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呃。那么现在时间到了,那么今天课程就开始了。嗯,这个人比较少。呃,OK,那么今我们今天课程呢,讲的是分。那么呃,讲分析之前,讲分析这个数学知识点之前呢,先给大家呃问一个问题,就是英国的海岸线呃到底有多长?那么为什么会有这个这么奇怪问题呢?呃,可能有些同学会认为,这个英国海岸线不就一量就能量出来了吗?
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呃,这个问题呢,其实是20世纪80年代,一位数学家叫做曼德罗提出来一个问题。那么曼德博罗在提出来这个问题之后,他得出一个结论就是,其实英国的海岸线的长度是呃,不确定的。那么为什么会这么说呢?呃,给大家看一个例子。就是其实是因为这个。呃,刻度尺的问题,比如说呃,一个200。千米的一个尺子来去量一个英国的海岸线的话,那么它的长度是两千三百千米。
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而呃,之后我们用一个一百千米的刻度尺去量这个英国海岸线话,会发现它这个周长啊是增加的。而我们再用更小的这个刻度尺的话,它这个长度海岸线的长度它还会增加。那么具体是为什么呢?其实是因为呃,当你又比较长的这个刻度的话,有许多边角角的长度你是忽略不计的,所以说会有那么一点的呃误差。那么呃,大家可以猜测一下,就是英国海岸线到底有多长?呃,可以在评论区里面,呃,说一说。呃,随便给个数字也可以。
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没有人吗?呃。呃,大家都能听到我说话吧?呃。等一下我要看看哦。哦,可以。啊。那个啥。也出一点小问题啊。呃,有些同学才是四千米,然后。四千千米,有同学才是3900,那么其实真实长度啊是。一万一千四百五十千米,这个数字非常的庞大。
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就超乎同学们想象。嗯,当然呃之所以得出来这个呃测量结果呢,其实正是因为人们采用了非常小的刻度尺,把所有的那些拐弯抹角的地方的长度都给算进去了,呃就导致它这个英国海岸线的长度是非常长的。那么呃,这就引出来,我们今天讲的主题就是分,呃,其实分啊,它是一种几何。但是分型这种几何化是和我们正常接触到的那些什么。圆三角形,矩形,还有五边形,这种几何是不一样的,分形的话,它的这个图形啊,其实是不规则的,大家可以看到就是就非常常规的。
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可以看到就是。有许多,呃,比如说呃这个分型啊,呃这个分型的话,它也叫做谢宾斯基三角形,呃它本身上是一个三角形,但是它中间就填满了许许多多大小不一的三角形。呃,大家可以看到就是。呃,非常那种混乱。嗯,大家可以看一看,呃,这这种分型。呃,这种分型图片。那么我们今天主要讲的是两种图片,一个是谢宾斯基三角形,一个是科赫曲线。呃,那么今天主要讲的是这两种分型的呃,生成方式,以及它的一些比较有趣的性质,是和常规的几何不一样的。
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那么。首先讲这个课,曲线这个生成。那么大家可以看看这个,呃,这个动图啊。它展示就是这个课和曲线这种生成方式。那么怎么生成呢?呃,首先。给定一个。线段,然后把它等分分成accd还有BD这三个相等的线段。之后的话,我们把cda这中间的这个线段给它去掉。然后上面增加一个三角形啊,当然是个等边三角形。而这个三角形它的底边是没有的,比如说只是一个尖尖的这个东西。之后呢?
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之后的话,我们在这个AC还有CE。De,还有BD上,呃,分别是。呃,选取三等分点,然后去掉中间这些线段。然后在上面补上一个小的全等三角形。呃,就是这样子。之后的话呢,我们对每一个这个小边化做同等操作,再往上面加一个等边三角形,就形成这种。呃。看上去非常优美的这个几何图形。呃,这个刻刻曲线化,就是把这种步骤不断的迭代,迭代,然后最终形成就是那种。呃,非常就漂亮那种图片。呃,讲完这个生成之后,嗯,可以给大家看看这个性质,呃,首先。
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大家可以看看这我选取的是这个曲线的这某两个片段。大家可以观察一下,就是这些片段和这个原来的整个图形是一个什么样的关系。大家可以在评论区回复一下。呃。就是。呃,1/4。嗯呃,这是一个。方面。那么还有其他同学想要说的吗?
