什么是赌客的最佳策略？

如今赌场行业风生水起，这背后隐藏着怎样的经济学定律呢?

据说博彩大亨何鸿燊早年接受葡京赌场时，业务蒸蒸日上，但是看到很多赌徒输光里场之后就开始担心：长此以往，赌客们不来了怎么办？

此时一位赌神道出了行业的实情。对赌徒来说，让他们更加担心的是赌场不在了怎么办。赌神揭示的是赌徒的心理缺陷，在很多人看来，如果是理性的赌客在猜大小的赌局中，只要在输掉之后采用翻倍下注的方法就能带着盈利离开，但是现实果真如此吗？赌客们真正的最佳策略到底是什么？要解决这些谜题，我们首先要了解一下什么是大数定律。

大数定律

在数学与统计学中，大数定律又称大数法则、大数律，是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其平均就越趋近期望值。

大数定律很重要，因为它“保证”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然之中包含着必然。

切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定律都概括了这一现象，都称为大数定律。

举例

例如，抛掷一颗均匀的6面的骰子，1，2，3，4，5，6应等概率出现，所以，每次扔出骰子的期望值是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5

{\displaystyle {\frac }=3.5}

根据大数定理，如果多次抛掷骰子，随着抛掷次数的增加精密度提升，平均值（样本平均值）应该接近3.5，根据大数定理，在多次伯努利实验中，实验概率最后收敛于理论推断的概率值，对于伯努利随机变量，理论推断的成功概率就是期望值，而若对n个变量的平均值（相互独立的随机变量），频率越多则相对越精准。

例如硬币投掷即伯努利实验，当投掷一枚均匀的硬币，理论上得出的正面向上的概率应是1/2。因此，根据大数定理，正面朝上的比例在相对“大”的数字下，“理应”接近为1/2，尤其是正面朝上的概率在n次实验（n接近无限大时）后应几近收敛到1/2。

即使正面朝上（或背面朝上）的比例接近1/2，几乎很自然的正面与负面朝上的绝对差值（absolute difference差值范围）应该相应随着抛掷次数的增加而增加。换句话说，绝对差值的概率应该是会随着抛掷次数而接近于0。直观的来看，绝对差值的期望会增加，只是慢于抛掷次数增加的速度。

表现形式

大数定律主要有两种表现形式：弱大数定律和强大数定律。定律的两种形式都肯定无疑地表明，样本均值

{\displaystyle {\overline }_={\frac }(X_+\cdots +X_)}

收敛于真值

{\displaystyle {\overline }_\,\to \,\mu \qquad {\textrm }\qquad n\to \infty ,}

其中X1,X2, ... 是独立同分布的，期望值 E(X1) = E(X2) = ...=µ的，勒贝格可积的随机变量构成的无穷序列。Xj的勒贝格可积性意味着期望值 E(Xj) 存在且有限。

方差 Var(X1) = Var(X2) = ... =σ2< ∞ 有限的假设是非必要的。很大或者无穷大的方差会使其收敛得缓慢一些，但大数定律仍然成立。通常采用这个假设来使证明更加简洁。

强和弱之间的差别在所断言的收敛的方式。对于这些方式的解释，参见随机变量的收敛。

弱大数定律

弱大数定律也称为辛钦定理，陈述为：样本均值依概率收敛于期望值。[1]

{\displaystyle {\overline }_\ {\xrightarrow }\ \mu \qquad {\textrm }\ n\to \infty .}

也就是说对于任意正数ε,

{\displaystyle \lim _P\left(\,{\overline }_-\mu >\varepsilon \,\right)=0.}

切比雪夫定理的特殊情况

[编辑]

设{\displaystyle a_,a_,...,a_,...}为相互独立的随机变量，其数学期望为：{\displaystyle E(a_)=\mu }{\displaystyle (i=1,2,...)}，方差为：{\displaystyle Var(a_)=\sigma ^(i=1,2,...)}

则序列{\displaystyle {\overline }={\frac }\sum _^a_}依概率收敛于{\displaystyle \mu }（即收敛于此数列的数学期望{\displaystyle E(a_)}）。

换言之，在定理条件下，当{\displaystyle n}无限变大时，{\displaystyle n}个随机变量的算术平均将变成一个常数。

伯努利大数定律

设在{\displaystyle n}次独立重复伯努利试验中，

事件{\displaystyle X}发生的次数为{\displaystyle n_}。

事件{\displaystyle X}在每次试验中发生的母体机率为{\displaystyle p}。

{\displaystyle n_/n}代表样本发生事件{\displaystyle X}的频率。

大数定律可用机率极限值定义: 则对任意正数{\displaystyle \varepsilon >0}，下式成立：

{\displaystyle \lim _}}-p\right

定理表明事件发生的频率依机率收敛于事件的母体机率。

定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。

就是说当n很大时，事件发生的频率于母体机率有较大偏差的可能性很小。

正文

大数定律指的是在实验条件不变的情况下重复试验多次随机事件出现的频率近乎于等于它的概率。也就是偶然当中包含着某种必然。按照教科书中经典的案例，如果我们进行成千上万次的抛硬币实验就会出现正反面向上的概率都接近于一半，说白了就是重复试验的次数越多，或者说收集的调查样本数量越多，越能接近事情的真相。值得注意的是，大数定律并不是经验规律，而是经过严格的证明之后确认的定理。

从最开始的自然界观察到大数定律的存在，到最后证明最终形式，历时数百年。现代概率论也在这个过程当中建立起来，在赌场中赌客自以为靠的是运气，对赌的是庄稼，然而现代赌场运营的基础是包括大数定律在内的数学原理，也就是说站在赌客对面的真正对手其实是高斯、纳什、伯努利这样的数学大师。

以最简单的猜大小游戏为例，对赌客最有利的策略，就是单独猜大或者猜小，胜率在48.61%，留给赌场的预期收益是本金的2.78%，这意味着，即使所有的人只用猜大小的玩法，根据大数定律，赌场最终也能够获得总下注金额的2.78%的毛利。更不用说除了猜大小的玩法之外，其他下注的方式大都会给赌场带来百分之十以上的收益了。

所以赌场要做的其实很简单，就是不断吸引更多的人加入到赌徒的行列之中，盈利的部分就交给数学法则去做吧，在国外的博彩行业中，为了留住宝贵的客户，顶级赌场甚至启用了大数据系统，你的财产情况如何，最喜欢哪些游戏，输多少钱会离开，全部显示在赌场运营大数据库中，每当你差不多输到极限，发誓再也不踏入赌场时，面带微笑的服务员就会像天使一般出现，送给你一张免费餐券，或是给你点一杯杯啤酒让你重整心情，下次再战。

现代化科学技术加上经典的数学理论。就是某些赌场集团杀入世界五百强的诀窍所在，当你认识到这些就会明白为何赌场愿意为游客提供免费的餐饮。甚至是机票了，但是如果你是在一个数学课上昏昏欲睡，只会在猜大小的时候翻倍下注的人还是与赌场图保持一些距离为妙，就算你是一个数学达人也要注意理论与实践的区别，比如在现实中，由于硬币两面纹路不同，一面朝上的概率永远会高于另一面。这点就算是数学家也很难察觉到的吧。