）的概念。

要不先来玩个游戏吧。

游戏一:

我将从一袋硬币（里面有一枚蓝色硬币，一枚红色硬币，一枚绿色硬币和一枚橙色硬币）中取出一枚硬币。你的目标是用最少的问题来猜它是什么颜色。

最好的策略之一是:

每枚硬币被选中的概率是1/4，需要2个问题才能猜对。所以猜硬币的预期问题数是2。

游戏二:

现在，我将从一袋硬币（其中1/2是蓝色的，1/4是红色的，1/8是绿色的，1/8是橙色的）中抽出一枚硬币 。之前的策略不再是最好的; 因为抽到蓝色硬币的概率大，我们应该优先猜测最有可能的结果。最佳策略现在看起来是这样的:

1/2情况下，它是蓝色的，只需要一个问题就能猜出来。1/4情况下，它是红色的，需要两个问题才能猜出来。根据这个逻辑，猜硬币的预期问题数是1/2 x 1个问题(蓝色) + 1/4 x 2个问题(红色) + 1/8 x 3个问题(绿色) + 1/8 x 3个问题(橙色) = 1.75。

游戏三:

为了与一个极端的例子形成对比，我从一个装满蓝色硬币的袋子里取出一些硬币。显然，猜我的硬币的颜色需要0个问题，或者... 如果我们用一种有趣的方式表示的话：log(1) = 0。注意，只有当你知道它一袋全是蓝色时，才需要回答0个问题。

有趣的是，一个模式出现了: 一枚概率为 p 的硬币需要 log(1/p) 个问题才能答对。例如，当 p = 1/4, log(4) = 2 个问题(本文所有对数的基都为2)。所以总计这个游戏的预期问题数是

这就是熵的表达式。直观的说，这实际上是指猜颜色这个游戏的最佳策略下的预期问题数量。越不确定的设置(游戏一 > 游戏二 > 游戏三) ，熵越高。

现在，让我们继续讨论交叉熵（cross entropy）。

对于游戏二，如果我们仍然使用游戏一的策略,

于是，1/8概率硬币是橙色的，需要2个问题才能猜对。1/2概率它是蓝色的，但它仍然需要2个问题才能猜对。平均来说，需要问1/8 × 2 + 1/8 × 2 + 1/4 × 2 + 1/2 × 2 = 2 个问题才能得到正确的答案，而不是我们前面讨论过的最优策略1.75个问题。因此，在游戏二中使用游戏一的策略更糟糕，其中2是使用游戏一策略的交叉熵。

因此，对于一个给定的策略，交叉熵就是在该策略下猜测颜色的问题数量的期望。对于给定的设置，策略越好，交叉熵越低。最低的交叉熵即最优策略的交叉熵，也就是上面定义的熵。这就是为什么在机器学习的分类问题中，人们试图使交叉熵最小化。

更正式的说，交叉熵是

其中 是真实概率(例如，橙色和绿色为1/8，红色为1/4，蓝色为1/2)， 是错误假设的概率(例如，使用策略1，我们假设所有颜色p = 1/4)。很容易混淆log里面应该是 p 还是 。这样理解比较容易记住: 对数用于计算你的策略下需要问的问题数量，所以 log 里面是你的预测概率， 。

所以，在一个决策树中，如果你的树没有以最好的方式构造，你基本上就是错误地假设了结果的概率分布，而且交叉熵很高。

交叉熵不仅仅用于决策树，它也适用于所有的分类问题。在二分类问题中，预测 表示y = 1的可能性， 表示y = 0的可能性。因此，我们可以用一种巧妙的方式写出我们想要最大化的可能性:

当 y = 1时，乘积的第二项是1，我们要最大化 ; 当 y = 0时，乘积的第一项是1，我们要最大化 。只有当 y 的值仅为0或1时，这个方法才有效。

最大化对数的可能性等价于最小化

这是交叉熵的表达式。这就是为什么交叉熵被称为对数损失。最小交叉熵即最大化对数。例如，在我的分类中有三个数据点，它们的真实标签是1, 1, 0，我的预测 y 是0.8, 0.9, 0.3。那么平均交叉熵是

如果我完美预测为1, 1, 0，那么交叉熵是0。(从技术上讲，对数在0处没有定义，但是这里我们可以忽略这点。) 使用硬币游戏类比，在这里，每个样本 y 的预测是一个单独的猜硬币游戏，设置和游戏三相同。第一个样本 y=1 就像从一个只有“ y=1”的袋子里抽出一枚硬币。现在，如果你是一个忍者猜测者(又名完美算法) ，那么你也知道它必须是一袋硬币全是一。所以 。第二个和第三个样本也是如此。因此，对于一个完美的算法，交叉熵为0。

原文：https://www.quora.com/Whats-an-intuitive-way-to-think-of-cross-entropy/answer/Lili-Jiang