数学笔记（三）之镜面矩阵

  镜面变换在游戏中并不少见，相关资料网上也俯拾即是，不过自己总是感觉略显生疏，在此简单一记，算作是加深印象吧~

  问题很简单，假设存在点P(x, y, z)以及平面(n, D)（不太清楚为何平面如此表示的朋友可以参考这里），求解P相对与平面的镜像变换矩阵~

  为了方便推导，画张图先：

  简单解释一下图中内容：设点P(x, y, z)为平面正方向上的一点，点O是P(x, y, z)在平面上的投影，点A(xa, ya, za)是平面上任取的一点，而P’(x’, y’, z’)则是点P(x, y, z)相对与平面的镜像点，另外的，我们还假设由点A到点P的向量为a(x - xa, y - ya, z - za)，由点O到点P的向量为b，平面法向量为n(xn, yn, zn)，平面到原点的带符号距离为D

  准备就绪，开始~

  由图易知：

    P’ = P - 2 * b

  接着往下，如何求解b呢？其实很简单，只要求解a在平面法向量n上的投影即可：

b = a * n * n

  OK，此处我们稍停，由于a * n是一个标量，我们先简单求解一下：

a * n = (x - xa, y - ya, z - za) * (xn, yn, zn) = (x - xa) * xn + (y - ya) * yn + (z - za) * zn

             = x * xn + y * yn + z * zn - xa * xn - ya * yn - za * zn

  因为点A(xa, ya, za)为处于平面上的点，自然满足（再次提醒，不清楚的朋友可以参考这里）：

    xa * xn + ya * yn + za * zn + D = 0 即

    D = - xa * xn - ya * yn - za * zn

  基于此，上面的a * n可以简化为：

a * n = x * xn + y * yn + z * zn + D

  好了，我们计算出了 a * n，接着就可以用它来表示b了：

b = a * n * n = (x * xn + y * yn + z * zn + D) * n

  考虑最之前P’点的表达式，我们将上式代入，得到：

    P’ = P - 2 * b = P - 2 * (x * xn + y * yn + z * zn + D) * n

  OK，到此，我们使用点P和平面n和D表示出了点P’，接着就可以推导变换矩阵了：

  首先尝试计算点P’的x分量，我们有：

    P’x = x - 2 * (x * xn + y * yn + z * zn + D) * xn

       = (1 - 2 * xn * xn) * x - 2 * xn * yn * y - 2 * xn * zn * z - 2 * xn * D

  根据这个表达式，并根据矩阵乘法规则，我们便可以得到变换矩阵的第一行元素：

    m11 = 1 - 2 * xn * xn

    m12 = -2 * xn * yn

    m13 = -2 * xn * zn

    m14 = -2 * xn * D

  同样的方法，点P’的y,z分量分别为：

    P’y = y - 2 * (x * xn + y * yn + z * zn + D) * yn

       = - 2 * xn * yn * x + (1 - 2 * yn * yn) * y - 2 * yn * zn * z - 2 * yn * D

    P’z = z - 2 * (x * xn + y * yn + z * zn + D) * zn

       = - 2 * xn * zn * x - 2 * yn * zn * y + (1 - 2 * zn * zn) * z - 2 * zn * D

 对应的，矩阵的第二行元素和第三行元素分别为：

    m21 = -2 * xn * yn

    m22 = 1 - 2 * yn * yn

    m23 = -2 * yn * zn

    m24 = -2 * yn * D

    m31 = -2 * xn * zn

    m32 = -2 * yn * zn

    m33 = 1 - 2 * zn * zn

    m34 = -2 * zn * D

  至于矩阵的最后一行，在此我们暂不关心，简单设置：

    m41 = 0

    m42 = 0

    m43 = 0

    m44 = 1

  至此，我们推导出了镜面变换的矩阵，为了演示简单搞了个Demo，有兴趣自取~

  就这样了~