论梯度下降

本文首先浅析梯度下降的原理，然后通过线性回归、BP神经网络和TensorFlow深度学习网络三个场景分析梯度下降的应用，让“AI调包左侍郎”知道一句代码背后的波涛汹涌。

一、什么是梯度下降？

梯度下降法，GradientDescent，是一种最优化算法，是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，也是求解机器学习算法中模型参数的最常用方法之一。梯度下降要解决的问题就是，给定函数，如何求得，即给定了初始化的，不断改变，直到达到一个全局最小值，或者局部最小值。

梯度下降法的直观解释就是如下图，人在大山的某处（初始位置），如何寻找最快的下山路径？那么从初始位置起，求解当前位置的梯度，也就是当前最陡峭的位置向下根据步长走一步，然后继续求解当前位置梯度，这样一步步走下去直至山脚。但是梯度下降法也有一个缺点，即可能会产生局部最优，而不是全局最优，比如下图右侧的那条下山路径。

根据上面的形象例子，有两个直观的概念：

1 梯度。各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。其几何意义，就是函数变化增加最快的地方。沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，更加容易找到函数的最小值。如下图所示就是对不断求偏导的过程，红色的线就是当前位置的梯度，也就是斜率，也就是变化最快的方向。

2 步长。步长决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度方向前进的长度。步长也叫做学习率。形象点说，步长（学习率）就是在当前所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走的那一步的长度。步长通常是一个0～1之间的数字，既不能太大，也不能太小，因为如果太大会有震荡（如下图）而无法收敛，如果太小则收敛太慢，这也就是机器学习中需要不断调参的地方。

在前述概念的基础上，梯度下降的算法就按如下方法同步更新迭代即可：

二、梯度下降应用在线形回归中

首先把梯度回归应用在线形回归求解中。大家知道，在线形回归中，不管是二元线形回归还是多元线形回归，假设函数（hypothesis function即模型）为线性组合，而损失函数（lossfunction）为二次代价函数。这里普及一个基本概念，模型拟合好坏的效果，通常是通过损失函数来衡量的，二次代价函数为最常见的损失函数，表示各个实际值与预测值之间差值的平方的平均值，当然那个1/2是为了求导时约去平方而存在的。即：

应用梯度下降法中梯度的原理，对求偏导数如下。求偏导的方法没有还回数学老师吧，根据链式法则，平方2和1/2约掉了，然后

，当对求偏导时为1，当对求偏导时为x。

应用梯度下降法中同步更新的原理，根据步长或者学习率不断更新参数

，直至收敛就完成了线形回归的模型求解。

虽然梯度下降法能够求解线形回归参数，不过在机器学习库Sklearn里调用LinearRegression.fit(x_data, y_data)时，使用的却是标准方程法，来对线形回归的loss函数求解。

三、梯度下降应用在BP神经网络中

接下来看梯度下降在神经网络方向传播中的求解。在典型的神经网络求解中，通常权值矩阵是随机初始化的，然后利用梯度下降法，最小化预测值与真实值之间的误差，通过反向传播的方式不断更新权值。说白了也就是调包左侍郎在调用多层感知器时背后发生的事情，例如下面代码设置了分别是100个神经元、50个神经元的2个隐藏层，整个神经网络的最大迭代次数为500次。

mlp =MLPClassifier(hidden_layer_sizes=(100,50) ,max_iter=500)

mlp.fit(x_train,y_train)

那么这里max_iter的迭代过程，就是使用梯度下降法进行反向传播不断更新权值，训练网络的过程，也叫做Delta学习法则。这里损失（代价）函数依然是二次代价函数：

根据梯度下降法则计算权值更新的梯度，其中为最终输出层的学习信号，为第l层的学习信号，如下式所示。

最后，如果神经网络的激活函数是sigmoid函数，那么可根据

代入后进一步展开。

四、梯度下降应用在深度学习网络中

最后再看下梯度下降在TensorFlow深度学习网络的求解。跟神经网络类似，深度学习网络也是先随机化权值矩阵，然后使用梯度下降法，不断迭代，最小化代价函数，更新神经网络权值矩阵。例如W = tf.Variable(tf.zeros([784,10])) 就使用tensorflow初始化了一个784*10的全零权值矩阵，然后基于此不断梯度迭代。跟神经网络不太相同的是，深度学习网络通常会选用交叉熵作为损失（代价）函数，来有效克服二次代价函数训练“慢启动”的问题。如下面调包左侍郎的TensorFlow代码：

train_step= tf.train.GradientDescentOptimizer(0.2).minimize(loss)

就是使用了交叉熵cross_entropy作为损失函数，然后使用梯度下降法SDG进行权值的迭代优化，其中学习率步长为0.2. 当然TensorFlow里除了梯度下降法外，还有很多其他的优化器，比如最常用的Adam优化器等。交叉熵函数对参数W求导如下式所示：