大家好!编程攻略的巫老师,今天跟大家分享函数的单侧极限的证明方式,希望对大家编程内功有所帮助。我们将会不断的推出java 、C/C++、Python、Linux、系统运维等有关编程技术的视频,敬请期待!
如果想观看巫老师录制的函数极限定义的理解,请点击如下的视频连接:
引言
在高等数学中,很多性质不再像是高中那样,直接给出一个定义或者性质,而是要“为了证明而证明”,这和高中的思维很不一样,也许你认为“本来就是这样”的定义和公式,都是通过严谨的证明出来的!从今天开始,我们也要形成高等数学的思维模式,一切都不是想当然,而是“推理证明”的结果!
课程目标:
1、理解函数的左右极限和函数极限的关系。
2、体会数学分析的数学思考方式和方法。
性质一:
函数趋向一个值时,极限存在的充要条件是:左右极限各自存在并且相等!
大家也许不是很理解什么是“充要条件”,其实“充要条件”表达的是:AB;
通过A能推出B,反过来B也能推出A;
这句话的意思是说:
1如果函数在X点的极限A,那么该函数在X点的左右极限都是A;
2如果函数在X点的左右极限是A,那么该函数在X点的极限是A;
单侧极限
了解左右趋近符号:
下面我们用数学分析的方式去证明以上的两个定义!
大家看到上面的证明,绝对是想不到这么证明方式!!这就是高等数学的分析思路!大学数学就是在训练这种分析和证明的思维方法!这就是数学语言!现在大家还没有形成这种证明的思维方式!这和高中的思维方式的绝对不同的!现在只能强行记忆这种分析方式!
此阶段,我只能带着大家去分解理解这种分析方式!
求证:如果函数在X点的极限A,那么该函数在X点的左右极限都是A;
这句话暗含着
x的移动方向只有两种,x向左边靠近x,或向右靠近x
当x一直从右向左移动时候:
所以存在:在0
当x一直从左向右移动时候:
也存在:在0< x0-x
所以:如果函数在X点的极限A,那么函数在X点的的左极限和右极限都是A;
求证:如果函数在X点的左右极限是A,那么该函数在X点的极限是A;
所以:存在任意的ε>0,存在δ1>0,当0
我们这里为了理解,假设:δ=δ2
求证思路:要想使该等式成立,那么只要求证左极限等于右极限即可!
首先证明:右极限
证明:当x->0+,x从右往左趋向时,可知x
因为:
那么存在ε>0,对任意的x-1-0< ε =>x-0
所以:
再证明左极限:
证明:当x->0-,x从左往右趋向时,可知x>0,所以:f(x)=x+1;
那么存在ε>0,对任意的(x+1-0)< ε =>x-0
因为:x>0,而ε可以取值小于1,ε-1
所以:
最极限不等于右极限,所以
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