一文读懂最大熵原理及Python实现

哪怕整书已经看过一遍了，我仍然认为最大熵是耗费我时间较多的模型之一。主要原因在于千篇一律的博客以及李航的《统计学习方法》在这一章可能为了提高公式泛化性而简化的关键点。当然了，在阅读上没有问题，可是在程序的编写上可能是我历时最久的。如果读者需要编写最大熵模型，比较建议使用我的博客配合代码学习，忘掉书上的这一章吧。

最大熵的直观理解

为了引出最大熵，我们可能需要举一个所有博客都会举的例子：如果我手里拿着一个骰子，想问你扔下去后是每一面朝上的概率是多少？所有人都能抢答出来是1/6。那么为什么是1/6呢？为什么不是1/2或者1/3？

因为六个面的概率相同呀

emmm….我暂时承认你说的有点道理。可是如果这是老千手里的骰子呢？你还会答1/6吗？

可是你没说是老千手里的骰子呀

你让我哑口无言了，可是为什么大家在猜之前不会去假设是不是老千的骰子这种情况呢？

因为你没说是老千手里的骰子呀

完蛋了，又绕回来了。不过我想想也是，如果要考虑老千，那么也可能要考虑骰子是不是破损了，桌面是不是有问题……完蛋了，没头了。

所以1/6最保险呀

如果我告诉你1朝上的概率是1/2呢？

那剩下的就是1/10呀

emmm…我承认在目前的对话中你是明智的，而我像个低龄的儿童。但是我要告诉你，上面几句对话，其实就是最大熵。

当我们在猜测概率时，不确定的部分我们都认为是等可能的，就好像骰子一样，我们知道有六个面，那么在概率的猜测上会倾向于1/6，也就是等可能，换句话讲，也就是倾向于均匀分布。为什么倾向均匀分布？你都告诉我了，因为这样最保险呀！当我们被告知1朝上的概率是1/2时，剩下的我们仍然会以最保险的形式去猜测是1/10。是啊，最大熵就是这样一个朴素的道理：

凡是我们知道的，就把它考虑进去，凡是不知道的，通通均匀分布！

从另一个角度看，均匀分布其实保证的是谁也不偏向谁。我说万一是老千的骰子呢？你说万一骰子有破损呢？骰子好端端地放在那咱俩地里咕噜瞎猜啥呢。咱们与其瞎猜是啥啥啥情况，干脆就均匀分布，谁也不偏向谁。

多朴素的道理啊！

朴素贝叶斯分类器的数学角度（配合《统计学习方法》食用更佳）

在最大熵章节中我们在公式上仍然参考《统计学习方法》，除此之外会补充一些必要知识点，建议阅读完毕后浏览一下代码知道详细的用法。

最大熵模型是一个分类模型，这样，我们照旧不管中间过程，统统都不管，我们最终可能会想要这样一个式子： P(Y|X)。是啊，P(Y|X)就像一个终极的大门一样，扔进入一个样本x，输出标签y为各种值的概率。我们现在手里有一堆训练数据，此外手握终极大式子P(Y|X)，是不是想到了朴素贝叶斯？我们对训练数据进行分析，获得先验概率，从而得到P(Y|X)模型进行预测。最大熵也有数据和相同的终极大式子，那么

最大熵和朴素贝叶斯有什么联系？

可以说在本质上是非常密切的，但具体的联系和区别，我希望读者正式了解了最大熵以后，我们一起放在文章末尾讨论。

文章的最初，我们需要给出最大熵公式，如果对下面这个式子不太熟悉的，可以查看《代码+剖析|决策树原理剖析及实现》一节 ：

H(P)表现为事件P的熵变，也称为事件P的不确定性。对于最大熵模型而言，我们一直记得那个终极式子P(Y|X)，如果放到骰子例子中，P(Y=1|X)表示扔了一个骰子，1朝上的概率，P(Y=2|X)表示2朝上的概率。我们之前怎么说的？我们只知道骰子是六面，至于其他情况我们一概不知，在不知道的情况下，我们就不能瞎做推测，换言之，我们就是要让这个P(Y|X)的不确定性程度最高。

不确定性程度最高？

可能有些读者这么一绕没回过神来，如果我告诉你点数1朝上的概率是1/2，你是不是对这个概率分布开始有了一点认识，那么会将剩下的面认为是1/10（注：1朝上概率是1/2，那么1背面的概率一定会降低，但我们没有考虑这件事情，事实上我们不应该添加任何的主观假设，因为实际上有些骰子1的背面是3，也有些是4，任何主观假设都有可能造成偏见产生错误的推断）。你推断剩余面是1/10的概率是因为我告诉了你信息，你对这个骰子开始有了一些确定的认识，也就是信息的不确定性程度——熵减少了。但事实上我没有告诉你这一信息，你对P(Y|X)的分布是很不确定的，那么我们能不能用使用下面这个式子，让H(P)最大化来表示我们对P(Y|X)的极大不确定呢？事实上当我们令下式中H(P)最大时，P(Y|X)正好等于1/6。也就是说，如果我们要让熵最大，P(Y|X)必须为1/6。换句话说，只有我们把骰子的每一面概率当做1/6时，才能充分表示我们对骰子每一面的概率分布的极度不确定性，骰子的概率这件事情的混乱度最高，同时也传递了一个信息：我们对这件事情没有添加任何主观的假设，对任何未知的东西没有偏见和主观假象，这是最保险、最安全的做法。

