NLP 点滴 ：文本相似度 （中）

接《NLP 点滴 ：文本相似度 （上）》

背景知识

在自然语言处理领域中，有两大理论方向，一种是基于统计的经验主义方法，另一种是基于规则的理性主义方法[15]。而随着计算机性能的提升，以及互联网发展而得到的海量语料库，目前NLP的研究更多是基于统计的经验主义方法。所以在本文讨论的语义相似性中，也是从统计学的角度出发进行总结。

统计语言模型

对于统计语言模型而言，最基础的理论便是贝叶斯理论（Bayes’ theorem PS.关于贝叶斯理论强烈推荐：数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法，一篇深入浅出的好文。另外推荐下自己师兄参与翻译的作品《贝叶斯方法——概率编程与贝叶斯推断》很全面的贝叶斯理论+实践书籍）。对于大规模语料库，我们可以通过词频的方式来获取概率，例如100个句子中，出现了1次”Okay”，那么

而同样的对于句子”An apple ate the chicken”我们可以认为其概率为0，因为这不符合我们说话的逻辑。 统计语言模型是用来计算一个句子的概率，其通常基于一个语料库D来构建。如何表示一个句子的概率呢？我们用来表示一个基元（通常就是指词语，也可以是字或短语），那么对于一个由N个词组成的句子W可以表示为

那么其联合概率

就可以认为是该句子的概率，根据贝叶斯公式的链式法则可以得到：

其中条件概率

便是语言模型的参数，如果我们把这些全部算出来，那么一个句子的概率我们就能很轻易的得出。但是很明显，这个参数的量是巨大的是无法计算的。这时我们可以将

映射到某个等价类

，从而降低参数数目。

ps.语料库我们用C表示，而词典D一般为语料中出现的所有不重复词

n-gram模型

既然每个单词依赖的单词过多，从而造成了参数过多的问题，那么我们就简单点，假设每个单词只与其前n-1个单词有关，这便是n-1阶Markov假设，也就是n-gram模型的基本思想。 那么对于句子W的概率我们可以简化如下：

那么对于最简单的一阶情况也称unigram或uni-gram或monogram（二阶bigram 三阶trigram）就简单表示为

为了在句首和句尾能够统一，我们一般会在句首加一个BOS标记，句尾加一个EOS标记，那么对于句子”Mark wrote a book”，其概率可以表示如下：

为了预估条件概率，根据大数定理，简单统计语料库中

出现的频率，并进行归一化。我们用c来表示频率，那么可表示如下：

其中分母在unigram中就可以简单认为是词语

出现的次数。

在n-gram模型中还有一个很重要的问题就是平滑化，因为再大的语料库都不可能涵盖所有情况，考虑两个问题：

那么

就是0吗？

那么

就是1吗？

这显然是不合理的，这就需要进行平滑，这里不展开讨论。 根据最大似然，我们可以得到：

其中C表示语料库，

表示词语的上下文，而这里对于n-gram模型

，取对数后的对数似然函数为：

从上式我们可以看出

可以看做是

关于

的函数，即：

其中

为待定参数集，通过语料库训练得到参数集后，F便确定了，我们不需要再存储概率

，可以直接计算得到，而语言模型中很关键的就在于F的构造

词向量

为了从使得计算机从语义层面理解人类语言，首先要做的就是将语言数学化，如何进行表示呢？人们便提出了词向量的概念，即用一个向量来表示一个词。

One-hot Representation

一种最简单词向量就是利用词频向量将高维的语义空间抽象成数学符号表示，向量长度为词典

的大小

，这种表示方式非常直观，但是容易造成维度灾难，并且还是不能刻画语义的信息。

词语表示

对于词语而言，用一个向量来表示一个词，最直观简单的方式就是将每个词变为一个很长的向量，向量长度

便是词典的长度，其中绝大部分为0，只有一个维度为1代表了当前词。 假设语料库：“冲突容易引发战争”，那么词典为

• D=[冲突,容易,引发,战争]
• 冲突=[1,0,0,0]
• 战争=[0,0,0,1]

每个词都是含有一个1的n维向量（

），这种方式我们压缩存储下，就是给每个词语分配一个ID，通常实际变成我们最简单的就是用hash值表示一个词语。这种方式可以用在SVM、最大熵和CRF等等算法中，完成NLP的大多数场景。例如，我们可以直接将 但是缺点很明显，就是我们用这种方式依旧无法度量两个词的语义相似性，任意两个词之间都是孤立的，比如上面的冲突和战争是近义词，但是却没有任何关联性。

文档表示

同样文档也可以用词频向量的形式来表示，一般我们会利用tf-idf作为每一个词的特征值，之后会挑选每篇文档比较重要的部分词来表示一篇文档，拿游戏来说，如下： [王者荣耀, 阴阳师, 梦幻西游]

• doc1:[tf-idf(王者荣耀), tf-idf(阴阳师), tf-idf(梦幻西游)]
• doc2:[tf-idf(王者荣耀), tf-idf(阴阳师), tf-idf(梦幻西游)]

