23. 深度学习 - 多维向量自动求导

茶桁的AI秘籍 核心能力 23

Hi, 你好。我是茶桁。

前面几节课中，我们从最初的理解神经网络，到讲解函数，多层神经网络，拓朴排序以及自动求导。 可以说，最难的部分已经过去了，这节课到了我们来收尾的阶段，没错，生长了这么久，终于到迎接成果的时候了。

好，让我们开始。

我们还是用上一节课的代码:21.ipynb。

我们上一节课中，实现了自动计算的部分。

for node in sorted_nodes[::-1]:

print('\n{}'.format(node.name))

node.backward()

结果我就不打印了，节省篇幅。

那我们到这一步之后，咱们就已经获得了偏导，现在要考虑的问题就是去更新它，去优化它的值。

learning_rate = 1e-5

for node in sorted_nodes:

node.value = node.value + -1 * node.gradients[node] * learning_rate

node的值去更新，就应该等于它本身的值加上一个-1乘以它的偏导在乘以一个learning_rate, 我们对这个是不是已经很熟悉了？我们从第8节线性回归的时候就一直在接触这个公式。

只不过在这个地方，x, y的值也要更新吗？ 它们的值是不应该去更新的，那要更新的应该是k, b的值。

那么在这个地方该怎么办呢？其实很简单，我们添加一个判断就可以了：

for node in sorted_nodes:

if node.is_trainable:

node.value = node.value + -1 * node.gradients[node] * learning_rate

然后我们给之前定义的类上加一个变量用于判断。

class Node:

def __init__(..., is_trainable=False):

...

self.is_trainable = is_trainable

在这里我们默认是不可以训练的，只有少数的一些是需要训练的。

然后我们在初始化的部分把这个定义的值加上：

node_k = Placeholder(name='k', is_trainable=True)

node_b = Placeholder(name='b', is_trainable=True)

对了，我们还需要将Placeholder做些改变：

class Placeholder(Node):

def __init__(..., is_trainable=False):

Node.__init__(.., is_trainable=is_trainable)

...

...

这就意味着，运行for循环的时候只有k和b的值会更新，我们再加几句话：

for node in sorted_nodes:

if node.is_trainable:

...

cmp = 'large' if node.gradients[node] > 0 else 'small'

print('{}的值{}，需要更新。'.format(node.name, cmp))

---

k的值small，需要更新。

b的值small，需要更新。

我们现在将forward, backward和optimize的三个循环封装乘三个方法：

def forward(graph_sorted_nodes):

# Forward

for node in sorted_nodes:

node.forward()

def backward(graph_sorted_nodes):

# Backward

for node in sorted_nodes[::-1]:

print('\n{}'.format(node.name))

node.backward()

def optimize(graph_sorted_nodes, learning_rate=1e-3):

# optimize

for node in sorted_nodes:

if node.is_trainable:

node.value = node.value + -1 * node.gradients[node] * learning_rate

cmp = 'large' if node.gradients[node] > 0 else 'small'

print('{}的值{}，需要更新。'.format(node.name, cmp))

然后我们再来定义一个epoch方法，将forward和backward放进去一起执行：

def run_one_epoch(graph_sorted_nodes):

forward(graph_sorted_nodes)

backward(graph_sorted_nodes)

这样，我们完成一次完整的求值-求导-更新，就可以写成这样：

run_one_epoch(sorted_nodes)

optimize(sorted_nodes)

为了更好的观察，我们将所有的print都删掉，然后在backward方法中写一个观察loss的打印函数：

def backward(graph_sorted_nodes):

# Backward

for node in sorted_nodes[::-1]:

if isinstance(node, Loss):

print('loss value: {}'.format(node.value))

node.backward()

然后我们来对刚才完整的过程做个循环：

# 完整的一次求值-求导-更新：

for _ in range(10):

run_one_epoch(sorted_nodes)

optimize(sorted_nodes, learning_rate=1e-1)

---

loss value: 0.12023025149136042

loss value: 0.11090709486917472

loss value: 0.10118818479676453

loss value: 0.09120180962480523

loss value: 0.08111466190584131

loss value: 0.0711246044819575

loss value: 0.061446239826641165

loss value: 0.05229053883349982

loss value: 0.043842158831920566

loss value: 0.036239620745126

可以看到loss在一点点的下降。当然，这样循环10次我们还能观察出来，但是我们如果要成百上千次的去计算它，这样可就不行了， 那我们需要将history存下来，然后用图来显示出来：

loss_history = []

for _ in range(100):

...