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呃,要不我把我再把问题重复一遍,就是我用这个红色这个。呃,曲线圈起来这。这个部分以及。呃,这个。左上左边那个部分,它这两个部分是和整一个图片是一个什么样的关系?就是它们的形状是怎样子的。嗯,行。嗯,没有人回答,那我就直接说了。呃,都是一样,对,呃,这位同学答真不错,确实,呃,就是。这个图片的这些一小部分,比如说右下角这个。
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小的有点小,这个部分整一个大的,这个图片是呃,一个相似的关系。也就说是它这个图片,它的每一部分都是和它原来的图形长得一模一样的。那么嗯,大家可以领一下。那么数学家就把这种性质的话叫做。哎。呃,不好意思,好像卡了。OK,我再进来。那么呃这种性质的话,被数学家称为这种呃自相似性,也就是说他自己和自己。的一个部分非常相像,嗯,所以就叫做自相似性,大家可以看一看啊,记下笔记。
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OK。呃,接下来就呃讲一讲这个课和曲线的第二个性质。呃,首先大家要注意一下,就是因为和曲线它本质上是。一个线段不断的在那折来折去,所以说话,它这个曲线是没有面积的。也就是说它的面积是零,那么为什么会提到这个性质呢?之后再讲。OK,那么大家可以猜测一下,就是和曲线的这个长度是多少?呃,如果它这个刻曲线是一个直线,而且呃,它,而且它是没有面积的,那么它到底有没有长度,大家可以猜测一下。呃,在评论区里面回复一下。
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呃,大家可以随便呃,说一说一个数字之类的。没有长度。这个。呃,其实其实是有程度的。啊,大家可以呃,想一个想一个数字之类的。呃。或者说这样,假如说一个直线是。九厘米。呃,而对它进行呃这种呃和曲线操作的话,所得出来这个课和曲线这个长度是多少。呃。
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嗯。那行吧,那我就说呃,其实这位叫做呃。这位风。灿峰同学答的不错啊,其实这个和曲线的长度是无穷无尽的。那么为什么会这样呢?啊,我们可以简单来看一看。假如说这一个线段是九厘米的话。那么。对他进行一次这种。操作的话,也就是说在上面加一个等边三角形。那么我们之后出来这个。第二个图形,它的这个长度是12厘米的,大家可以看一看,呃,因为它是呃,先把这个。线段等分,然后再上面再加。两个一模一样的线段,因为它是等边三角形嘛,就是两个一模一样的线段,这边是三,这边三,呃都是三厘米,所以说加起来都是16厘米。
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那么。那么我们再对它进行一次,就是加上这种等边三角形的这个操作的话,我们得出来的第二个结果的话,它的长度呢,就是变成十厘米的。那么大家可以,呃,之后的话可以数一数这个每条线段。这个长度也就说。这边三厘米,也就是说这个每一个小的线段,它的长度都是一厘米。那么大家可以呃数一数这个这这样的小线段到底有多少?那么其实大家这里就已经啊。我还是接着讲,那么。呃,到了第四个部分,呃,进行了第三次操作之后,得到第四个这种图片化,那么它的这个长度啊,就是变成3/64。
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那么呃,之后大家也可以去数一数,那么。他们之间是有什么关系呢?呃。这位同学答的挺不错的,他们其实是呃,呈现一种就是4/3的关系,大家可以看看,就是九乘以4/3是等于12,然后12再乘以4/3是等于16。16再乘以4/3的话,是等于3/64的,也就是说他们。呃,这个长度的话,其实是符合这种关系的。那么我们得到这个式子之后有什么用呢?那么我们就可以得出来,其实课和曲线的长度它是。