然后我们就可以利用K-means等聚类算法进行聚类分析，当然对于每篇文档，一般我们只会选取部分词汇，因为如果词汇过多可能造成NLP中常见的维度“灾难”。这种方式在大多数NLP场景中都是适用的，但是由于这种表示往往是建立在高维空间，为了避免维度灾难就要损失一定的语义信息，这也是这种方法的弊端。

Distributed representation

另外一种词向量的表示Distributed representation最早由 Hinton在 1986年提出。它是一种低维实数向量，这种向量一般长成这个样子：

[0.792, −0.177, −0.107, 0.109, −0.542, …]

维度以 50 维和 100 维比较常见，当然了，这种向量的表示不是唯一的。

Distributed representation的关键点在于，将高维空间中的词汇映射到一个低维的向量空间中，并且让相关或者相似的词，在距离上更接近（看到这里大家有没有想到普通hash以及simhash的区别呢？），这里引用一张图片（来自[13]）：

图中是英语和西班牙语通过训练分别得到他们的词向量空间，之后利用PCA主成分分析进行降维表示在二维坐标图中的。我们可以清晰的看出，对于两种语系的一二三四五，在空间距离上竟是如此的相似，这就是Distributed representation词向量表示的意义所在。

这种采用低维空间表示法，不但解决了维数灾难问题，并且挖掘了word之间的关联属性，从而提高了向量语义上的准确度，下面我们讨论的语言模型都是基于这种词向量表示方式。

PS. 有时候也会出现Word Represention或 Word Embedding(所谓词嵌入)的说法。另外我们这里说的词向量是在词粒度进行分析，当然我们也可以在字粒度的字向量、句子粒度的句向量以及文档粒度的文档向量进行表示分析。

主题模型

在长文本的篇章处理中，主题模型是一种经典的模型，经常会用在自然语言处理、推荐算法等应用场景中。本节从LDA的演变过程对LDA进行阐述，然后就LDA在长文本相似性的判断聚类上做简要说明。

LSA

首先对于一篇文档Document，词语空间的一个词频向量

如下：

其中每个维度表示某一词语term在该文档中出现的次数，最终对于大量的训练样本，我们可以得到训练样本的矩阵X，如下图：

LSA的基本思想，便是利用最基本的SVD奇异值分解，将高维语义空间映射到低维空间，其流程如下：

这样对于训练样本中词表的每一个term我们便得到了一个低维空间的向量表示。但LSA的显著问题便是值考虑词频，并不区分同一词语的不同含义

PLSA

LSA基于最基本的SVD分解，但缺乏严谨的数理统计逻辑，于是Hofmann提出了PLSA，其中P便是Probabilistic，其基本的假设是每个文档所表示的词频空间向量w服从多项式分布（Multinomial distribution）

简单扯两句多项式分布：

• 伯努利分布（Bernoulli distribution）我们从接触概率论开始便知道，即所谓的投硬币，其离散分布如下：

但是吊吊的数学家们总喜欢做一些优雅的让人看不懂的事情，所以也可以写作如下公式：

其中k为0或者1

• 二项分布（Binomial distribution）：

如果进行次投硬币实验，计算出现m次正面朝上的概率 伯努利分布是二项分布中n=1时的特殊情况

• Categorical分布（Categorical distribution），如果我们将投硬币改成掷骰子，那么原来一维向量x就会变成一个六维向量，其中每一维度为1表示出现该面，0表示没出现，用数学表示即对于随机变量X有k中情况，其中第

种情况出现的概率为

：

那么我们可以得到其离散概率分布如下：

其中如果

那么

为1，否则为0

• 多项式分布（Multinomial distribution）：与二项分布类似，Categorical分布进行N次试验，便得到多项式分布：

同样我们可以写成吊吊的形式：

其中

为gamma函数：当n>0，则

（ps.该形式与狄利克雷分布（Dirichlet distribution）的形式非常相似，因为多项式分布是狄利克雷分布的共轭先验）

OK简单梳理了下过去的知识，PLSA假设每篇文档的词频向量服从Categorical分布，那么对于整个训练样本的词频矩阵W则服从多项式分布。PLSA利用了aspect model，引入了潜在变量z（即所谓主题），使其变成一个混合模型（mixture model）。其图模型如下：

其中

表示文档集，Z便是PLSA中引入的隐含变量（主题/类别），

表示词表。

表示单词出现在文档

的概率，

表示文档

中出现主题下的单词的概率，

给定主题

出现单词

的概率。其中每个主题在所有词项上服从Multinomial分布，每个文档在所有主题上服从Multinmial分布。按照生成模型，整个文档的生成过程如下：

(1)

以的概率生成文档

(2)

以的概率选中主题

(3)

