这篇文章，我们讲尾递归。在递归中，如果该函数的递归形式表现在函数返回的时候，则称之为尾递归。
我认为尾调用优化(tail call optimizations)相当整洁，特别是它们解决递归函数如何调用这类基本问题的方式。诸如Haskell和Lisp家族这类函数式语言，以及逻辑语言(Prolog可能是最著名的例子)都强调采用递归的方式思考问题。这些语言通过尾调用优化可以在性能上获得许多好处。
理解递归，汉诺塔(Tower of Hanoi)是个很适合的工具，不大不小，作为最开始递归的理解正合适。从而学习各种计算机语言乃至各种编程范式的时候，汉诺塔一般都作为前几个递归实现的例子之一，是入门的好材料。
当代码出现有规律的重复的时候，你就需要当心了，每次写3.14 * x * x不仅很麻烦，而且，如果要把3.14改成3.14159265359的时候，得全部替换。
return np.power(-1,n)*(1.0/(2*n+1))+getPi(n-1)
那篇并编程艺术3写完了，但下午发现了原创度更高的个人真实案例分析，反正已经写完了，随时可以发，个人问题的优化记忆才更深。
在《04.函数》一文中介绍了Python中的函数，以及函数的基础使用。函数是Python内建支持的一种封装，我们通过把大段代码拆成函数，通过一层一层的函数调用，就可以把复杂任务分解成简单的任务，这种分解可以称之为面向过程的程序设计。函数就是面向过程的程序设计的基本单元。而函数式编程（Functional Programming），是一种抽象程度很高的编程规范。
这两天正在构思这个“三维度”逻辑编程语言的设计系列的下一篇该怎么写，正好在上一篇《用写文章的方式写程序--“三维度”逻辑编程语言的设计（1）》有位叫做 dwcz 的朋友回帖说：
欢迎各位读者来到本篇博客，今天我们将探讨一个令人着迷的编程范式——Prolog。Prolog（Programming in Logic）是一种基于逻辑的编程语言，以其独特的特性和应用领域而备受关注。本文将带你深入理解 Prolog 的基本概念、语法和一些实际应用。
把 类型当成一门纯函数式编程语言其实不算准确，比如 类型就缺少一个标志性的能力「First-Class-」，在表现上就是没有高阶函数，但是这并不影响他的表达能力。具体的不展开讲了，可以看一下面这个回答，如果我们把一个环境（闭包）当成参数传递给函数解释器模式举例，那意味着并不需要高阶函数一样能实现闭包的效果。
简单地说，一个函数就是一组Python语句的组合，它们可以在程序中运行一次或多次运行。Python中的函数在其他语言中也叫做过程或子例程，那么这些被包装起来的语句通过一个函数名称来调用。
当存在多个默认参数的时候，调用的时候，既可以按顺序提供默认参数，比如调用enroll('Bob', 'M', 7)，意思是，除了name，gender这两个参数外，最后1个参数应用在参数age上，city参数由于没有提供，仍然使用默认值。
递归是一种强大的问题解决方法，通过将问题分解为子问题并通过调用自身来解决。在本篇博客中，我们将深入了解递归的概念和基本原理，并使用C语言实现一些示例代码。
那么，对一个对象进行拷贝，无非就是对对象的属性进行拷贝，按照拷贝处理的方式不同，可分为浅拷贝和深拷贝：
近年来，以神经网络为代表的机器学习技术和知识表征、符号推理技术的结合受到了越来越多研究者的关注。曾经，人们通过「数据驱动 vs 知识驱动」、「符号 vs 子符号」、「求解器 vs 学习器」等概念来区分学习和推理。如今，人们更常用「系统 1」和「系统 2」来代表能够迅速思考的系统和较慢推理的系统。
原文：http://exploringjs.com/es6/ch_tail-calls.html
对于一种数据结构而言，遍历是常见操作。二叉树是一种基本的数据结构，是一种每个节点的儿子数目都不多于2的树。二叉树的节点声明如下： 1 typedef struct TreeNode *PtrToNode; 2 typedef struct TreeNode *BinTree; 3 4 struct TreeNode 5 { 6 int Data; //为简单起见，不妨假设树节点的元素为int型 7 BinTree Left; 8 BinTree Right; 9 };
对于很多编程初学者来说，递归算法是学习语言的最大障碍之一。很多人也是半懂不懂,结果学到很深的境地也会因为自己基础不好,导致发展太慢。