上式可以理解成x=托马斯全旋法扔骰子，y为各类结果的概率。那么我们并不是说x只有托马斯全旋法这一种，很可能还有王思聪吃热狗法扔骰子、边骂作者啥也不懂边扔骰子法等等等等….我们要使得在所有情况下熵都是最大，所以引出下式：

加了一个P_(x)是什么意思？就是说我在求每种x对应的y时，要考虑到x出现的概率进行相乘。换句话说，也可以认为是当前P(y|x)的权值。因为我们要保证在所有情况下总的熵是最大的，所以每个部分单独的熵乘以权值后再相加，就是整个事件的熵。上式这个模型，其实就是最大熵模型，我们要让P(y|x)的熵最大，等价于让H(p)最大，我们好像获得了一个新的终极大式子。目前来看，只要能够让H(P)为最大值，那就能获得模型啦。

emmm….不过里面的各个子式好像也不是那么好求的。所以我们暂时先忘记上面的式子，好好回想一下咱们手里有哪些信息，好好整理一下。

我认为我手里应该会有一个训练集，包含所有的样本以及样本对应的标签（训练集都没有的话啥模型也训练不了啊，那可太惨了）。

那么我们首先可以得到训练集中x，y的联合概率分布以及x的边缘分布，数据都在我们手上，这两个很简单就能求出来对吧。

在上式中v表示频数，第一个式子的分子也就表示(x, y)组合出现的次数，处于总数N即为(x, y)组合出现的概率，也就是P(X, Y)。第二个式子同理，求得P(X=x)的概率。那么现在P(X, Y)和(X)我们知道了，有什么用呢？emmm….暂时好像还没什么头绪，我们看下式，书中说这是特征函数f(x, y)关于经验分布p(x, y)的期望值，f(x, y)在x和y满足某一事实时结果为1，反之输出0。比如说训练集中某一样本记录是托马斯回旋法扔骰子，结果是5朝上。那么f(x=托马斯回旋法扔骰子|Y=5)=1。其实更简单的理解，可以认为如果(x, y)出现在训练集中，那么它就是1，因为一旦出现在训练集中，说明(x, y)对已经符合了某一样本的事实了。P上面的短横表示这个模型是基于训练集得出来的，只能被称为经验分布。

于此同时我们可以直接将P_(x, y)拆开来，拆成下式：

那么我们将P_(x, y)转换成了P_(x)*P(y|x)，发现什么了没有？里面有P_(y|x)，这个和我们要得到的最终大式子P(Y|X)很像，那么如果我们只是将其替换进去变成下面这样会有什么结果呢？

我们发现，如果我们的预测模型P(y|x)是正确的话，那P(y|x)应该等于p_(y, x)，也就是说

这两个应该相等！或者说：

那这个有啥用？emmm….我们将我们目前知道的信息整理出来了上式，老实说，目前来看没啥用…..

咦？等等，我们换种思维想一下，我们知道如果做出来的模型足够正确的画，那应该上面的两个式子相等，那….这算不算一种约束？约束我一定要得到正确的模型？还记得我们要最大化的那个熵的式子吗？这个代表了我们要求得的模型。

那加上我们刚刚整理出来的约束：

是不是看起来有点像那么回事了，第三个式子也是一个约束，概率和一定为1嘛。在机器学习中不止一次见到了上图的式子形式，但通常是求min而非上图的max，那么我们再转换一下，求最大取个负号就是求最小了嘛。

好了，现在是不是知道该怎么做了？转换成拉格朗日乘子法直接求最小值H(P)呀。

但是我们并不能直接求到H(P)的最优值，在使用拉格朗日乘子法后引入了变量w，对于w，我们需要先求得L(P,W)的最大值，此时将P看成了一个常数。之后再对P操作求得-H(P)的最小值。也就是说：

一定要注意min和max下方的参数是不一样的，因为L是考虑到约束函数从生成的目标桉树，在求解最优的参数w以此使得我们的模型能够符合约束时P只是一个定值，此时需要求得最优的w以此保证约束条件对模型的约束性。当求得w后P满足了约束性，此时再求最优的P以此使得-H(p)最小化，也就是H(p)最大化以此得到最优模型。

与此同时，我们可以将上式转换为下式，因为L是P的凸函数，因此两式等价。

所以我们先求内部的极小化问题，即min L(P， w)，因为L是此时是关于P的凸函数，w是一个定值，所以可以直接对P求导求得最小值。H(P)中的P是什么？P就是P(y|x)啊（前文在H(P)的式子中可以显然看到，事实上我们全文也一直在为P(y|x)进行准备）。因为L是P的凸函数，那么直接求导并且令求导结果为0就好啦，从而得到下式。

