更新三个好玩的算法问题，我自己写的一个CFD入门资料

封面是直播某大佬的网图，实在没封面图了

这个笔记是我之前为CFDer准备的预习资料。最近更新了一些好玩的CFD内容，主要是下面这三个：变量有界性、守恒与非守恒、动理学方程、矩方程与N-S方程

什么是变量有界？举个非常简单的例子，一个进出的流场，进口温度50度，在没有能量产生的情况下，最高温度不能高于50度。有界性的问题在CFD里太常见且应用非常频繁。比如湍流动能是一个平方和的形式，因此不可能小于0。密度，不可能小于0。随便一个网格出现越界行为，直接发散！！

什么是守恒与非守恒？CFD方程分为守恒与非守恒形式。还分为有限体积和有限差分，但是为什么CFD都喜欢有限体积呢？为什么商软、OpenFOAM不用有限差分、有限元做CFD呢？问题的根源在于求解的虽然都是一套方程。但是方程的连续形式和离散形式是不同的。就像压力泊松方程的连续形式和离散形式也是有区别的。

最后一个是矩方程和N-S方程的关系。我屡次提及N-S方程可以理解为二阶矩方程。这个N-S方程只用了两个矩啊，高阶矩全部扔掉了啊。这就会出现问题的嘛！这一部分内容，简单的把玻尔兹曼方程、矩方程和N-S方程联系起来，让大家找找感觉。如果感兴趣，可以转过来研究矩方法啊，这面简直太复杂了，绝对能治好算法不服。国内做矩方法的太少了，只是那一小拨人，欢迎来搞

这些内容我放在了补充资料，原因是这些内容并不是必须要的，可能刚了解CFD的时候，连N-S方程都没搞懂，就搞玻尔兹曼太发懵了，所以仅供大体了解下，让大家知道原来CFD这面可以玩的非常多。

在12月份我要更新一大部分内容，就是积分形式方程，要放在前面，必须要掌握的。之前放在GCFD讲，但是发现貌似多重积分很难被消化，直接写在这里面好了。

对了，这个很多人帮我勘误，我都对贡献有所标记。最近在更新OpenFOAM-7的用户指南，应该这几天就会发布。

在这里贴上一些前言的内容

1. 动量方程左边第二项是关于U乘积的偏导数，这种未知量和未知量乘积的问题构成非线性问题，CFD对非线性问题需要特殊处理。另一方面，非线性的双曲问题的解可能会存在间断（如激波）。激波通常存在于高超声速的欧拉问题求解中。同时，非线性项也是湍流在数学方程中的体现；

2. 动量方程的数学特征为抛物线。不同数学特征的问题需要调用不同的时间/空间离散格式，隐性时间格式更有利于求解抛物线问题。若动量方程中省略若干项则会改变方程的数学特征，例如若将方程右侧置为0，则变为双曲特征的欧拉方程。欧拉方程得益于其双曲特性，可采用迎风类显性算法推进，各种基于有限体积法的高分辨率格式因此而生（交错网格中心格式、中心-迎风格式等）。同时，动量方程的对流项、和扩散项的相对强弱，也会影响边界条件的设置（如DNS的出口无反射边界条件）；

3. 在马赫数较大时（如大于0.3），连续方程可用来求解密度，动量方程可用来求解速度，同时附加能量方程求解温度以及状态方程求解压力，即密度基求解器。在马赫数较小时，并没有单独的压力方程，并且连续性方程缺少主要求解变量。这导致压力的求解需要特殊的策略。这也是CFD中压力基求解器（SIMPLE/PISO算法）。在构建离散矩阵的情况下，对速度和压力整合处理还是单独处理，是分离求解与耦合算法的重要问题；

4. N-S方程为宏观方程，调用了宏观假定，其可从玻尔兹曼方程推导而来。在更底层的介尺度研究领域，N-S方程也即从介尺度模型演化的宏观二阶矩模型。在无压力无粘性的条件下具备弱双曲特征。由于失去了高阶矩的统计学特征，因此N-S方程在某些情况下是不适用；

如果你觉得需要加点什么，可以留言告诉我，我考虑下。但作为为刚入门的CFDer来准备的资料，不适合弄太深奥的东西

对了对了，前几天看cfd-online统计数据，这20年来OpenFOAM第一次排到了第一位，之前OpenFOAM一直千年老二，20年来首次啊

越说越跑题