差并交、笛卡尔积、连接，原来如此简单：选择题白话串讲

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4.2 数据表上的集合运算--关系代数

数据库表与表之间的运算，用官话说就是关系与关系之间的运算，称关系代数。在关系代数中，进行运算的对象都是关系，运算结果也是关系，就是表。

4.2.1 关系代数的传统集合运算

在数学上有"集合"的概念，例如图16-30就表示了A、B两个集合，以及它们的交集、并集以及A-B的含义。其中A-B表示A中减去A、B的公共部分。

在数据库中，把一个关系（一张二维表）也可看做一个集合，集合中的元素就是元组（表中的行）。关系之间也可有类似集合的运算（设有两个关系R、S）：

1. 差（difference）

记为：R-S。结果为由属于R但不属于S的那些行组成的表，要求R与S的列数相同。

2. 并（union）

记为：R∪S。结果是属于R或者属于S的那些行组成的表，并且除去结果中重复的行。R和S应具有相同的列数，各列的数据类型也应该一致。

3. 交（intersection）

记为：R∩S。结果是既属于R又属于S的那些行组成的表。R∩S=R - (R - S)。R和S也应具有相同的列数，各列的数据类型也应该一致。

4. 笛卡尔积（cartesian product）

记为：R×S。R×S的结果仍是一个关系（二维表），它是R中的每一行分别与S中的每一行两两组合的结果。结果表的列数为R、S列数之和，行数为R、S行数的乘积，结果表的每一行前、后部分分别来自R的一行和S的一行。

这几种运算的例子如图16-31，注意在求R与S的并集R∪S时，消除了一行重复行"d a f"，因为数据库表中不允许有完全相同的行存在。

4.2.2 关系代数的特有运算

表与表之间还可进行下面的运算：

1. 投影（projection）

这个概念比较拗口，但含义很简单，就是"筛选列"。一个数据库表，如仅希望得到其一部分的列的内容（但全部行），就是投影。

例如从图16-26的"学生信息表"中只取姓名和分数两列，即是投影。又如对图16-31的关系R只取A列、C列，也是投影。投影操作记为π，后者投影可记为πA,C (R)。

2. 选择（selection）

投影是对表的垂直筛选（筛选列）；如果水平筛选（筛选行）则是"选择"操作。选择一般要对一张表选择符合条件的行（但包含所有列）。例如对图16-26的"学生信息表"只选取分数大于等于90的行，即是选择操作。

又如对图16-31的关系R只取B列值为'b'的行，也是选择。选择操作记为σ，后者选择操作可记为σB='b' (R)。

3. 除法（division）

记为R÷S，它是笛卡尔积的逆运算。设关系R和S分别有r列和s列（r>s，且s≠0），那么R÷S的结果有（r-s）个列，并且是满足下列条件的最大的表：其中每行与S中的每行组合成的新行都在R中。

关系之间的除法不易理解，可通过对除法做逆运算（笛卡尔积）来验证除法的结果。如果R÷S=T，可做S×T，如果S×T的结果为R，则说明R÷S=T。注意有时关系之间的除法也有"余数"，可能S×T的结果为R的一部分（最大的一部分），R中的多余部分为"余数"。

【随讲随练16-64】有三个关系R、S和T如图16-32所示，则由关系R和S得到关系T的操作是（ ）。

A.自然连接 B.交 C.除 D.并

【答案】C

【分析】S×T为"c 3 1"，为R的一部分，因此R÷S为T；两行"a 1 2"、"b 2 1"为余数。

4. 连接（join）

两表笛卡尔积的结果比较庞大，实际应用中一般仅选取其中一部分的行，如选取两表列之间满足一定条件的行，就是关系之间的连接。如图16-31的R×S的结果有6行，从中选取"B列=D列"的行（2行），就是连接，连接的结果如图16-33。关系的连接实际就是对关系的结合，即两张表结合组成新的表。

这一连接的条件是"B列=D列"。根据连接条件的种类不同，关系之间的连接分为等值连接、大于连接、小于连接、自然连接。如果条件是类似于"B列=D列"的"某列=某列"的条件，就是等值连接；如果条件是"某列>某列"的，就是大于连接；条件是"某列

这里举一个等值连接的例子，如图16-34是对关系R、S按条件"R表的B列=S表的B列"进行连接。R与S的连接记作（下面写上连接条件）：

图16-35和图16-36分别是小于连接和自然连接的例子，图16-36的自然连接暗含的条件是R.B=S.B且R.C=S.C，因为R、S中有同名的2列B、C。

多个条件之间可用"∧"表示"且"，即两边的条件必须同时成立，例如"C>4∧D>3"，表示"C列值>4，且D列值>3"，二者需同时满足。用"∨"表示"或"，即两边的条件有一个成立即可，例如"性别='女'∨年龄

【随讲随练16-65】一般当对关系R和S进行自然连接时，要求R和S含有一个或者多个共有的（ ）。

A.记录 B.行

C.属性 D.元组

【答案】C

【随讲随练16-66】大学生学籍管理系统中有关系模式 S(S#,Sn,Sg,Sd,Sa)，其中属性S#、Sn、Sg、Sd、Sa分别是学生学号、姓名、性别、系别和年龄，关键字是S#。检索全部大于20岁男生姓名的表达式为（ ）。

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【随讲随练16-67】如图16-37所示，学生选课成绩表的关系模式是SC(S#, C#, G)，其中S#为学号，C#为课号，G为成绩，则关系 表示（ ）。

A.选修了表C中全部课程的学生学号

B.全部学生的学号

C.选修了课程C1或C2的学生学号

D.所选课程成绩及格的学生学号

【答案】A

——以上内容选自《玩转Office轻松过二级》(第2版)，部分内容取自《C语言其实很简单》（第11-12章）

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