单精度浮点数的取值，表示以及相关

取值范围及精度

可以表示的范围为±3.40282 * 10^38（1.1111…1×2^127）即：

0-11111110-11111111111111111111111(23个1)

单精度浮点数可以表示1.175 * 10-38（1.00…0×2^-126）的数据而不损失精度。

0-00000001-00000000000000000000001(22个0，最后一位是1)

浮点数最小能表示的是当阶码都是0时，表示2^-126*0.fractionbits

ps:以上图片是从 这个网址 截取。

表示方式

1. 如果指数位全零，尾数位是全零，那就表示0
2. 如果指数位全零，尾数位是非零，就表示一个很小的数（subnormal），计算方式 (−1)^signbit × 2^−126 × 0.fractionbits(注意这里是0.fractionbits，应该是为了和阶码是-126的时候做出区分，其实也就是比-126的时候能表示的数更小了)
3. 如果指数位全是1，尾数位是全零，表示正负无穷
4. 如果指数位全是1，尾数位是非零，表示不是一个数NAN
5. 剩下的计算方式为 (−1)^signbit × 2^(exponentbits−127) × 1.fractionbits

补码

到底什么是补码，一直到看了 这个知乎回答 之前，我对补码的概念就是反码加一，而且也没有想过到底为什么这样，有什么意义，看完之后才有些恍然大悟。

首先，第一个问题，补码是用来做什么的？

补码是用来方便ALU做减法运算的，因为补码是没有符号的，减一个数相当于加这个数的补码。

所以，第二个问题就是，为什么减一个数相当于加一个数的补码呢？

在回答这个问题之前，首先问一下，如果补码就是简单的反码加一为什么要叫补码，为什么不直接叫反码加一呢，这里就要提出一个概念，叫补数。

钟表的例子

这个例子就是补数的直观理解，先假定表盘就表示0-11点，然后现在指针指向2点，如果我想将指针拨到3点有两个办法，第一个是顺时针拨1个格，第二个是逆时针拨11个格，在一个满刻度是12的表盘上，这两个的效果是一样的。抽象来讲，2 - 1 = 2+11

这是为什么呢，这就有个模的概念，模，当然数学上有抽象解释，我们这里就可以理解成数的表示极限大小，这里的模就是12，而对于十进制的两位数来说，模就是100。

继续回到 2 - 1 = 2+11 这个问题，因为模是12，所以在这个模下，每个数有其补数，补数的意思就是模减其本身。这里1的补数就是 12 - 1 = 11.而减去一个数，就相当于加上这个数的补数，所以我们得到2 - 1 = 2+11。

再以十进制两位数为例，90 - 10 = 80.10的补数是100-10=90，所以 90 -10 = 90 + 90（忽略百位，因为这里只有两位）。到这里总结一下，一个数的补数 = 模 - 这个数，一个数 - 另一个数 = 一个数 + 这个数的补数

但是如果是10 - 90 怎么办，难道10 - 90 = 10 + 10，-80难道等于20？没错！我们想用数表示-80，却不让加负号，那就直接让-80 = 20。所以，一个负数就用它绝对值的补数来表示。

那么，现在的问题是，一个数既可以表示正数又可以表示负数，比如20既可以表示-80也可以表示20，那咋整，就规定0~99,0~49表示整数，50~99表示负数，90就代表-10这种。

实际上

对于浮点数的阶码是8位二进制数，其表示的极限是256(11111111表示255)，所以模就是256，根据上面讲过的，将表示范围一分为二:00000001~01111111表示正数，10000000~11111110表示负数(全0和全1有特殊含义)。这样结合上面讲的知识就显而易见了，以10000000为例，256 - |x| = 128.所以表示的x=-128

移码

虽然补码解决了负数的问题，但是补码还是有一定的缺陷，就是比较大小不方便，而进行浮点数运算的时候，有一步是对阶，也就是比较阶码的大小然后再获得浮点数实际大小。为了方便比较大小，浮点数使用移码表示阶码。

移码，顾名思义，就是当前码通过(在坐标轴上)移动之后获得的码，而移动的距离称为偏置(bias)。

为什么移动之后就方便比较大小呢，具体如下图：

不用移码的时候数轴是这样的：

上面是实际的数，而下面是这些数代表的数，也就是上面讲的，254代表-2之类的。

如果我们使得下面的数向右移动一格：

可以看到，现在254代表的是-3了，再移动一格呢：

依次类推，可以一直推到255代表的是最大的正数，这样，就可以直接通过比较码的大小来判断实际值的大小了，是不是很方便呢

不过这里没有考虑全0和全1的情况，但是大概原理就是这样了。

ps：为什么为什么用127做偏置而不是128：据说是为了让数的表示范围对称( 原文 )，但是感觉比较牵强而且也不比用128时对称

半精度与单精度的转换

主要是最近在研究f16和f32的转换才看了上面一堆东西，正题是f16和f32是怎么转换的。

这个就简单了，由上面的知识可以推知，half的表示范围最大也就到65535，而float则很大，因此当half往float转换时，就是指数位转换到指数位，小数位低13位补零。当然考虑到阶码是移码，因此要-15+127才是最终的阶码。同理，从float转换到half也是，阶码-127+15，然后砍掉小数位后13位即可。

这里要注意，如果float原本表示的数超过了half的表示范围，那么转换成的half就是阶码全是1的NaN。

cite:Van Der Zijp J. Fast half float conversions[R]. Working paper, 2012ftp://www. fox-toolkit.org/pub/fasthalffloatconversion. pdf, 2008.