了解和分析桁架

桁架无处不在。它们用于桥梁、天线塔、起重机。即使在国际空间站的部分区域也是如此。这是有充分理由的。它们使我们能够创建坚固的结构，同时以非常高效，且具有成本效益的方式使用材料。那么桁架到底是什么？

它本质上是由一组直构件组成的刚性结构。但这并不是一个完整的定义。我们需要做出两个重要的假设，才能将结构视为桁架。首先，我们需要能够假设结构中的所有关节都可以由固定连接表示，这意味着构件可以在关节处自由旋转。桁架的构件通常使用所谓的角撑板刚性连接，但如果接头处所有构件的中心线相交于同一点，（就像这里所做的那样），则可以合理地假设接头，其行为类似于固定连接。  

我们需要做出的第二个假设是，载荷仅施加在桁架的接头处。 例如，我们从来没有在构件中间施加负载。由于所有接头均被固定，因此构件不能承受弯矩。它们只能承受轴向载荷。这显着简化了桁架的分析。每个构件都必须处于平衡状态，因此作用在构件两端的力，必须相等且方向相反。每个构件要么处于拉伸状态，要么处于压缩状态。

这些假设是桁架与框架的区别。与桁架不同，框架不一定具有固定接头，因此构件可以承受弯矩。框架也可以将载荷直接施加到其构件上。桁架的基本形状由连接形成三角形的三个构件组成。如果施加载荷，并且每个成员的长度保持不变，则三角形的角度将无法改变。这意味着三角形是一种非常稳定的形状，在施加载荷时不会变形，因此它是构建更大结构的良好基础。将四个成员连接在一起并不能形成稳定的结构。构件之间的角度可以改变，而构件的长度不会发生任何变化，因此使用四边形状作为构建桁架的基础，将是一个糟糕的选择。

稳定此配置的一个简单方法是添加对角支撑构件，以将其分成三角形。我们可以从三角形开始，将其构建成一个结构。建造桁架的方法有很多种，但有一些特别流行的桁架设计，您会一次又一次地看到，因此它们由特定的名称来引用。这里显示的是芬克屋顶桁架，但还有更多，正如您在此处看到的那样。稍后在本视频中，我将介绍这些不同的设计，如何以不同的方式承载负载。  

这些桁架的杆件均位于同一平面内。这些称为平面桁架，我们可以将它们作为二维结构进行分析。即使看似三维的结构也通常可以作为平面桁架进行分析。 以这座桥为例。荷载从水平楼板梁传递到，桥梁两侧的两个垂直桁架。每个桁架仅承受作用在其平面上的载荷，因此我们可以将其作为二维结构进行分析。为了能够设计或分析桁架，我们需要能够确定其每个构件的力。这使我们能够检查构件是否可以承载载荷而不会发生故障，或者为我们提供为每个构件选择最佳横截面所需的信息。我们可以使用两种主要方法来做到这一点，关节法和截面法。

让我们首先看一下接头方法，使用我们之前看到的 Fink 屋顶桁架。方法非常简单。首先，绘制一个自由体图，显示作用在桁架上的所有外部载荷，然后使用三个平衡方程来计算反作用力。然后为每个关节绘制一个自由体图，并逐一分析它们，以求解作用于每个关节的未知力。您可以使用平衡方程求解未知力。由于所有接头都是销连接，因此没有力矩，因此您只需考虑水平力和垂直力的平衡。请记住，我们计算的是作用在每个关节上的力，而不是构件中的力。

如果构件处于拉紧状态，则内力将起作用以使构件变长。对于每个动作，都会产生相等且相反的反作用力，这意味着受拉的构件将向远离关节的关节施加力。对于受压构件，力将作用于接头。让我们看一个稍微简单一点的桁架的例子。

首先，我们绘制自由体图，并使用三个平衡方程确定反作用力。考虑水平力的平衡，关节 A 处的水平力必须为零，因为它是水平方向上唯一的力。考虑垂直力的平衡，接头 A 和 E 处的反作用力之和，必须达到 20 kN。两个关节距关节 C 的距离相同，因此通过作用于关节 C 的力矩平衡，我们可以计算出它们都等于 10 kN。  

