如何对1千万个整数进行快速排序

前言

输入：一个最多包含n个正整数的文件，每个数都小于n，其中n=10^7。如果在输入文件中有任何正数重复出现就是致命错误。没有其他数据与该正数相关联。

输出：按升序排列的输入整数的列表。

约束：最多有（大约）1MB的内存空间可用，有充足的磁盘存储空间可用。运行时间最多几分钟，运行时间为10秒就不需要进一步优化。

这是《编程珠玑》中很有意思的一个问题。今天给大家分享一下并附上自己的代码实现。

分析

这个问题的限制在于，大约只有1MB的内存空间可用，而存储10^7个整数却大约需要4*10^7字节即大约需要40M内存，显然是不够用的。

一种思路是，既然总的内存不够，我们可以读取40次，例如，第一次读取0至249 999之间的数，并对其进行排序输出，第二次读取250 000 至499 999之间的数，并对其排序输出。以次类推，在进行了多次排序之后就完成了对所有数据的排序，并输出到文件中。

另外一种思路是，既然有充足的磁盘存储空间可用，那么我们可以借助中间文件。读入一次输入文件，利用中间文件进行归并排序写入输出文件。

那么能否结合两种思路呢？即只需要读取一次，也不借助中间文件？或者说，如何用大约1MB内存空间，即大约８00万个比特位最多表示10^７个互异的数呢？

位图法

借助位图法当然是可以的。我们可以用一个比特位来代表一个数。例如，对于整数集合，可以使用下面的比特位表示：

数值存在的比特位置为1，其他位为0，对应上面的即可。分别在第1，2，5，6，7比特位置1即可。而上面的比特位转换为整数值为103，只需要一个字节便可存储。

回到我们之前的问题。对于最多10^7个整数，我们大约需要10^7个比特位，即10^7/(8*1024*1024)MB，约1.2M的内存即可存储。

至此，我们可以梳理出算法大体流程：

1.对给定大小的数组所有比特位置0

2.循环读取输入文件的数据，并将对应数值大小的比特位置1

3.遍历数组各比特位，如果位为1，则输出对应比特位的位置整数

C语言实现

C语言实现代码如下：

srcNum.txt中存放了早已生成好的小于10^7的大量无重复整数，编译运行结果如下：

可以看到运行时间为秒级。

关键点说明：

putIntoBitMap和isInBitMap函数是该算法的关键函数

putIntoBitMap将整数对应的比特位置1

isInBitMap 判断整数所在比特位是否为1

例如对于整数81，它所在的字节数是81/8 = 10，第10字节（从0开始数），所在的比特位为81%8=1，第1个比特位。那么我们只需要将第10字节的第1个比特位置1即可。

如何将第n个比特位置1？先将1左移n位（n小于8），得到一个值，再将这个值与该字节进行相或即可。例如，如果需要将第4个比特位置1，则1左移4位，得到二进制的00010000即16，若原来该字节值为01000000，即64时，只需将64与16逻辑或即可。

上面的程序还有很多不足之处，包括未对输入做任何检查，未对输入数量做校验等等。这一切都基于输入数据都是正确的，但这丝毫不影响我们对该算法思想的理解。

总结

位图法适用于大规模数据，但数据状态又不是很多的情况。对于上面的程序，几乎是做完读取操作之后，排序就完成了，效率惊人。

思考

给定一个最多包含40亿个随机排列的32位整数的文件，如何快速判断给出的一个数是否在其中？

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