_loss_node = sorted_nodes[-1]

assert isinstance(_loss_node, Loss)

loss_history.append(_loss_node.value)

optimize(sorted_nodes, learning_rate=1e-1)

plt.plot(loss_history)

Alt text

我们现在可以验证一下，我们拟合的yhat和真实的y之间差距有多大，首先我们当然是要获取到每个值的下标，然后用sigmoid函数来算一下：

sorted_nodes

---

[k, y, x, b, Linear, Sigmoid, Loss]

通过下标来进行计算, k是0， x是2， b是3， y是1：

def sigmoid(x):

return 1/(1+np.exp(-x))

# k*x+b

sigmoid_x = sorted_nodes[0].value * sorted_nodes[2].value + sorted_nodes[3].value

print(sigmoid(sigmoid_x))

# y

print(sorted_nodes[1].value)

---

0.891165479601981

0.8988713384533658

可以看到，非常的接近。那说明我们拟合的情况还是不错的。

好，这里总结一下，就是我们有了拓朴排序，就能向前去计算它的值，通过向前计算的值就可以向后计算它的值。那现在其实我们已经完成了一个mini的深度学习框架的核心内容，咱们能够定义节点，能够前向传播运算，能够反向传播运算，能更新梯度了。

那接下来是不是就结束了呢？很遗憾，并没有，接着咱们还要考虑如何处理多维数据。咱们现在看到的数据都是x、k、b的输入，也就是都是一维的。

然而咱们真实世界中大多数场景下其实都是多维度的，其实都是多维数组。那么多维数组的还需要更新些什么，和现在有什么区别呢？

我们来接着往后看，因为基本上写法和现在这些几乎完全一样，那我也就不这么细致的讲了。

为了和之前代码做一个区分，所以我将多维向量计算的代码从新开了个文件，放在了23.ipynb里，小伙伴可以去下载到本地研习。

那么多维和现在最大的区别在哪里呢？就在于计算的时候，我们就要用到矩阵运算了。只是值变成了矩阵，运算变成的了矩阵运算。好，我们从Node开始来改动它，没什么变化的地方我就直接用...来省略了：

class Node:

def __init__(self, input=[]):

...

def forward(self):

raise NotImplemented

def backward(self):

raise NotImplemented

class Placeholder(Node):

def __init__(self):

Node.__init__(self)

def forward(self, value=None):

...

def backward(self):

self.gradients = {self:0}

for n in self.outputs:

grad_cost = n.gradients[self]

self.gradients[self] = grad_cost * 1

class Linear(Node):

def __init__(self, x, k, b):

...

def forward(self):

...

def backward(self):

self.gradients = {n: np.zeros_like(n.value) for n in self.inputs}

for n in self.outputs:

grad_cost = n.gradients[self]

self.gradients[self.inputs[0]] = np.dot(grad_cost, self.inputs[1].value.T)

self.gradients[self.inputs[1]] = np.dot(self.inputs[0].value.T, grad_cost)

self.gradients[self.inputs[2]] = np.sum(grad_cost, axis=0, keepdims=False)

class Sigmoid(Node):

def __init__(self, node):

Node.__init__(self, [node])

def _sigmoid(self, x):

...

def forward(self):

...

def backward(self):

self.partial = self._sigmoid(self.x) * (1 - self._sigmoid(self.x))

self.gradients = {n: np.zeros_like(n.value) for n in self.inputs}

for n in self.outputs:

grad_cost = n.gradients[self]

self.gradients[self.inputs[0]] = grad_cost * self.partial

class MSE(Node): # 也就是之前的Loss类

def __init__(self, y, a):

Node.__init__(self, [y, a])

def forward(self):

y = self.inputs[0].value.reshape(-1, 1)

a = self.inputs[1].value.reshape(-1, 1)

assert(y.shape == a.shape)

self.m = self.inputs[0].value.shape[0]

self.diff = y - a

self.value = np.mean(self.diff**2)

def backward(self):

self.gradients[self.inputs[0]] = (2 / self.m) * self.diff

self.gradients[self.inputs[1]] = (-2 / self.m) * self.diff

类完成之后，我们还有一些其他的方法：

def forward_and_backward(graph): # run_one_epoch

for n in graph:

n.forward()

for n in graph[::-1]:

n.backward()

def toplogic(graph):

...

def convert_feed_dict_to_graph(feed_dict):

...