尾递归（Tail Recursion）是一种特殊的递归形式，其特点是递归调用位于函数体最后一条语句。尾递归具有以下特点：
TypeError: my_abs() takes exactly 1argument (2 given)#参数个数不对
尾递归与一般的递归不同在于对内存的占用：普通递归创建stack累积而后计算收缩，尾递归只会占用恒量的内存。
python3.5.4 递归函数最恶心的时候莫非栈溢出(Stack overflow)。
如果一个函数在内部调用自身本身，则该函数就是递归函数 递归优缺点 优点：使用递归函数的优点是逻辑简单清晰 理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰 缺点：过深的调用会导致栈溢出 栈溢出 使用递归函数需要注意防止栈溢出 在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的 每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧 由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出 尾递归 解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化 事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的
递归函数在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函 数。(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。 递归一般用于解决三类问题： (1)数据的定义是按递归定义的。（n的阶乘） (2)问题解法按递归实现。（回溯） (3)数据的结构形式是按递归定义的。（二叉树的遍历，图的搜索） 递归的缺点： 递归解题相对常用的算法如普通循环等，运行效率较低。因此，应该尽量避免使用递归，
在 Python 中，非尾递归函数可能会导致递归深度限制问题。当递归深度超过限制时，程序将引发 RecursionError 异常。为了避免这个问题，我们可以将非尾递归函数转换为循环或尾递归形式。
递归函数在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函 数。(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
此部分包含第15、16、17和18章，包含了计算机中传输的数据压缩(有损与无损)、网络数据在传输过程中如何保证其数据安全, 讨论计算理论，即哪些是可计算的，哪些是不可计算的，最后介绍当前热门的人工智能(AI)的观点，加深我们对计算机数据处理的的认识，为后续学习扩展基础认识。
50%的算法问题都能通过递归来解决,倒不是说递归本身有多厉害,只是说明递归的思想让很多复杂的问题变得简单! 啥? 了解数据结构的人都知道, 树结构本身就是用递归定义的,所以解决树相关的问题会优先考虑递
关于递归的概念，我们都不陌生。简单的来说递归就是一个函数直接或间接地调用自身，是为直接或间接递归。一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。用递归需要注意以下两点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
今天，我们来聊聊递归函数。为啥突然想到递归？其实就从电影名字《恐怖游轮》《盗梦空间》想到了。
归纳逻辑编程(ILP)是机器学习的一种形式。ILP的目标是归纳一个假设(一组逻辑规则),概括训练示例。随着ILP步入3o，我们提供了该领域的新介绍。我们介绍必要的逻辑符号和主要的学习设置；描述ILP系统的组成部分；在几个维度上比较几个系统；描述四个系统(Aleph、TILDE、ASPAL和meta gol)；突出重点应用领域；最后，总结当前的局限性和未来研究的方向。
1.递归函数 在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。 举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数fact(n)表示，可以看出： fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n 所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。 于是，fact(n)用递归的方式写出来就是： def fact(n):