我们再整理一下：

上式没有什么区别，只是把分母变成了Zw，从而看起来简化不少。那么我们已经得到最优的P(y|x)了，将其代入L式中再求最优的w不就好了嘛，这个步骤也就是求个导，书上不详细展开了，因为是重复性工作，因此在这里我觉得也没有必要再讲求导式写出来，读者可以自己写一下。

因此综上，只要能够得到最优的Pw(y|x)，随后再求得最优的w，全部工作也就迎刃而解了。最主要的是Pw(y|x)问题。对于如何求解最优的Pw(y|x)，这里介绍改进的迭代尺度法(IIS)

改进的迭代尺度法(IIS)

我们已知目前的解决目标是：

所有的式子连乘取对数转换为对数似然函数为：

（在《统计学习方法》6.2.4节中说明了为何上文中关于w进行拉格朗日极大化等价于对数似然函数最大化，但由于只是一些简单的公式，这里不再展开。唯一难点在于书中给出的对数似然形式，可以查看该博客学习：最大熵模型中的对数似然函数的解释）

数学家说我们只要求对数似然函数L(w)的极大值，就一定能够得到最优解。确实是这样的，但是具体怎么求呢？我们找极大值一般使用的是求导得到导数为0的点，我没有试过上式对w进行求导能否得到解（应该是不行的，如果可以的话，也就不需要IIS法了）。IIS法的核心思想是每次增加一个量δ，使得L(w+δ)>L(w)，以此不断提高L的值，直到达到极大值。我们将L(w+δ) – L(w)写出来：

那么我们要干啥？当然得保证差值大于0呀。只有每次都比前一次的大才能保证不停地往上走。除此之外呢？我们还希望每次增加的量都尽可能大一点，这样才能以最快的速度收敛到极大值。利用不等式-lnα≥1-α我们可以得到下式：

A也可以称之为该变量的下届，就是对于任意的δ，它们的差值一定是大于等于A(δ|w)的。我们应该求一个δ使得尽量增大A(δ|w)，这样能保证我们每步都会走得尽可能跨度大，程序耗时也就越少。此外由于直接求A的最大值并不太好求，因此再将A松开一点，建立一个不太紧的方便求极大值的下界B，书中有详细公式推导，并不太难，因此不再讲解。给出最终的式子：

对B求导并令其为0，得到最优的δ，从而每次迭代过程中w=w+δ，以此提高L值，得到最优解。这就是算法的全过程。

补充（极其重要——针对mnist数据集）：

mnist是一个手写数字的数据集，里面有很多的样本，每个样本是28*28的图片，展开是一个784维的向量，代表一个数字，同时给了一个标签告诉你标签时多少。

好的，那么我的问题是：我们全文一直在说P(y|x)，可是你真正考虑过在mnist中里面的y和x都是什么吗？

有人说x是每一个样本，y是标签。看起来确实是这样的，那f(x, y)是什么？就是样本x和y是否成对出现过吗？那我如果出现一个训练集中没出现的样本，就变成0了吗？我们都知道手写每个人都不一样，不可能写出来的样本在训练集中一定有一个一模一样的，那么它就变成0了吗？

接下来我要说的事情，只针对Mnist数据集，作者进入机器学习时间尚短，不清楚书中是否是为了提高公式在所有情况下的泛化性而简略了写，因此对于其他方向的使用，保留一些意见。

事实上，对于Mnist而言所有的x都不是样本x！它表示的是样本的特征。以f(x, y)为例，或许应该写成f0(x, y)、f1(x, y), …., fn(x, y)，其中n为特征的数目。再详细下去以f0(x, y)为例，f0(x = 0, y = 0)表示是否存在这样一个事实：训练集所有样本的特征中有样本的第0个特征值为0，与此同时y为0。是不是有点理解了？

我们再以P(y|x)为例，例如P1(y=0|x=0)表示的是在训练集中所有样本中，第一个特征为0的样本其中y为0的概率。

我当时也是写程序的时候卡在这里总是不知道该怎么写，直到看了别人的实现以后才发现了这个没有提到的地方，关于具体实现可以查看我的代码，有详细注释。

最后还是需要补充一点，我并不太清楚在别的地方（例如NLP）中最大熵是如何应用的，也不清楚上面提到的这个小tip是否只是针对mnist而言做出的一个特例修改，因此保留对于这件事情的意见。

关于最大熵和朴素贝叶斯的联系

两者都使用了P(y|x)，区别在于朴素贝叶斯使用先验概率求解，最大熵利用最大化条件熵求解。

朴素贝叶斯倾向于从基本信息中提取新的信息，而最大熵将提取信息的程度进行了量化（就好像强迫自己获得概率一定是要均匀分布一样）。

贴代码：（建议去本文最上方的github链接下载，有书中所有算法的实现以及详细注释）