现在让我们确定作用在每个关节上的力。由于我们还不知道哪些构件处于拉伸状态，哪些构件处于压缩状态，所以最简单的方法是假设所有构件都处于拉伸状态，因此我们将把内力绘制为远离每个关节。如果我们最终得到这些力的负值，则仅意味着我们猜错了，并且该构件实际上处于压缩状态。

现在我们可以从关节 A 开始分析每个关节。分析桁架涉及到不同角度的大量解析力，所以如果你想擅长它，你需要记住你的三角学！这是一个快速提醒。回到我们的关节...我们所要做的就是应用平衡方程，来确定关节 A 处的未知力。采用垂直力平衡，10 kN 反作用力，必须平衡力F-AB 的垂直分量。因此我们可以将 F-AB 计算为， -10除以 60 度角的正弦值。考虑水平力的平衡，我们得到力 F-AC ，必须平衡力F-AB 的水平分力，因此等于 5.8 kN。这就是计算出的作用在关节 A 上的所有力。

每个构件中的力是恒定的，因此我们现在也知道，作用在这两个构件另一端的关节上的力。然后我们可以对关节 B 重复该过程。我们可以从考虑垂直力的平衡开始，这使我们能够计算力 F-BC。然后我们可以考虑水平力的平衡来计算F-BD。然后我们需要处理所有剩余的关节。

但是我们可以通过注意到桁架和施加的载荷，具有对称轴来节省一些时间，因此桁架另一侧的力必须相同。这给了我们关节处的所有力。我们可以显示哪些构件处于拉伸状态，哪些构件处于压缩状态，就像这样。分析桁架时您会注意到的一件事是，某些构件根本不承载任何载荷。我们称这些为零力量成员。我们有两种主要的零力成员配置。  

第一个是我们将三个成员连接在一个关节上，并且其中两个成员对齐。这里，只有一个构件具有垂直方向的分力，因此为了保持接头处的垂直方向的力平衡，该构件上的力必须为零。

第二种配置是当我们只有两个构件在一个接头处连接时，并且构件未对齐。只有一个杆件具有垂直方向的分量，因此两者都必须是零力杆件。顺便说一句，无论构件如何定向，这都是正确的，因为我们可以旋转用于应用平衡方程的坐标系的方向。

如果没有外部载荷作用在接头上，这两种配置仅包含零力构件。如果我们有外部载荷，就会有垂直方向的分量，因此这些不会是零力构件。

让我们看一个例子。在这个联合体中，我们有两个相互关联的成员。杆件不共线，并且没有外部载荷，因此它们必须是零力杆件。在这个关节处，我们有三个成员，其中两个是共线的。垂直构件必须是零力构件。我们可以移除这些构件，这样我们就有了一个更容易的起点，来解决桁架问题。您会注意到我们并没有删除该关节中的两名成员。这是因为这里有外部载荷作用，所以这些不能是零力构件。

您可能想知道如果桁架不承载任何载荷，为什么有人会费心在桁架中包含零力构件。它们绝对不是无用的。它们通常是为了提供稳定性，例如防止受压的长构件弯曲。或者它们可用于确保意外负载不会导致结构失效。我们已经介绍了关节方法。让我们看看另一种可以用来求解桁架的方法，即截面法。  

第一步与关节方法相同。我们画出自由体图，并使用平衡方程来求解反作用力。接下来，我们对桁架中感兴趣的构件进行假想切割，并绘制切割构件中的内力。内力和外力必须处于平衡状态，因此我们可以应用平衡方程来求解内力。

选择如何切割桁架时，请记住我们只有 3 个平衡方程。如果你删除了太多的成员，你就会有太多的未知数并且没有足够的方程。您可以选择要评估切口的哪一侧。左侧看起来更容易解决，因为力较小，但我们可以选择解决右侧。当您的桁架有很多成员，但您只对少数特定成员的加载感兴趣时，最好使用截面方法。