与之相对的是非尾递归函数，你先执行递归调用，然后获取递归调用的结果进行计算, 这样你需要先获取每次递归调用的结果，才能获取最后的计算结果。看下面计算n阶乘的函数，它是一个非尾递归函数。我们发现cal(n-1)返回的值被cal(n)使用，因此对cal(n-1)的调用并不是cal(n)所做的最后一步。
在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。
本文探讨了尾递归调用优化在JavaScript引擎中的实现细节，并分析了尾递归调用出现调用栈溢出的原因。文章提出了两种解决方案：1.显式地定义尾递归调用；2.采用尾调用优化语法。尾调用优化语法可以解决隐式优化和调用栈丢失的问题。
本文介绍了尾递归和尾调用优化，尾递归是指在函数尾递归调用时不会创建新的调用帧，而是直接在原调用帧上进行递归。尾调用优化是指函数在调用时不会创建新的调用帧，而是直接在原调用帧上进行调用。这种优化可以节省内存空间和提高程序的运行速度。
简单的说，斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。 即F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>2，n∈N*）
本博客前面介绍了不少跟递归的思想相关的例子，比如“汉诺塔”，“八皇后”等。因最近又回忆起“尾递归”，故本文通过2个例子再跟大伙儿探讨一下尾递归。。。
尾递归的原理：当编译器检测到一个函数调用是尾递归的时候，它就覆盖当前的活动记录而不是在栈中去创建一个新的。编译器可以做到这点，因为递归调用是当前活跃期内最后一条待执行的语句，于是当这个调用返回时栈帧中并没有其他事情可做，因此也就没有保存栈帧的必要了。通过覆盖当前的栈帧而不是在其之上重新添加一个，这样所使用的栈空间就大大缩减了，这使得实际的运行效率会变得更高。
去年大致也是这个事件，曾经探索过尾调用（PTC）相关的内容，并总结了一片文章——朋友你听说过尾递归吗。同时在文章的最后也留下了一个坑：
对于树的遍历，无论是前序、中序还是后序遍历，大家可能下意识的就会想到递归，为什么呢？因为递归操作实现起来“简单”啊，而且树的结构完美契合了递归的应用场景！下面为实现二叉树中序遍历的递归实现：
我不是故意在JAVA中谈尾递归的，因为在JAVA中谈尾递归真的是要绕好几个弯，只是我确实只有JAVA学得比较好，虽然确实C是在学校学过还考了90+，真学得没自学的JAVA好 不过也是因为要绕几个弯，所以才会有有意思的东西可写，另外还有我发现把尾递归如果跟JAVA中的GC比对一下，也颇有一些妙处（发现还没有人特地比较过） （不过后来边写边整理思路，写出来又是另一个样子了） 一、首先我们讲讲递归 递归的本质是，某个方法中调用了自身。本质还是调用一个方法，只是这个方法正好是自身而已 递归因为是在自身中调用自身，所
每天一个面试技术点，今天来和大家记录在Java面试中在方法和递归上的常见面试题及解答。
3、与过程化编程相⽐，函数式编程⾥的函数计算可以随时调⽤，函数式编程中，函数是⼀等公民
函数的英文是function，所以，通俗地来讲，函数就是功能的意思。函数是用来封装特定功能的，比如，在Python里面，len()是一个函数，len()这个函数实现的功能是返回一个字符串的长度，所以说len()这个函数他的特定功能就是返回长度，再比如，我们可以自己定义一个函数，然后编写这个函数的功能，之后要使用的时候再调用这个函数。所以函数分为两种类型，一种是系统自带的不用我们编写其功能系统自己就有的，比如len()这种函数，另一种函数是我们自定义的，需要我们编写其功能的，这种函数自由度高，叫做自定义函数，需要使用的时候直接调用该函数。
分销系统的返利： 比如B是A的下线，C是B的下线，那么在分钱返利的时候A可以分B，C的钱，这时候我们是不是就要分别找B,C的最后上级。这个问题我们一般怎么来解决呢？
当然，你可以尝试会发生什么结果，理论上会永远运行下去，但实际操作时发现不一会儿程序就报错了，因为每次调用函数都会用掉一点内存，在足够多的函数调用发生后，空间几乎被占满，程序就会报错。
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