一场椭圆曲线的寻根问祖之旅

本文介绍密码学中常见的椭圆曲线以及他们之间的关系，介绍不同标准体系的命名规则，尝试描述椭圆曲线之间的家族演义关系。文章试图讲清椭圆曲线相关概念和功能，不涉及复杂的数学证明和推理，欢迎感兴趣的同学阅读。

笔者主要参考Wikipedia和相关组织网站的信息进行整理，不排除出现纰漏的可能，欢迎专家批评指正。

一个可能你没关心过的问题

在《一个数字引发的探索——ECDSA解析》中提到的椭圆曲线secp256k1，它有一些特性，可以快速计算出recoveryID。

这个secp256k1为什么如此命名？

不怕各位笑话，我在弄清楚它之前，经常拼写错，写成sec256pk1，seck256p1等。

咬文嚼字secp256k1

搞清楚secp256k1的命名含义其实很简单，搜索引擎可以快速为你定位到答案，它出自一个密码协议标准，每一个字母和数字都代表着特定含义，我们来逐一解析。

1、密码协议标准

第一部分是「sec」，sec是Standards for Efficient Cryptography 的简称，是SECG发布的一种密码学协议标准。

SECG发布的「SEC 1」和「SEC 2」两个关于椭圆曲线的协议标准，在「SEC 2」中有详细说明secp256k1以及其他曲线的参数定义。

除了「sec」，还有众多其他关于椭圆曲线的协议标准，从「SafeCurve」中可以看到有下列不同类型的标准。

「SafeCurve」此处较久没有更新，有些标准已经更新了多次，例如NIST关于数字签名的标准 FIPS 186目前在用的是第四版，第五版也在起草中了，从「NIST」官网中可见。

NIST是美国的国家标准技术研究所（National Institute of Standards and Technology），因此，NIST的标准也是美国标准。

「NIST FIPS 186-4」标准中定义了若干椭圆曲线标准，例如NIST P-256、NIST P-384等，其中开头NIST也代表密码协议标准的名字。后续描述都是围绕这两个标准来解析。

2、有限域

第二部分是「p」，p表示该椭圆曲线是基于素数有限域Fp。有限域是离散数学中的概念，此处不做展开，简单来说，它是一个由有限数量元素组成的集合，元素之间可以进行加法和乘法计算，具备一些独特的属性。

密码学中使用椭圆曲线都是基于有限域的，除了素数有限域Fp之外，还有另一种特征为2的有限域F2m（因格式问题，2m应为2的m次方，下同） ，Fp的大小（元素个数）为p，F2m的大小为2m。

基于Fp的椭圆曲线为：

基于F2m的椭圆曲线为：

在「SEC 2」中还定义了sect163k1、sect163r1等曲线，其中，t表示的是该曲线基于F2m。在「NIST FIPS 186-4」中定了P-256、B-163等曲线，P-表示基于Fp，B-表示基于F2m。

3、有限域大小

每个椭圆曲线E都有若干关键参数，包括阶为n的基点G和系数h等，其中，n为一个大素数，n*h为椭圆曲线上点的数量。为了计算效率考虑，h通常设置为1、2或4。

通俗地讲，如果椭圆曲线上的点数量越多，那么这条椭圆曲线的安全度就越高，因此n的取值是影响曲线安全的关键。

椭圆曲线又都是基于有限域的，曲线上的点都是有限域中的元素，因此，有限域大小决定了曲线安全度。

第三部分「256」就是有限域大小的表现形式，还有更多其他如192、224、384等，在「NIST FIPS 186-4」中有个表格展现了Fp 和F2m 两个域的各种不同大小配置。

SEC标准在这块的设置和NIST标准类似，我们会看到p系列的曲线有p192、p224、p256（secp256k1就是其中一种）、p384和p521，t/B系列有t163/B-163、t233/B-233等。

4、Koblitz Curve

第四部分「k」表示该曲线是Koblitz Curve，从「SEC 2」中可以看到还有此处标记为r的曲线（如secp256r1），r表示该曲线是伪随机曲线Pesudo-Random Curve。

Koblitz Curve命名源自数学家「Neal Koblitz」，它是一种特殊的曲线，它的一些参数是精心挑选设置的。Koblitz Curve具有自同态的性质，可以通过优化大幅提升计算效率。

相比之下，Pesudo-Random Curve的对应参数是通过随机种子计算出来的，有标准的检验算法可以检测所有参数是随机种子产生而来。

对应「2、有限域」中的两个椭圆曲线，Koblitz Curve分别简化为：

例如，secp256k1对应的曲线b=7，即曲线表示为

在「NIST FIPS 186-4」中Koblitz Curve曲线以「K-」标记开头，分别有K-163、K-233等。

5、末位标记

到了第五部分「1」，这是代表在前4个条件下提供了多种推荐参数设置，在 SEC 标准中大部分该位都是1，即只提供一种推荐参数，sect163r2是一个例外。

下面把 SEC 和 NIST 两个标准推荐的曲线分别列一下，二者有较大部分是相同的参数设置。

上述表格中，同一行中 SEC 和 NIST 都出现的，两个曲线虽然名字不同，但参数完全相同，也就是说其实一样的。

橙色底纹的几个SEC曲线没有对应的NIST曲线，因此SEC标准包含的曲线比NIST多一些，本文开头提到的secp256k1就是SEC单独存在的。

说到这里，不得不提一个正经八卦。据说，NIST推荐的Pesudo-Random Curve，也就是P和B系列，并没有公布随机数挑选规则，外界存在一种疑虑，可能NSA（美国国家安全局）掌握了后门，能够轻易破解这些密码协议。