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无穷无尽的。为什么这么说呢?就是。如果。因为课和曲线它其实是不断的。呃,增加这种等边三角形。然后就是不断加,不断往上加,然后所加等边三角形是越来越小,也就是说。呃。各位同学是?呃,也就是说。他这个,呃。每次增加三。呃。呃,好像有位同学是。这位是。呃,请这位同学要在上面画画,谢谢。
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OK。其实这个课曲线它是对这个线段进行无穷无尽的操作,那么我们这里N的话,它也是取无穷无尽的。那么。呃,我给大家说一下,假如说对一个线段进行第50步操作,进行50步操作的话,那么我们所得出来这个图形的这个长度啊,其实是有这么长的。也就是说。呃,从一个九厘米的这个线段开始,然后不断的去操作,增加这些,不断的增加这些小的三角形,那么进行到第五步的话,我们会得到这么长一个长度。呃,当我们呃进行到这个无穷大的这个步数的话,而我们所所得出来这个图形的长度有的是。无限大的。
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呃,大家明白了吗?呃。大家可以在评论区回复一下。呃。大家都听明白了吗?呃,那么其他同学呢?OK。啊,那就接着讲。OK,也就是说我们通过这种找规律的方式就可以得出来,就是这个和曲线。呃,它的长度啊,其实是无穷大的。那么接下来的话,嗯,讲一个可能跟这个。分看上去没有关系的一个数学知识。
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哦哦,对,这是克和曲线的第二个性质,也就是说是长度是无限的,但是它的面积啊是零的。OK。那么接下来我们讲一个东西叫纬度。维度的话,大家应该是挺不陌生的吧,就是一维是线,二维是面,然后三维是立体,四维是时间。就是大家都看科幻小说吧,应该都会知道这个道理。那么大家有没有发现,就是我们所知知道这些维度啊,就是一一维,二维,三维和四维,他们这个维度都是整数。就是有没有就是说维度是为分数的,或是为无理数的。而。
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呃,大家可以猜测一下,就是说。呃,有没有。一种图形,它这个维度是啊,一种是分数的。或者是无理数的。呃,好像没有。那么我就直接讲了,呃,其实是有图,有有几种图形,它的维度啊,是分数为的。那么我们之前讲的这个科赫曲线,它的维度啊是约等于1.26的。你要说比。这个线条的这个维度是要大,但是比。面积的维度啊,是要小的,它是处于一和二之间的。那么这就非常好解释为什么克和曲线的长度是无穷而。
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它的这个面积是零的,因为呃,可以想想就是如果你拿一个。尺子去量一个,比如说长方体的话,你量出来是呃无穷长的这个呃长度,但是如果如果你用面积来去衡量一个线段的话,你折出来结果就是线段是没有面积的。那么对于曲线的,呃,也是一样的,就是你拿一个低维的。一个几何图形去量一个比较高维的。这个刻和曲线的话,你所得出来结果就是这个刻曲线的这个长度是无穷无尽的,但是因为这个1.26是比二要小的,所以说你拿面积去衡量一个课合曲线。
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那么你所得出来结果就是刻和曲线是没有面积的,也就是说面积是零的。那么这个是呃,非常有序的一个,呃,知识,也就是说其实维度它是也有分数的,不是不只是有整数的。呃,当然,呃,具体怎么得出来就是。这个曲线维度是1.26呢,那么这个之后的话是。在高中话会有讲,就是有对数这么一个运算,但是在这一块不用详细去讲,因为比较复杂。OK。那么曲线这个性质讲完了。啊,对了。那其那这样来看的话,我们是不是不能去衡量一个克和曲线的这个大小呢。
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其实不是,数学家们就想了一个比较聪明的办法。如果说你选取和曲线一个一小部分作为一个呃单位长度,比如说。这这一个一小部分。我们定义它为是ED。呃,异地这个,呃,长度那么。我们就可以推出来,它整一个图形就是大的一个。曲线的。啊,不好意思。如果我们是拿一个。它的一部分作为一个单位长度的话,我们可以得出来它整一个图形的长度是4D的。因为我们选取的。单位它的这个维度是和这个和曲线这个维度是一模一样的,所以说就不存在说是啊,你拿一个。