以的概率产生一个单词

那么对于单词

出现在文档

的联合概率分布，而

是隐含变量。

其中

和

分别对应了两组Multinomial分布，PLSA需要训练两组分布的参数

LDA

有了PLSA，那么LDA就相对简单了，其相当于贝叶斯（Bayes’ theorem PS.关于贝叶斯理论强烈推荐：数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法，一篇深入浅出的好文）PLSA即： LDA=Bayesian pLSA

为什么这么说呢？我们站在贝叶斯理论的角度看上文提到的PLSA，基于上文的阐述，我们知道PLSA的假设是文档-词语的词频矩阵服从多项式分布（multinomial distribution），那么在贝叶斯理论中，相当于我们找到了似然函数，那么想要计算后验概率时，我们需要找到先验概率。

简单扯两句共轭先验：

根据贝叶斯理论我们有如下形式：

OK其中

我们可以成为似然函数即一件事情发生的似然性（最大似然估计），那么

相当于先验概率分布，一般

为一个常数，所以忽略。那么对于计算后验概率，我们需要找到似然函数和先验分布。

一般当我们已知似然函数的形式的时候，我们需要找到先验分布，那么对于所有满足[0,1]区间内的分布都符合这个条件，为了计算简单，我们采用与似然函数形式尽量一致的分布作为先验分布，这就是所谓的共轭先验。

在上文中介绍多项式分布时提到了Dirichlet分布，我们看多项式分布的形式如下：

那么我们需要找寻形式相似如下的分布：

而Dirichlet分布的形式如下：

看出来了吧，去掉左边的Beta分布不说，在右边的形式上Dirichlet分布和Multinomial分布是及其相似的，所以Dirichlet分布是Multinomial分布的共轭先验。

再回到LDA，根据之前分析的PLSA可知，每个文档中词的Topic分布服从Multinomial分布，其先验选取共轭先验即Dirichlet分布；每个Topic下词的分布服从Multinomial分布，其先验也同样选取共轭先验即Dirichlet分布。其图模型如下：

我们可以看出LDA中每篇文章的生成过程如下：

1. 选择单词数N服从泊松分布，

,

1. 选择

服从狄利克雷分布，

,

1. 对于N个单词中的每个单词

a. 选择一个主题

，服从多项分布

, b. 以概率

生成单词

，其中

表示在主题

上的条件多项式概率。

在LDA中我们可以利用

来表示一篇文档。

应用

从之前LDA的阐述中，我们可以利用

来表示一篇文档，那么我们自然可以利用这个向量对文档进行语义层面的词语和文档的相似性分析从而达到聚类、推荐的效果。当然了LDA本身对于文档分析出的主题，以及每个主题下的词汇，就是对于文档词汇的一层低维聚类。 之前用过Git上Java版的LDA实现，但是语料不是很大，对其性能并不能做出很好的评估。其地址如下：

github: A Java implemention of LDA(Latent Dirichlet Allocation)

public static void main(String[] args)
{
    // 1. Load corpus from disk
    Corpus corpus = Corpus.load("data/mini");
    // 2. Create a LDA sampler
    LdaGibbsSampler ldaGibbsSampler = new LdaGibbsSampler(corpus.getDocument(), corpus.getVocabularySize());
    // 3. Train it
    ldaGibbsSampler.gibbs(10);
    // 4. The phi matrix is a LDA model, you can use LdaUtil to explain it.
    double[][] phi = ldaGibbsSampler.getPhi();
    Map<String, Double>[] topicMap = LdaUtil.translate(phi, corpus.getVocabulary(), 10);
    LdaUtil.explain(topicMap);
}

其采用吉布斯采样的方法对LDA进行求解。之后自己也准备尝试用spark进行实现，看是否能够对性能进行优化。

Word2Vec

谷歌的Tomas Mikolov团队开发了一种词典和术语表的自动生成技术，能够把一种语言转变成另一种语言。该技术利用数据挖掘来构建两种语言的结构模型，然后加以对比。每种语言词语之间的关系集合即“语言空间”，可以被表征为数学意义上的向量集合。在向量空间内，不同的语言享有许多共性，只要实现一个向量空间向另一个的映射和转换，语言翻译即可实现。该技术效果非常不错，对英语和西语间的翻译准确率高达90%。

什么是word2vec？你可以理解为word2vec就是将词表征为实数值向量的一种高效的算法模型，其利用神经网络（关于神经网络之前有简单进行整理：马里奥AI实现方式探索 ——神经网络+增强学习），可以通过训练，把对文本内容的处理简化为K维向量空间中的向量运算，而向量空间上的相似度可以用来表示文本语义上的相似。（PS. 这里往往人们会将word2vec和深度学习挂钩，但其实word2vec仅仅只是用了一个非常浅层的神经网络，跟深度学习的关系并不大。)

Word2vec输出的词向量可以被用来做很多NLP相关的工作，比如聚类、找同义词、词性分析等等。如果换个思路， 把词当做特征，那么Word2vec就可以把特征映射到K维向量空间，可以为文本数据寻求更加深层次的特征表示 。