次线性期望下带有均值不确定性的独立随机变量列的正则化及其在中心极限定理中的应用

李欣鹏，牛景旭，张立新

本文提出一种正则化方法，将次线性期望下带有均值不确定性的独立序列转化为零均值序列，并研究该正则化的相关性质。作为应用，本文给出带有均值不确定性的独立同分布多维随机向量列的中心极限定理成立的充要条件。

一

研究背景

在经典概率论中，给定一列独立的随机变量，研究相应的极限定理时，只需将原序列的每一项减去其对应的均值，即可将其正则化为零均值的独立序列，从而只需考虑零均值的情形。在彭实戈院士提出的次线性期望理论中，可基于次线性期望定义独立性与分布的概念，并建立相应的极限定理([1,2])。为得到次线性期望下的中心极限定理，现有研究大多假设随机变量为零均值。对于均值确定的情形，采用与经典概率论类似的方法，可将其正则化为零均值的情形。值得注意的是，均值不确定性是次线性期望理论中所独有的现象，此时经典概率论中的类似正则化方法在次线性期望下将失效。

二

研究成果

本文首先在典则空间上考虑独立的典则随机变量，提出以条件期望作为正则化因子的正则化方法，从而将独立同分布且具有均值不确定性的随机变量列正则化为独立同分布且零均值的随机变量列。在一般的次线性期望空间上，也可采用类似的正则化方法，但此时正则化后的零均值随机变量列仅满足拟独立性。

作为上述研究成果的应用，本文基于张立新教授所得到的零均值独立同分布随机向量列中心极限定理成立的充要条件([3,4])，首先在典则空间上给出了具有均值不确定性的独立同分布随机向量列中心极限定理成立的充要条件，随后借助本文提出的表示定理，将其推广至一般的次线性期望空间。

三

研究意义

本文的研究成果为研究次线性期望下带有均值不确定性的极限定理提供了全新的研究范式：首先在典则空间上使用正则化方法将其转化为零均值情形，随后借助表示定理将所得结果推广到一般的次线性期望空间。基于本文的研究成果，还可以将在零均值情形下得到的诸如中心极限定理的收敛速率等结果，自然地推广到具有均值不确定性的情形。

【参考文献】

[1] Peng S G. Law of large numbers and central limit theorem under nonlinear expectations. Probab Uncertain Quant Risk, 2019, 4: 1–8

[2] Peng S G. Nonlinear Expectations and Stochastic Calculus under Uncertainty with Robust CLT and G-Brownian Motion. Berlin-Heidelberg: Springer, 2019

[3] Zhang L X. The convergence of the sums of independent random variables under the sub-linear expectations. Acta Math Sin (Engl Ser), 2020, 36: 224–244

[4] Zhang L X. Functional Shige Peng’s central limit theorems for martingale vectors. Commun Math Stat, 2024, 12: 357–383

作者简介

李欣鹏，山东大学数学与交叉科学研究中心教授，主要从事非线性期望理论及其在金融数学、人工智能等领域应用的研究。

牛景旭，山东大学数学与交叉科学研究中心博士生，研究方向为非线性期望理论。

张立新，浙江工商大学统计与数据科学学院特聘教授，主要从事概率极限理论、非线性期望理论、自适应随机化试验的研究。