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呃。可能嗯,单位长度,然后所量出来结果是无穷或者是零。呃,其实有点类似于。啊。就是不同这个呃维的选择是会影响这个图测量。呃,大家可以领会一下。OK。那么接下来就讲一下第二个型图片,就是谢宾斯基三角形。那么简单介绍介绍一下它生成啊。它这个生成呃比较简单,就是取一个实心的三角形啊,最好是用等边三角形。
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当然呃,用钝角三角形或者是锐角直角的也可以。第二步的话是。连接这三边中点,然后将它们分成四个小正三角形。然后分完之后,把正中间这个三角形给它挖掉,然后就得出来这个图二这个结果。然后第四步的话就是重复操作,也就说其余的三个小三角形就不断去挖空中间的。三角形,然后最终会得出来这个结果。当然他只不过操作四步而已,如果操作无穷无尽的话,我们会得出来这个结果。呃,得出来这个。呃,分型图片。那么。呃,同样的。我们可以说是。
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呃,我先跟大家说一下它这个维度,那么这个谢宾cga的这个维度呢,是1.58的,是比曲线要大一些的。所以说,其实如果你用和曲线的这个维度去衡量谢宾司机的。呃,图片这种长度吧。那么你所得出的结果其实是无穷多个课和曲线。呃,就是大概是这样一个原理。那么我们衡量的话,也可以说是呃,选取其中一个小的C三角形作为一个呃单位长度。那么我们会得出来整一个。大的这个四级,它的这个长度是3X。呃,这个X的话就是,呃,我们自定义的一个单位,比如说是。
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这个谢司机,小的谢司机。OK。那么,呃。这个原理,还有它这个性质啊,就大致讲完了。那么可能会有同学说,这个分析在现实生活当中就是有用吗?呃,当然案是非常有用,那么第一个用处话,在线。上面的话是呃,也就是说天线上面是经常会用到这个分型图片的,大家可以看到。那么它这个形状其实是分型图片中的一种啊,当然我没有具体讲。那么这样做的好处呢,就是可以呃捕捉到不同频率的信号,然后就是增加这个。信息接收的这个广度。
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而分析的第二个用处呢,就是,呃,大家可能没想到,其实是在电影方面是。有这个比较大的贡献。那么比如说大家可以看到这个是其实是大战前三部的一个片段,就是在。上。电影中的这个岩浆特效呢,其实正好用的是分行这种操作来去模拟出这个岩浆喷发,然后。呃,下来的这个,呃,特效吧,视觉特效。所以说这个分呢,虽然看上去好像跟我们现实是没有关系的,因为这个维度是呃,分数维度嘛。但是在现实生活中还是挺有用的。
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啊。那么今天的课程可能比较短。呃,最后留给大家一个问题吧,就是说世界上有没有存在说分数为空间?因为我们经常会听过,比如说三维空间,四维空间啊,那么有没有那种分数空间。那么在这个分数为空间当中,有没有存在就是像我一样的这种生物,就是智慧生物?啊。大家可以课后思考一下。那么今天课程的话就讲到这里了,就比较简短。那么呃,谢谢大家参与。呃,那么大家还有什么问题吗?
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嗯。呃,带动。哦,没有。其他同学呢?哦。OK。OK啊。嗯。那就。其他同学的话。呃,那今天课程就先结束到这,如果还有什么问题的话,可以在群里说一下。那么今天课程到此为止,谢谢大家。
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