让我们看一个例子。我们需要确定这三个成员的内力。首先，我们绘制自由体图，并应用平衡方程来计算反作用力。关节 A 处的水平反作用力是唯一作用于水平方向的力，因此它必须等于 0。通过考虑垂直方向的力平衡，和作用于关节 A 的力矩平衡，我们可以算出 F-A 等于 19，F-H等于 21。接下来让我们对杆件 F-D、F-E 和 G-E 进行假想切割 ，并画出内力。

就像我们之前对关节方法所做的那样，我们假设所有未知的力都是拉力。接下来我们只需要应用平衡方程。杆件 F-E 中的力是唯一具有垂直方向分量的未知力，因此这是一个很好的起点。 对角杆件均成 45 度角，因此考虑垂直方向的平衡，我们得到杆件 F-E 上的力等于 12.7 kN。  

现在让我们考虑作用于关节 F 的力矩平衡。这是一个很好的选择关节，因为该自由体图中 5 个力中的 3 个，具有穿过 F 的作用线，因此只有杆件 G-E 中的力，和 21 kN反作用力会在该关节周围产生力矩。两个力均位于距 F 2 m 的位置，因此我们可以得出结论，杆件 G-E 中的力等于 21 kN。

最后，我们可以在水平方向上取得平衡，计算出杆件F-D上的力等于-30 kN。就这样，我们计算了我们感兴趣的三个成员的内力。一个成员处于压缩状态，两个成员处于拉伸状态。如果可以，通过应用平衡方程，来确定桁架构件中的反作用力和内力，则称该桁架是静定的。

现实生活中的结构有时包含的成员数量，多于结构稳定所需的数量，因为这使它们更安全。这意味着我们可能无法应用接头法或截面法，因为我们有太多未知数且没有足够的平衡方程。来确定反作用力或确定桁架内的内力。

据说这些桁架是静定的，需要使用其他方法，（例如力法或位移法）来求解，我不会在本视频中介绍这些方法。现在我们知道如何计算桁架中的载荷，让我们探讨一下桁架设计之间的一些差异。这里我们有三种不同的桥梁桁架：Howe、Pratt 和 Warren 桁架。这些桁架均在 1840 年代获得专利，当时正在开发新的桥梁设计，以适应铁路行业的扩张。它们通常由木头和铁的组合制成。

通过弄清楚哪些构件处于拉伸状态，哪些构件处于压缩状态，我们可以了解很多有关桁架设计的知识。让我们从豪桁架开始。我们可以看到它的垂直构件受到拉力，而它的对角构件受到压力。受压构件通常需要比受拉构件更厚，以降低屈曲风险。这意味着豪桁架的成本效益并不高，因为对角构件需要更厚，而且相当长。  

普拉特桁架解决了这个问题。其垂直构件主要受压，内部对角构件受拉。这比豪桁架更具成本效益，因为较长的对角构件可以更薄。较长的构件比较短的构件在压缩载荷下更容易弯曲，因此最好让长构件处于拉伸状态。沃伦桁架的设计基于等边三角形。所有构件的长度相同这一事实对于施工来说是一个优势，而且它总体上比豪桁架和普拉特桁架使用的构件更少，因此效率更高。

对角构件在拉伸和压缩之间交替，因此它确实有一些相当因此它确实有一些相当长的压缩构件。观察当荷载穿过桥梁时构件的荷载如何变化，也很有趣。在这个荷载穿过普拉特桥的简化模型中，我们可以看到一些构件，在拉伸和压缩之间交替，因此需要进行相应的设计。

我们之前看到的三维桥梁，可以被评估为平面桁架的集合。但这对于所有结构都是不可能的，有时需要在三个维度上评估桁架。这种类型的桁架称为空间桁架。这些可以使用与平面桁架基本相同的方式进行分析，使用节点方法和截面方法。唯一的区别在于平衡方程的数量。我们将有 6 个方程而不是 3 个，并且在每个关节处我们将有 3 个方程而不是 2 个。现在就是这样！感谢您的观看，一如既往，请记得订阅！