有兴趣的同学可以搜索「Dual_EC_DRBG后门」，更大的八卦是据说中本聪选择secp256k1作为比特币签名算法的曲线，而没有选择更常用的secp256r1，也是因为这个潜藏的风险。

椭圆曲线族谱

调研发现，「STD」记录了比「SafeCurve」更为详细的标准和曲线，感觉这可以算是椭圆曲线族谱了。翻阅该网站记录的所有曲线，发现绝大部分还是基于「（2）有限域」中的曲线，推荐的参数不同而已。

但是，在「other」中存在几种例外，E-222采用Edward Curve，Curve25519采用Montgomery Curve，Ed448采用Twisted Edward Curve。

Edward Curve是什么？Montgomery Curve又是怎样的？Edward与Twisted Edward Curve又有什么关系？

上述问题再一次触碰到我的知识盲区，所以接下来只好以截图为主，内容源自 Wikipedia，如果觉得看着有点晕，可直接跳过看结论。

「Edward Curve」定义如下：

「Montgomery Curve」定义如下：

「Twisted Edward Curve」定义如下：

「Curve25519」定义如下：

「Ed25519」的定义如下：

根据 Wikipedia，大概可以整理出这么几个信息：

• Edward Curve 是 Twisted Edward Curve 中的一种；
• Twisted Edward Curve和Montgomery Curve 可以互相转换；
• Edward Curve 和 Montgomery Curve 这两种曲线都具有特殊属性，例如能够为计算加速；
• Curve25519 是一种曲线，Ed25519是一种签名算法；
• Curve25519 又是精选的Montgomery Curve，具有更高的计算效率；
• Curve25519 和 Ed25519 采用的曲线是一致的，一个是Montgomery表现形式，一个是 Twisted Edward Curve 表现形式；
• 25519 的取名来自于该曲线的有限域参数 p=2的225次方-19；

在阅读Wikipedia的过程中发现一个名字「Weierstrass equation」，原来它才是这些曲线的鼻祖，在一个域k上的任何一个平面曲线，都可以表示成Weierstrass equation。

不难发现，前面提到过的各个公式都是 Weierstrass equation 的一种演化版本（Twisted Edward Curve 看起来不是，但是它可以转换到 Montgomery Curve，本质上也一样）

到此，为椭圆曲线寻根问到祖，并且从「STD」也获知了椭圆曲线家族的族谱。

「STD」中罗列了多个其他标准，例如 Brainpool 曲线系列、BN曲线系列、MNT曲线系列等，这些系列的背后都代表了一种独特的曲线生成哲学，或是为了提供可验证的随机数，或是为了提供满足 Paring 的特性，或是为了提高抗攻击的能力等等，每一份精心选择的参数都是一群数学家们巧夺天工的设计。

后话

古有拆文解字，参透汉字玄机，道破人生天机； 而今咬文嚼字，摸清椭圆原理，揭开曲线家谱。

始于名字，解码 secp256k1，厘清标准； 终于名字，问祖 weierstrass，致敬大神。

通过了解椭圆曲线之间的内在关系，对其设计有了更多一点的理解。知道的更多了，不知道的也更多了，那些特殊曲线的数学原理是什么？为什么具有更高的计算效率？性能能提升多少？…

又是一个深夜，拥抱最新的收获，夹杂更多的困惑。电脑中正好在播放“把太细的神经割掉，会不会比较睡得着…”

作者简介

李辉忠，微众银行FISCO BCOS 高级架构师。

参考资料

SEC1 : https://www.secg.org/sec1-v2.pdf

SEC2： https://www.secg.org/sec2-v2.pdf

NIST： https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-4.pdf

STD： https://neuromancer.sk/std/

SafeCurves： https://safecurves.cr.yp.to

Koblitz Curves： https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F3-540-46766-1_22.pdf

Weierstrass Equation： https://www.lmfdb.org/knowledge/show/ec.weierstrass_coeffs

Montgomery Curve wiki： https://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery_curve

Twisted Edward Curve wiki： https://en.wikipedia.org/wiki/Twisted_Edwards_curve

Edward Curve wiki： https://en.wikipedia.org/wiki/Twisted_Edwards_curve

ECDSA wiki： https://en.wikipedia.org/wiki/EdDSA#Ed25519

Curve25519 wiki： https://en.wikipedia.org/wiki/Curve25519

Curve25519 paper： http://cr.yp.to/ecdh/curve25519-20060209.pdf

Ed25519 paper： http://ed25519.cr.yp.to/ed25519-20110926.pdf