# 将sorted_nodes赋值从新定义了一个方法

def topological_sort_feed_dict(feed_dict):

graph = convert_feed_dict_to_graph(feed_dict)

return toplogic(graph)

def optimize(trainables, learning_rate=1e-2):

for node in trainables:

node.value += -1 * learning_rate * node.gradients[node]

这样就完成了。可以发现基本上代码没有什么变动，变化比较大的都是各个类中的backward方法，因为要将其变成使用矩阵运算。

我们来尝试着用一下这个多维算法，我们还是用波士顿房价的那个数据来做一下尝试：

X_ = data['data']

y_ = data['target']

# Normalize data

X_ = (X_ - np.mean(X_, axis=0)) / np.std(X_, axis=0)

n_features = X_.shape[1]

n_hidden = 10

W1_ = np.random.randn(n_features, n_hidden)

b1_ = np.zeros(n_hidden)

W2_ = np.random.randn(n_hidden, 1)

b2_ = np.zeros(1)

# Neural network

X, y = Placeholder(), Placeholder()

W1, b1 = Placeholder(), Placeholder()

W2, b2 = Placeholder(), Placeholder()

l1 = Linear(X, W1, b1)

s1 = Sigmoid(l1)

l2 = Linear(s1, W2, b2)

cost = MSE(y, l2)

feed_dict = {

X: X_,

y: y_,

W1: W1_,

b1: b1_,

W2: W2_,

b2: b2_

}

epochs = 5000

# Total number of examples

m = X_.shape[0]

batch_size = 16

steps_per_epoch = m // batch_size

graph = topological_sort_feed_dict(feed_dict)

trainables = [W1, b1, W2, b2]

print("Total number of examples = {}".format(m))

我们在中间定义了l1, s1, l2, cost, 分别来实例化四个类。然后我们就需要根据数据来进行迭代计算了，定义一个losses来保存历史数据：

losses = []

epochs = 100

for i in range(epochs):

loss = 0

for j in range(steps_per_epoch):

# Step 1

X_batch, y_batch = resample(X_, y_, n_samples=batch_size)

X.value = X_batch

y.value = y_batch

# Step 2

forward_and_backward(graph) # set output node not important.

# Step 3

rate = 1e-2

optimize(trainables, rate)

loss += graph[-1].value

if i % 100 == 0:

print("Epoch: {}, Loss: {:.3f}".format(i+1, loss/steps_per_epoch))

losses.append(loss/steps_per_epoch)

---

Epoch: 1, Loss: 194.170

...

Epoch: 4901, Loss: 3.137

可以看到它loss下降的非常快，还记得咱们刚开始的时候在训练波士顿房价数据的时候，那个loss下降到多少？ 最低是不是就下降到在第一节课的时候我们的lose最多下降到了多少47.34对吧？那现在呢？直接下降到了3，这是为什么？ 因为我们的维度多了，维度多了它就准确了。这说明什么？ 说明大家去谈恋爱的时候，不要盯着对象的一个方面，多方面考察，才能知道这个人是否合适。

好，现在看起来效果是很好，但是我们想知道到底拟合出来的什么函数，那怎么办？咱们把这个维度降低成三维空间就可以看了。

现在咱们这个波士顿的所有数据实际上是一个15维的数据，15维的数据你根本看不了，咱们现在只要把x这个里边取一点值，在这个里边稍微把值给它变一下。

X_ = dataframe[['RM', 'LSTAT']]

y_ = data['target']

在咱们之前的课程中对其进行计算的时候就分析过，RM和LSTAT是影响最大的两个特征，我们还是来用这个。然后我们将刚才的代码从新运行一遍：

losses = []

for i in tqdm_notebook(range(epochs)):

...

---

Epoch: 1, Loss: 150.122

...

Epoch: 4901, Loss: 16.181

这次下降的就没上次好了。

现在我们可视化一下这个三维空间来看看：

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

predicate_results = []

for rm, ls in X_.values:

X.value = np.array([[rm, ls]])

forward_and_backward(graph)

predicate_results.append(graph[-2].value[0][0])

%matplotlib widget

fig = plt.figure(figsize=(10, 10))

ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

X_ = dataframe[['RM', 'LSTAT']].values[:, 0]

Y_ = dataframe[['RM', 'LSTAT']].values[:, 1]

Z = predicate_results

rm_and_lstp_price = ax.plot_trisurf(X_, Y_, Z, color='green')

ax.set_xlabel('RM')

ax.set_ylabel('% of lower state')

ax.set_zlabel('Predicated-Price')

然后我们就能看到一个数据的三维图形，因为我们开启了widget， 所以可以进行拖动。

Alt text

Alt text

从图形上看，确实符合房间越多，低收入人群越少，房价越高的特性。

那现在计算机确实帮我们自动的去找到了一个函数，这个函数到底怎么设置咱们都不用关心，它自动就给你求解出来，这个就是深度学习的意义。咱们经过这一系列写出来的东西其实就已经能够做到。

我觉得这个真的有一种数学之美，它从最简单的东西出发，最后做成了这样一个复杂的东西。确实很深其，并且还都在我们的掌握之中。

好，大家下来以后记得要多多自己敲代码，多分析其中的一些过程和原理。